Füüsikas on harmooniline ostsillaator süsteem, mis kogeb taastavat jõudu, mis on võrdeline nihkega tasakaaluseisundist F=−kx.{displaystyle F=-kx.} Harmoonilised ostsillaatorid on füüsikas ja tehnikas üldlevinud, mistõttu tuleb sirgjooneline võnkesüsteem, nagu mass vedrul, annab ülevaate harmoonilisest liikumisest keerulisemates ja mitteintuitiivsetes süsteemides, nagu need, mida kohtab kvantmehaanikas ja elektrodünaamikas. Selles artiklis käsitleme kahte klassikalise harmoonilise liikumise juhtumit: lihtsat harmoonilist ostsillaatorit. , kus ainus olemasolev jõud on taastav jõud; ja summutatud harmooniline ostsillaator, kus esineb ka kiirusest sõltuv hõõrdejõud. Enne jätkamist on soovitatav üle vaadata meetodid homogeensete lineaarsete konstantsete koefitsientide diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.
1
Leidke Hookeani vedru külge kinnitatud objekti liikumisvõrrand. See objekt toetub hõõrdumatule põrandale ja vedru järgib Hooke’i seadust F=−kx.{displaystyle F=-kx.}Newtoni teine seadus ütleb, et jõu suurus on võrdeline objekti kiirendusega F=ma. {displaystyle F=ma.} Kui vedru tõmmatakse ergastatud olekusse, st tasakaalust välja, kogeb objekt taastavat jõudu, mis kipub selle tagasi tasakaalu viima. Hetkel, mil vedru saavutab tasakaalupunkti, liigub objekt aga suurima kiirusega. Seetõttu läbib vedru võnkuvat liikumist ja kuna eeldame, et põrand on hõõrdumatu (ei sumbu), on sellel lihtne harmooniline liikumine. Newtoni seadus seob objekti asukoha vaid kaudselt teise tuletise kaudu sellele mõjuva jõuga, kuna =d2xdt2.{displaystyle a={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}.}Ajatuletisi käsitledes kasutavad füüsikud sageli Newtoni tähistust. tuletised, kus punktide arv vastab ajatuletiste arvule. Näiteks a=x¨.{displaystyle a={ddot {x}}.}
2
Seadistage diferentsiaalvõrrand lihtsa harmoonilise liikumise jaoks. Võrrand on konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarne diferentsiaalvõrrand. Meie süsteemis taanduvad objekti liikumissuunaga risti mõjuvad jõud (objekti kaal ja vastav normaaljõud). Seetõttu on vedru ergastamisel objektile mõjuv jõud ainult taastav jõud. See tähendab, et võrdsustame need kaks, et saada F=ma=−kx.{displaystyle F=ma=-kx.}
3
Kirjutage kiirendus ümber asukoha järgi ja korraldage terminid ümber, et määrata võrrandiks 0.mx¨+kx=0{displaystyle m{ddot {x}}+kx=0}
4
Lahendage liikumisvõrrand. Seadistage iseloomulik võrrand.mr2+k=0{displaystyle mr^{2}+k=0}Leidke iseloomuliku võrrandi juured.r=±kmi{displaystyle r= pm {sqrt {frac {k}{m}}}i}Seejärel on diferentsiaalvõrrandi lahendus järgmine.x(t)=c1cosâ¡(kmt)+c2sinâ¡¡(kmt){displaystyle x(t)=c_{1}cos left({sqrt {frac {k}{m}}},tright)+c_{2}sin left({sqrt {frac {k}{m}}},tright)}
5
Lihtsustama. Kuigi ülaltoodud avaldis on tõsi, on see veidi mahukas, kui lahendus on kirjutatud kahe trigonomeetrilise funktsiooni alusel. Esiteks mõistame, et ruutjuur on süsteemi nurksagedus, nii et saame märgistada ω0{displaystyle omega _{0}} meeldib nii.ω0=km{displaystyle omega _{0}={sqrt {frac {k}{m}}}}See tähendab, et diferentsiaalvõrrandi saab ümber kirjutada nurksageduse terminid.x¨+ω02x=0{displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}Allpool on A{displaystyle A} amplituud võnkumisest ja Ï•{displaystyle phi } on faasitegur, mis mõlemad sõltuvad algtingimustest. Sellest artiklist leiate üksikasjad selle kohta, kuidas lahendust faasiteguriga ümber kirjutada.x(t)=Acosâ¡(ω0t+Ï•){displaystyle x(t)=Acos(omega _{ 0}t+phi )}
6
Lisage kiirusest sõltuv hõõrdejõud. Summutatud harmoonilist ostsillaatorit kirjeldavas süsteemis eksisteerib täiendav kiirusest sõltuv jõud, mille suund on liikumisele vastupidine. Selle jõu saab kirjutada kujul F=−bv,{displaystyle F=-bv,} kus b{displaystyle b} on eksperimentaalselt määratud konstant. Selle lisajõuga annab jõuanalüüs ma=−kx−bv.{displaystyle ma=-kx-bv.}
7
Kirjutage kiirendus ja kiirus ümber asukoha järgi ning korraldage terminid ümber, et määrata võrrandiks 0.mx¨+bxË™+kx=0{displaystyle m{ddot {x}}+b{dot {x}}+kx= 0}See on ikkagi teist järku lineaarne konstantse koefitsiendi võrrand, seega kasutame tavalisi meetodeid.
8
Lahendage liikumisvõrrand. Seadistage iseloomustav võrrand.mr2+br+k=0{displaystyle mr^{2}+br+k=0}Lahendage iseloomustav võrrand. Kasutage ruutvalemit.r=−b±b2−4mk2m{displaystyle r={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4mk}}}{2m}}}Seetõttu on üldine summutatud harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrandi lahendus on järgmine, kus arvestame välja e−b2mt.{displaystyle e^{{frac {-b}{2m}}t}.}x(t)=e− b2mt(c1eb2−4mk2mt+c2e−b2−4mk2mt){displaystyle x(t)=e^{{frac {-b}{2m}}t}left(c_{1}e^{{frac { sqrt {b^{2}-4mk}}{2m}}t}+c_{2}e^{{frac {-{sqrt {b^{2}-4mk}}}{2m}}t }paremal)}
9
Vaadake kolm juhtumit läbi. Need kolm juhtumit sõltuvad väärtuse väärtusest eksponendis, mis omakorda sõltub diskriminandist b2−4mk.{displaystyle b^{2}-4mk.}b2−4mk>0{displaystyle b^{2} -4mk>0}Kui diskriminant on positiivne, on lahendus lihtsalt kahe kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni summa. Seda nimetatakse üle summutatud süsteemiks. Kuna see ei kirjelda harmoonilist ostsillaatorit, siis see juhtum meid ei huvita.b2−4mk=0{displaystyle b^{2}-4mk=0}Kui diskriminant on 0, siis on lahenduseks kahanev eksponentsiaalfunktsioon ( c1t+c2)e−b2mt.{displaystyle (c_{1}t+c_{2})e^{{frac {-b}{2m}}t}.} Seda nimetatakse kriitiliselt summutatud süsteemiks. Vedrul olev mass kriitiliselt summutatud süsteemis naaseb võimalikult kiiresti tasakaalu ja ei võngu, nii et see juhtum meid ei huvita.b2−4mk<0{displaystyle b^{2}-4mk<0} Kui diskriminant on negatiivne, hõlmab lahendus imaginaarseid eksponente. Seda nimetatakse alasummutatud süsteemiks ja mass võngub. 10
Lihtsustama. Kuna alasummutatud juhul on juurteks kompleksarvud, saame Euleri valemi abil kirjutada lahenduse siinuste ja koosinuste kujul. Pange tähele märgi muutust ruutjuures.x(t)=eâˆ'b/2m(c1cosâ¡¡(4mkâˆ'b22mt)+c2sinâ¡¡(4mkâˆ'b22mt)){displaystyle x(t)=e^{- b/2m}left(c_{1}cos left({frac {sqrt {4mk-b^{2}}}{2m}},tright)+c_{2}sin vasak({frac {sqrt {4mk-b^{2}}}{2m}},tright)right)} 11
Kirjutage lahendus ümber vaibumisaja Ï„{displaystyle tau } ja summutatud nurksageduse ωd{displaystyle omega _{d}} järgi. Vähenemisaeg Ï„=2m/b{displaystyle tau = 2m/b} on aeg, mis kulub süsteemi amplituudi kahanemiseks 1/e{displaystyle 1/e} algamplituudist. Summutatud nurksagedus on seotud mõlema nurksagedusega (vastava summutamata ostsillaator) ja vaibumisaeg järgmisel viisil, kus toome ruutjuure sisse 2m{displaystyle 2m}.ωd=4mkâˆ'b24m2=ω02âˆ'1Ï„2{displaystyle {begin{aligned} omega _{d}&={sqrt {frac {4mk-b^{2}}{4m^{2}}}}\&={sqrt {omega _{0}^{2}- {frac {1}{tau ^{2}}}}}end{joonitud}}}Eelmiste tulemuste põhjal saame seega kirjutada summutatud harmoonilise ostsillaatori liikumisvõrrandi järgmiselt, kus A{displaystyle A} on algamplituud ja Ï•{displaystyle phi } on faasitegur, mõlemad sõltuvad algtingimustest.x(t)=Aeâˆ't/Ï„cosâ¡(ωdt+Ï•){ displaystyle x(t)=Ae^{-t/ tau }cos(omega _{d}t+phi )}Siin näeme, et liikumisvõrrand kirjeldab võnkuvat süsteemi, mille mähisjoon on kahanev eksponentsiaalfunktsioon. Funktsiooni vähenemise kiirus ja võnkesagedus sõltuvad süsteemi parameetritest ja need tuleb katseliselt määrata.