Polünoom sisaldab muutujat (x), mis on tõstetud astmeni, mida nimetatakse astmeks, ja mitmeid termineid ja/või konstante. Polünoomi faktoriseerimine tähendab avaldise jagamist väiksemateks avaldisteks, mis korrutatakse kokku. Need oskused on algebra I ja kõrgemad ning neid võib olla raske mõista, kui teie matemaatikaoskused pole sellel tasemel.
1
Seadistage oma väljend. Ruutvõrrandi standardvorming on: ax2 + bx + c = 0Alustage võrrandis olevate terminite järjestamisest suurimast madalaima võimsuseni, täpselt nagu see standardvorming. Näiteks võtame: 6 + 6×2 + 13x = 0 Järjestame selle avaldise ümber, et sellega oleks lihtsam töötada, nihutades lihtsalt termineid ümber:6×2 + 13x + 6 = 0
2
Leidke faktoriga vorm, kasutades ühte allolevatest meetoditest. Polünoomi faktoriseerimine annab tulemuseks kaks väiksemat avaldist, mida saab algse polünoomi saamiseks korrutada: 6×2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)Selles näites (2x +3) ja (3x + 2) on algse avaldise tegurid 6×2 + 13x + 6.
3
Kontrolli oma tööd! Korrutage tuvastatud tegurid. Seejärel ühendage sarnased terminid ja oletegi valmis. Alustage:(2x + 3)(3x + 2)Testime, korrutades terminid FOIL-iga (esimene – välimine – sisemine – viimane), saades:6×2 + 4x + 9x + 6Siit saame liita 4x ja 9x kuna need on nagu terminid. Teame, et meie tegurid on õiged, sest saame võrrandi, millest alustasime: 6×2 + 13x + 6
4
Loetlege termini a ja c tegurid. Kasutades avaldisevormingut ax2 + bx + c = 0, tuvastage a- ja c-terminid ning loetlege nende tegurid. 3×2 + 2x – 8 puhul tähendab see: a = 3 ja sellel on üks tegurite komplekt: 1 * 3c = -8 ja sellel on neli tegurite komplekti: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja – 1*8.
5
Kirjutage üles kaks sulgude komplekti tühjade tühikutega. Sisestate iga avaldise konstandid enda loodud ruumi:(  x    )(  x    )
6
Täitke x-ide ees olevad ruumid väärtuse võimalike tegurite paariga. Meie näites oleva termini 3×2 puhul on meie näite jaoks ainult üks võimalus: (3x   )(1x   )
7
Täitke kaks tühikut pärast x-i konstantide teguri paariga. Oletame, et valisime 8 ja 1. Kirjutage see sisse:(3x  8)(x  1)
8
Otsustage, millised märgid (pluss või miinus) peaksid olema x muutuja ja numbrite vahel. Sõltuvalt algse avaldise märkidest on võimalik välja selgitada, millised peaksid olema konstantide märgid. Nimetagem meie kahe teguri h ja k kaks konstanti: Kui ax2 + bx + c, siis (x + h)(x + k)Kui ax2 – bx – c või ax2 + bx – c, siis (x – h)(x) + k)Kui ax2 – bx + c, siis (x – h)(x – k)Meie näite puhul 3×2 + 2x – 8, peavad märgid olema:(x -Â h)(x +Â k), mis annab meile kaks tegurit: (3x + 8) ja (x – 1)
9
Testige oma valikut, kasutades esimene-välimine-sisemine-viimane (FOIL) korrutamist. Kiire esimene test on teha kindlaks, kas keskmine termin on vähemalt õige väärtus. Kui see nii ei ole, olete võib-olla valinud valed c-tegurid. Testime oma vastust:(3x + 8)(x – 1)Korrutamise teel saame:3×2 – 3x + 8x – 8Lihtsustades seda avaldist, lisades sarnased terminid (-3x) ja (8x), saame:3×2 – 3x + 8x – 8 = 3×2 + 5x – 8 Teame nüüd, et pidime tuvastama valed tegurid: 3×2 + 5x – 8 – 3×2 + 2x – 8
10
Vajadusel muutke oma valikuid. Meie näites proovime 1 ja 8 asemel 2 ja 4:(3x + 2)(x – 4)Nüüd on meie c-termin -8, kuid meie välise/sisemise korrutis (3x * -4) ja (2 * x) on -12x ja 2x, mida ei kombineerita õigeks b liikmeks +2x.-12x + 2x = 10x10x ≠2x
11
Vajadusel muutke järjekord ümber. Proovime 2 ja 4 ümber tõsta:(3x + 4)(x – 2)Nüüd on meie c-täht (4 * 2 = 8) endiselt okei, kuid välised/sisemised tooted on -6x ja 4x. Kui me need kombineerime: -6x + 4x = 2x2x ≠-2xOleme üsna lähedal 2x-le, mille poole püüdlesime, kuid see on vale märk.
12
Vajadusel kontrollige oma märke veel kord. Jääme sama järjekorra juurde, kuid vahetage välja, kummal on miinus:(3x – 4)(x + 2)Nüüd on termin c endiselt okei ja välis-/sisemised tooted on nüüd (6x) ja ( -4x). Kuna:6x – 4x = 2x2x = 2xVõime nüüd ära tunda algse ülesande positiivse 2x. Need peavad olema õiged tegurid.
13
Korrutage a liige sõnaga c. Selles näites on a 6 ja c on samuti 6,6 * 6 = 36
14
Hankige b-termin faktoringu ja testimise teel. Otsime kahte arvu, mis on meie tuvastatud a * c toote tegurid ja mis liidavad ka b-liikme (13).4 * 9 = 364 + 9 = 13
15
Asendage võrrandis saadud kaks arvu b-liikme summana. Kasutame k ja h kahe saadud arvu tähistamiseks 4 ja 9:ax2 + kx + hx + c6x2 + 4x + 9x + 6
16
Korrutage polünoomi rühmitamise teel. Korraldage võrrand nii, et saaksite välja arvutada kahe esimese liikme ja kahe viimase liikme suurima ühisteguri. Mõlemad faktorirühmad peaksid olema samad. Lisage suurimad ühised tegurid kokku ja lisage need faktoriga rühma kõrvale sulgudesse; tulemuseks on teie kaks tegurit: 6×2 + 4x + 9x + 62x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)
17
Korrutage a liige sõnaga c. Nagu lagunemismeetodi puhul, aitab see meil tuvastada b-termini kandidaate. Selles näites on a 8 ja c 2,8 * 2 = 16
18
Leidke kaks arvu, mille korrutis on see arv ja mille summa on võrdne sõnaga b. See samm on identne lagunemismeetodiga – me testime ja lükkame tagasi konstantide kandidaate. A- ja c-liikmete korrutis on 16 ja c-liikme korrutis on 10:2 * 8 = 168 + 2 = 10
19
Võtke need kaks numbrit ja proovige asendada need kolmekordse mängu valemiga. Võtke meie kaks arvu eelmisest etapist – nimetame neid h-ks ja k-ks – ning paneme need sellesse avaldisse:((ax + h)(ax + k))/ aSiit saaksime:((8x + 8)( 8x + 2)) / 8
20
Vaadake, milline kahest lugejas olevast liikmest jagub võrdselt a-ga. Selles näites näeme, kas (8x + 8) või (8x + 2) saab jagada 8-ga. (8x + 8) jagub 8-ga, seega jagame selle liikme a-ga ja jätame teise nagu on.(8x + 8) = 8(x + 1)Termin, mille me siit välja salvestame, jääb alles pärast a-liikmega jagamist:(x + 1)
21
Võtke kas või mõlemast terminist välja suurim ühistegur (GCF), kui see on olemas. Selles näites on teise liikme GCF 2, kuna 8x + 2 = 2(4x + 1). Kombineerige see vastus eelmises etapis tuvastatud terminiga. Need on teie võrrandi tegurid.2(x + 1)(4x + 1)
22
Võimaluse korral arvestage välja suurim ühine tegur. Sel juhul näeme, et 27 ja 12 jagavad mõlemad 3-ga, seega eraldame selle: 27×2 – 12 = 3(9×2 – 4)
23
Tehke kindlaks, kas teie võrrandi koefitsiendid on ruutarvud. Selle meetodi kasutamiseks peaksite saama ruutjuure võrdselt võtta. (Pange tähele, et oleme jätnud välja negatiivsed märgid – kuna need arvud on ruudud, võivad need olla positiivse või kahe negatiivse arvu korrutised) 9×2 = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2
24
Kasutades tuvastatud ruutjuuri, kirjutage tegurid üles. Võtame a ja c väärtused ülaltoodud sammust – a = 9 ja c = 4, seejärel leiame nende ruutjuured – √a = 3 ja √c = 2. Need on koefitsiendid teguriavaldiste jaoks: 27×2 – 12 = 3 (9×2 – 4) = 3 (3x + 2) (3x – 2)
25
Ühendage vastavad väärtused ruutvalemisse:x = -b ± √(b2 – 4ac)      ————————- 2
26
Lahenda x jaoks. Peaksite saama kaks x väärtust. Nagu ülal näidatud, saame kaks vastust: x = -2 + √(3) või x = -2 – √(3)
27
Kasutage tegurite arvutamiseks x väärtust. Ühendage saadud x väärtused konstantidena kahte polünoomiavaldisesse. Need on teie tegurid. Kui nimetame oma kahte vastust h ja k, kirjutame kaks tegurit nagu nii:(x – h)(x – k)Sel juhul on meie lõplik vastus:(x – (-2 + √(3)) (x – (-2 – √(3)) = (x + 2 – √(3))(x + 2 + √(3))
28
Sisestage oma võrrand kalkulaatorisse. Kasutate võrrandilahendajat, mida tuntakse ka kui [Y = ] ekraani.
29
Joonistage võrrand oma kalkulaatori abil. Kui olete võrrandi sisestanud, vajutage [GRAPH] – te peaksite nägema oma võrrandit tähistavat sujuvat kaarekujulist kaarekujulist kaarekujulist kaarekujulist kaarekujulist kaarekujulist kaarekujulist kaarejoont, kuna tegemist on polünoomidega.
30
Leidke koht, kus kaar lõikub x-teljega. Kuna polünoomvõrrandid kirjutatakse traditsiooniliselt kujul ax2 + bx + c = 0, on need kaks x väärtust, mis põhjustavad avaldise võrdseks nulliga: (-1, 0), (2, 0)x = -1, x = 2Kui te ei suuda tuvastada, kus teie graafik ristub x-teljega, vajutage [2nd] ja seejärel [TRACE]. Vajutage [2] või valige “null”. Libistage kursor ristumiskohast vasakule ja vajutage [ENTER]. Libistage kursor ristumiskohast paremale ja vajutage [ENTER]. Libistage kursor ristumiskohale võimalikult lähedale ja vajutage [ENTER]. Kalkulaator leiab x väärtuse. Tehke seda ka teise ristmiku jaoks.
31
Ühendage eelmises saadud x väärtused kahte faktoriavaldist. Kui nimetame oma kaks x-väärtust h ja k, siis kasutatav avaldis on:(x – h)(x – k) = 0 Seega peavad meie kaks tegurit olema:(x – (-1))(x – 2) = (x + 1) (x – 2)