Trinoom on algebraline avaldis, mis koosneb kolmest liikmest. Tõenäoliselt hakkate õppima, kuidas faktoreerida ruuttrinoomid, mis tähendab trinoomid, mis on kirjutatud kujul ax2 + bx + c. Õppida tuleb mitmeid nippe, mis kehtivad erinevat tüüpi ruuttrinoomide puhul, kuid harjutades saate neid paremini ja kiiremini kasutama. Kõrgema astme polünoomid, mille terminid on x3 või x4, ei ole alati samade meetoditega lahendatavad, kuid sageli saate kasutada lihtsat faktooringut või asendust, et muuta need probleemideks, mida saab lahendada nagu iga ruutvalemit.
1
Õppige FOIL-korrutamist. Võib-olla olete juba õppinud meetodi FOIL ehk “Esimene, väljas, sees, viimane”, et korrutada selliseid avaldisi nagu (x+2)(x+4). Enne faktooringuni jõudmist on kasulik teada, kuidas see strateegia töötab: Korrutage esimesed liikmed: (x+2) (x+4) = x2 + __Korrutage välised liikmed: (x+2) (x+4) = x2+ 4x + __Korrutage sisemised liikmed: (x+2) (x+4) = x2+4x+2x + __Korrutage viimased liikmed: (x+2) (x+4) = x2+4x+2x+8Lihtsustage: x2+ 4x+2x+8 = x2+6x+8
2
Mõistke faktooringut. Kui korrutate kaks binoomarvu FOIL-meetodil, saate trinoomi (kolme liikmega avaldise) kujul ax2+bx+c, kus a, b ja c on tavalised arvud. Kui alustate samal kujul oleva võrrandiga, saate selle uuesti kaheks binoomiks arvutada. Kui võrrand pole selles järjekorras kirjutatud, liigutage termineid nii, et need oleksid. Näiteks kirjutage 3x – 10 + x2 ümber x2 + 3x – 10. Kuna kõrgeim eksponent on 2 (x2, on seda tüüpi avaldis “ruut”.
3
Kirjutage vastuse jaoks tühik fooliumi kujul. Praegu kirjutage vastuse kirjutamise lahtrisse (__ __)(__ __). Täidame selle töö käigus. Ärge kirjutage veel tühjade terminite vahele + või -, kuna me ei tea, milline see on.
4
Täitke esimesed tingimused. Lihtsate ülesannete puhul, kus teie kolmiku esimene liige on vaid x2, on esimeses positsioonis olevad liikmed alati x ja x. Need on termini x2 tegurid, kuna x korda x = x2. Meie näide x2 + 3x – 10 algab lihtsalt tähega x2, nii et saame kirjutada:(x __)(x __) Keerulisemaid probleeme käsitleme järgmine jaotis, sealhulgas trinomaalid, mis algavad terminiga nagu 6×2 või -x2. Praegu järgige probleemi näidet.
5
Kasutage viimaste tingimuste äraarvamiseks faktooringut. Kui lähete tagasi ja loete uuesti FOIL-meetodi sammu, näete, et viimaste liikmete korrutamine annab polünoomi viimase liikme (see, millel pole x-i). Koefitsiendiks peame leidma kaks arvu, mis korrutades moodustavad viimase liikme. Meie näites x2 + 3x – 10 on viimane liige -10. Millised on -10 tegurid? Millised kaks arvu korrutatuna on -10? On mõned võimalused: -1 korda 10, 1 korda -10, -2 korda 5 või 2 korda -5. Kirjutage need paarid kuhugi üles, et neid meeles pidada. Ärge muutke meie vastust veel. See näeb endiselt välja selline: (x __) (x __).
6
Katsetage, millised võimalused välise ja sisemise korrutamise korral töötavad. Oleme viimased tingimused kitsendanud mõne võimaluseni. Kasutage katse-eksituse meetodit iga võimaluse testimiseks, korrutades välise ja sisemise terminid ning võrreldes tulemust meie kolmikuga. Näiteks: Meie algse probleemi “x” liige on 3x, nii et see on see, milleni me selles testis jõuame. Test -1 ja 10: (x-1)(x+10). Väljas + sees = 10x – x = 9x. Ei. Test 1 ja -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. See ei ole õige. Tegelikult, kui testite -1 ja 10, teate, et 1 ja -10 on just vastupidised ülaltoodud vastusele: -9x 9x asemel. Test -2 ja 5: (x-2)(x+5) . 5x – 2x = 3x. See vastab algsele polünoomile, seega on õige vastus: (x-2)(x+5). Sellistel lihtsatel juhtudel, kui teil pole x2 liikme ees konstanti, võite kasutada otseteed : lihtsalt lisage need kaks tegurit kokku ja lisage selle järele “x” (-2+5 → 3x). See aga ei tööta keerulisemate probleemide puhul, seega on hea meeles pidada ülalkirjeldatud “pikka teed”.
7
Keerulisemate probleemide lihtsustamiseks kasutage lihtsat faktooringut. Oletame, et peate arvestama koefitsiendiga 3×2 + 9x – 30. Otsige midagi, mis võtab arvesse kõiki kolme terminit (“suurim ühine tegur” või GCF). Sel juhul on see 3:3×2 = (3)(x2)9x = (3)(3x)-30 = (3)(-10)Seega 3×2 + 9x – 30 = (3)(x2+3x-10) ). Saame uue trinoomi välja arvutada, kasutades ülaltoodud samme. Meie lõplik vastus on (3) (x-2) (x+5).
8
Otsige keerukamaid tegureid. Mõnikord võib tegur hõlmata muutujaid või peate võib-olla paar korda tegureerima, et leida võimalikult lihtne avaldis. Siin on mõned näited: 2x2a + 14xy + 24a = (2a)(x2 + 7x + 12)x4 + 11×3 – 26×2 = (x2)(x2 + 11x-26)-x2 + 6x-9 = (-1)( x2 – 6x + 9) Ärge unustage uut trinoomi täiendavalt arvesse võtta, kasutades 1. meetodi samme. Kontrollige oma tööd ja leidke sarnased näidisprobleemid selle lehe allosas olevatest näidisülesannetest.
9
Lahendage ülesandeid numbriga x2 ees. Mõnda ruuttrinomaali ei saa lihtsustada kõige lihtsama ülesande tüübini. Õppige, kuidas lahendada selliseid probleeme nagu 3×2 + 10x + 8, ja seejärel harjutage ise lehe allosas olevate näidisülesannete abil. Seadistage vastus: (__ __)(__ __)Meie “esimestel” terminitel on igaühel x ja korrutatakse kokku, et saada 3×2. Siin on ainult üks võimalik valik: (3x __)(x __). Loetlege tegurid 8-st. Meie valikud on 1 korda 8 või 2 korda 4. Testige neid välise ja sisemise terminite abil. Pange tähele, et tegurite järjekord on oluline, kuna välisterminit korrutatakse x asemel 3x-ga. Proovige kõiki võimalusi, kuni saate tulemuseks Outside+Inside 10x (algsest ülesandest):(3x+1)(x+8) – 24x+x = 25x ei(3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x ei(3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x ei(3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x jah See on õige tegur.
10
Kasutage kõrgema astme trinoomide jaoks asendust. Teie matemaatikaraamat võib teid üllatada suure astendajaga võrrandiga, näiteks x4, isegi pärast seda, kui olete probleemi lihtsamaks muutmiseks kasutanud lihtsat faktooringut. Proovige asendada uue muutujaga, mis muudab selle probleemiks, mida teate, kuidas lahendada. Näiteks:x5+13×3+36x=(x)(x4+13×2+36)Leiutame uue muutuja. Ütleme y = x2 ja ühendame selle: (x)(y2+13y+36)=(x)(y+9)(y+4). Nüüd lülituge tagasi algse muutuja kasutamisele:=(x)(x2+9)(x2+4)=(x)(x±3)(x±2)
11
Kontrollige algarvude olemasolu. Kontrollige, kas trinoomi esimese või kolmanda liikme konstant on algarv. Algarvu saab jagada võrdselt ainult iseenda ja 1-ga, seega on võimalik ainult üks binoomtegurite paar. Näiteks x2 + 6x + 5 korral on “5 algarv, seega peab binoom olema kujul ( __ 5)(__ 1). Ülesandes 3×2+10x+8 on 3 algarv, seega peab binoom olema kujul (3x __)(x __). Ülesande 3×2+4x+1 puhul on Ainus võimalik lahendus on (3x+1)(x+1). (Selle töö kontrollimiseks tuleks see ikkagi välja korrutada, kuna mõnda avaldist ei saa üldse arvesse võtta – näiteks 3×2+100x+1 pole tegurid.)
12
Kontrollige, kas kolmik on täiuslik ruut. Täiusliku ruudukujulise trinoomi saab arvutada kaheks identseks binoomiks ja teguriks kirjutatakse tavaliselt (x+1)(x+1) asemel (x+1)2. Siin on mõned levinumad probleemid, mis kipuvad probleemide korral ilmnema: x2+2x+1=(x+1)2 ja x2-2x+1=(x-1)2×2+4x+4=(x+2)2 , ja x2-4x+4=(x-2)2×2+6x+9=(x+3)2 ja x2-6x+9=(x-3)2Täiuslik ruuttrinoom kujul ax2 + bx + c sisaldab alati a- ja c-liikmeid, mis on positiivsed täiuslikud ruudud (nt 1, 4, 9, 16 või 25), ja b-liikme (positiivne või negatiivne), mis võrdub 2-ga (√a * √c).
13
Kontrollige, kas lahendust pole. Kõiki trinoome ei saa arvesse võtta. Kui olete kinni jäänud ruuttrinomaalidele (ax2+bx+c), kasutage vastuse leidmiseks ruutvalemit. Kui ainsad vastused on negatiivse arvu ruutjuur, pole reaalseid lahendusi, seega pole tegureid. Mitteruutarvuliste trinoomide jaoks kasutage Eisensteini kriteeriumi, mida on kirjeldatud jaotises Nõuanded.