Graafiku tegemisel annavad ruutvõrrandid kujul ax2 + bx + c või a(x – h)2 + k sujuva U-kujulise või vastupidise U-kujulise kõvera, mida nimetatakse parabooliks. Ruutvõrrandi graafiku tegemine on selle väärtuse leidmise küsimus. tipp, suund ja sageli ka selle x ja y lõikepunkt. Suhteliselt lihtsate ruutvõrrandite puhul võib piisata ka x väärtuste vahemiku ühendamisest ja saadud punktide põhjal kõvera joonistamisest. Alustamiseks vaadake 1. sammu allpool.
1
Tehke kindlaks, milline ruutvõrrandi vorm teil on. Ruutvõrrandi saab kirjutada kolmel erineval kujul: standardvorm, tipuvorm ja ruutvorm. Ruutvõrrandi joonistamiseks võite kasutada mõlemat vormi; igaühe graafiku tegemise protsess on veidi erinev. Kui teete kodutööd, saate selle tavaliselt ühel kahest vormist – teisisõnu, te ei saa valida, seega on kõige parem mõista mõlemat. Ruutvõrrandi kaks vormi on: standardvorm. Sellisel kujul kirjutatakse ruutvõrrand järgmiselt: f(x) = ax2 + bx + c kus a, b ja c on reaalarvud ja a ei ole võrdne nulliga. Näiteks kaks standardvormi ruutvõrrandit on f( x) = x2 + 2x + 1 ja f(x) = 9×2 + 10x -8.Tipuvorm. Sellisel kujul kirjutatakse ruutvõrrand järgmiselt: f(x) = a(x – h)2 + k, kus a, h ja k on reaalarvud ja a ei võrdu nulliga. Tipuvormi nimetatakse selliseks, kuna h ja k annavad otse teie parabooli tipu (keskpunkti) punktis (h,k). Kaks tipuvormi võrrandit on f(x) = 9(x – 4)2 + 18 ja -3(x – 5)2 + 1Kumbki seda tüüpi võrrandite graafiku koostamiseks peame esmalt leidma parabooli tipu, mis on kõvera “tipu” keskpunkt (h,k). Tipu koordinaadid standardkujul on antud: h = -b/2a ja k = f(h), samas kui tipukujul on h ja k määratud võrrandis.
2
Määratlege oma muutujad. Ruutülesannete lahendamiseks tuleb tavaliselt defineerida muutujad a, b ja c (või a, h ja k). Keskmine algebra ülesanne annab teile ruutvõrrandi, kus muutujad on täidetud, tavaliselt standardkujul, kuid mõnikord ka tipukujul. Näiteks standardvormi võrrandi f(x) = 2×2 +16x + 39 jaoks on meil = 2, b = 16 ja c = 39. Tipu võrrandi f(x) = 4(x – 5)2 + 12 korral on a = 4, h = 5 ja k = 12.
3
Arvuta h. Tipuvormi võrrandites on teie h väärtus juba antud, kuid standardvormi võrrandite puhul tuleb see arvutada. Pidage meeles, et standardvormi võrrandite puhul on h = -b/2a. Meie standardvormi näites (f(x) = 2×2 +16x + 39) h = -b/2a = -16/2(2). Lahendades leiame, et h = -4. Meie tipuvormi näites (f(x) = 4(x – 5)2 + 12) teame h = 5 ilma matemaatikat tegemata.
4
Arvuta k. Nagu h puhul, on k juba tuntud tipuvormide võrrandites. Standardvormi võrrandite puhul pidage meeles, et k = f(h). Teisisõnu saate k leida, kui asendate võrrandis iga x-i eksemplari äsja h jaoks leitud väärtusega. Oleme oma standardvormi näites määranud, et h = -4. K leidmiseks lahendame võrrandi h väärtusega, asendades x:k = 2(-4)2 + 16(-4) + 39.k = 2(16) – 64 + 39.k = 32 – 64 + 39 = 7 Meie tipuvormi näites teame jällegi k väärtust (mis on 12) ilma, et peaksime matemaatikat tegema.
5
Joonistage oma tipp. Teie parabooli tipp on punkt (h, k) – h määrab x-koordinaadi, samas kui k määrab y-koordinaadi. Tipp on teie parabooli keskpunkt – kas U-tähe alumine punkt või tagurpidi U-tähe ülemine punkt. Tipu tundmine on täpse parabooli graafiku koostamise oluline osa – koolitöös on tipu määramine sageli küsimuse nõutav osa. Meie standardvormi näites on meie tipp punktis (-4,7). Seega on meie parabool 4 tühikut 0-st vasakul ja 7 tühikut ülalpool (0,0). Peaksime selle punkti oma graafikule joonistama, märgistades kindlasti koordinaadid. Meie tipuvormi näites on meie tipp punktis (5,12). Peaksime joonistama punkti 5 tühikut paremale ja 12 tühikut ülespoole (0,0).
6
Joonistage parabooli telg (valikuline). Parabooli sümmeetriatelg on selle keskosa läbiv joon, mis jagab selle ideaalselt pooleks. Üle selle telje peegeldab parabooli vasak pool paremat külge. Ruutarvude puhul kujul ax2 + bx + c või a(x – h)2 + k on teljeks y-teljega paralleelne (teisisõnu täiesti vertikaalne) ja tippu läbiv sirge. meie standardvormi näites on telg y-teljega paralleelne joon, mis läbib punkti (-4, 7). Kuigi see ei ole osa paraboolist endast, võib selle joone kerge märkimine graafikule lõpuks aidata teil näha, kuidas parabool sümmeetriliselt kõverdub.
7
Leidke avanemissuund. Pärast parabooli tipu ja telje väljaselgitamist peame järgmiseks teadma, kas parabool avaneb üles või alla. Õnneks on see lihtne. Kui “a” on positiivne, avaneb parabool ülespoole, samas kui “a” on negatiivne, avaneb parabool allapoole (st see pööratakse tagurpidi). Meie standardvormi näite puhul (f(x) = 2×2 +16x + 39), teame, et parabool avaneb ülespoole, sest meie võrrandis on a = 2 (positiivne). Meie tipuvormi näite (f(x) = 4(x – 5)2 + 12) puhul me teame, et meil on ka parabool, mis avaneb ülespoole, sest a = 4 (positiivne).
8
Vajadusel leida ja joonistada x lõikepunkt. Sageli palutakse teil koolitöös leida parabooli x-lõikepunktid (mis on üks või kaks punkti, kus parabool puutub kokku x-teljega). Isegi kui te neid ei leia, võivad need kaks punkti olla täpse parabooli joonistamiseks hindamatud. Kõigil paraboolidel ei ole aga x-lõikepunkte. Kui teie parabooli tipp avaneb ülespoole ja selle tipp on x-teljest kõrgemal või kui see avaneb allapoole ja selle tipp on x-telje all, siis sellel ei ole ühtegi x lõikepunkti. Vastasel juhul lahendage oma x lõikepunktid ühega järgmistest meetoditest: lihtsalt määrake f(x) = 0 ja lahendage võrrand. See meetod võib töötada lihtsate ruutvõrrandite puhul, eriti tipuvormis, kuid osutub keerukamate jaoks äärmiselt keeruliseks. Vaadake allpool näidet f (x) = 4 (x – 12) 2 – 40 = 4 (x – 12) 2 – 44 = 4 (x – 12) 21 = (x – 12) 2SqRt (1) = (x – 12)+/- 1 = x -12. x = 11 ja 13 on parabooli x-lõikepunktid. Tegurige võrrandit. Mõningaid võrrandeid kujul ax2 + bx + c saab hõlpsasti arvesse võtta kujul (dx + e)(fx +g), kus dx × fx = ax2, (dx × g + fx × e) = bx, ja e × g = c. Sel juhul on teie x lõikepunktid x väärtused, mis muudavad sulgudes oleva termini väärtuseks 0. Näiteks:x2 + 2x + 1= (x + 1)(x + 1)Sellisel juhul on teie ainus x lõikepunkt – 1, sest kui x on võrdne -1-ga, muutub kumbki sulgudes olevatest faktoritest võrdseks 0.Kasutage ruutvalemit. Kui te ei saa oma x lõikepunktide jaoks hõlpsasti lahendada või võrrandit koefitsieneerida, kasutage selleks otstarbeks loodud spetsiaalset võrrandit, mida nimetatakse ruutvalemiks. Kui see veel pole, viige võrrand kujule ax2 + bx + c, seejärel ühendage a, b ja c valemiga x = (-b +/- SqRt(b2 – 4ac))/2a. Pange tähele, et see annab sageli x-le kaks vastust, mis on OK – see tähendab lihtsalt, et teie paraboolil on kaks x lõikepunkti. Vaadake näidet allpool: -5×2 + 1x + 10 ühendatakse ruutvalemiga järgmiselt:x = (-1 +/- SqRt(12 – 4(-5)(10)))/2(-5)x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10x = (-1 +/- SqRt(201))/-10x = (-1 +/- 14,18)/-10x = (13,18/-10) ) ja (-15.18/-10). Parabooli x lõikepunktid on ligikaudu x = -1,318 ja 1,518 Meie eelmine standardvormi näide, 2×2 + 16x + 39 ühendatakse ruutvalemiga järgmiselt:x = (-16 +/- SqRt(162 – 4(2)( 39)))/2(2)x = (-16 +/- SqRt(256 – 312))/4x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10Sest negatiivse arvu ruutjuure leidmine on võimatu, me teame, et selle konkreetse parabooli jaoks pole x lõikepunkte.
9
Vajadusel leidke ja joonistage y lõikepunkt. Kuigi sageli pole vaja leida võrrandi y lõikepunkti (punkt, kus parabool läbib y-telge), võidakse teil lõpuks seda nõuda, eriti kui olete koolis. See protsess on üsna lihtne – lihtsalt määrake x = 0, seejärel lahendage võrrand f(x) või y jaoks, mis annab teile y väärtuse, mille juures teie parabool läbib y-telge. Erinevalt x lõikepunktidest võib standardparaboolidel olla ainult üks y lõikepunkt. Märkus – standardvormi võrrandite puhul on y lõikepunkt y = c. Näiteks me teame, et meie ruutvõrrandil 2×2 + 16x + 39 on y lõikepunkt y = 39, kuid selle võib leida ka järgmiselt:f(x) = 2×2 + 16x + 39f(x) = 2(0)2 + 16(0) + 39f(x) = 39. Parabooli y lõikepunkt on y = 39. Nagu eespool märgitud, on y lõikepunkt y = c .Meie tipu võrrandil 4(x – 5)2 + 12 on y lõikepunkt, mille võib leida järgmiselt: f(x) = 4(x – 5)2 + 12f(x) = 4(0 – 5)2 + 12f(x) = 4(-5)2 + 12f(x) = 4(25) + 12f(x) = 112. Parabooli y lõikepunkt on y = 112.
10
Vajadusel joonistage lisapunktid, seejärel joonistage graafik. Teie võrrandi jaoks peaks nüüd olema tipp, suund, x lõikepunkt(id) ja võib-olla ka y lõikepunkt. Siinkohal võite proovida joonistada oma parabooli, kasutades selleks juhiseid, või leida rohkem punkte, et oma parabooli “täita”, et joonistatud kõver oleks täpsem. Lihtsaim viis seda teha on lihtsalt ühendada paar x väärtust mõlemal pool oma tippu ja seejärel joonistada need punktid saadud y väärtuste abil. Sageli nõuavad õpetajad, et enne parabooli joonistamist kogutaks teatud arv punkte. Vaatame uuesti võrrandit x2 + 2x + 1. Teame juba, et selle ainus x lõikepunkt on x = -1. Kuna see puudutab x-lõikepunkti ainult ühes punktis, võime järeldada, et selle tipp on selle lõikepunkt x, mis tähendab, et selle tipp on (-1,0). Meil on selle parabooli eest tegelikult ainult üks punkt – sellest ei piisa hea parabooli loomiseks. Täpse graafiku koostamiseks otsime veel mõned. Leiame y väärtused järgmistele x väärtustele: 0, 1, -2 ja -3. 0 puhul: f(x) = (0)2 + 2( 0) + 1 = 1. Meie punkt on (0,1). 1 jaoks: f(x) = (1)2 + 2(1) + 1 = 4. Meie punkt on (1,4). -2 : f(x) = (-2)2 + 2(-2) + 1 = 1. Meie punkt on (-2,1). -3 puhul: f(x) = (-3)2 + 2(- 3) + 1 = 4. Meie punkt on (-3,4). Joonistage need punktid graafikule ja joonistage oma U-kujuline kõver. Pange tähele, et parabool on täiesti sümmeetriline – kui teie punktid parabooli ühel küljel asuvad täisarvudel, saate tavaliselt säästa oma tööd, lihtsalt peegeldades antud punkti üle parabooli sümmeetriatelje, et leida vastav punkt teiselt poolt. paraboolist.