Pinnaintegraalid on joonintegraalide üldistus. Kui sirge integraal sõltub ühe parameetriga määratletud kõverast, siis kahemõõtmeline pind sõltub kahest parameetrist. Pinnaelement dS{displaystyle mathrm {d} mathbf {S} } sisaldab teavet nii pinna pindala kui ka orientatsiooni kohta. Allpool tuletame pinnaelemendi standardses Descartes’i koordinaatsüsteemis ja anname näite pinnaintegraalide hindamise kohta.
1
Vaatleme suvalist vektorfunktsiooni r{displaystyle mathbf {r}}. Allpool lubame z=f(x,y).{displaystyle z=f(x,y).}r=xi+yj+f(x,y)k{displaystyle mathbf {r} =x mathbf {i} +ymathbf {j} +f(x,y)mathbf {k} }
2
Arvutage erinevused. Drx,y{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} _{x},,y} puhul hoitakse konstantsena ja vastupidi. Kasutame tähistust fx=∂f(x,y)∂x.{displaystyle f_{x}={frac {partial f(x,y)}{partial x}}.}drx=dxi +fxdxk{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} _{x}=mathrm {d} xmathbf {i} +f_{x}mathrm {d} xmathbf {k} }dry= dyj+fydyk{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} _{y}=mathrm {d} ymathbf {j} +f_{y}mathrm {d} ymathbf {k} }
3
Võtke kahe diferentsiaali ristkorrutis.dS=drx×dry=|ijkdx0fxdx0dyfydy|=−fxdxdyi−fydxdyj+dxdyk{displaystyle {begin{aligned}mathrm {d} mathbf {S} { &=mathrm d} mathbf {r} _{x}times mathrm {d} mathbf {r} _{y}\&={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} & mathbf {k} \mathrm {d} x&0&f_{x}mathrm {d} x\0&mathrm {d} y&f_{y}mathrm {d} yend{vmatrix}}\&=- f_{x}mathrm {d} xmathrm {d} ymathbf {i} -f_{y}mathrm {d} xmathrm {d} ymathbf {j} +mathrm {d} x mathrm {d} ymathbf {k} end{aligned}}}dS=(−fxi−fyj+k)dxdy{displaystyle mathrm {d} mathbf {S} =(-f_{x} mathbf {i} -f_{y}mathbf {j} +mathbf {k} )mathrm {d} xmathrm {d} y}Ülaltoodud valem on üldpindade pinnaelement, mis on defineeritud väärtusega z=f (x,y).{displaystyle z=f(x,y).} Oluline on märkida, et pindade olemus (täpsemalt ristkorrutis) lubab siiski üht mitmetähenduslikkust – seda, kuidas normaalvektor osutab. Meie tuletatud tulemus kehtib välisnormaalide kohta, mille tuvastab positiivne komponent k{displaystyle mathbf {k} }, ja enamiku rakenduste puhul on see alati nii. Tuletamine toimib igas koordinaatsüsteemis. Vaata näpunäiteid silindriliste koordinaatide tuletamiseks.
4
Visualiseerige pinnaintegraal. Pind koosneb lõpmata väikestest laigudest, mis on ligikaudu tasased. Nagu näete, toimib domeeni üle integreerimise viis samamoodi ja asjaolu, et pinnaelement tähistab orientatsiooni, peegeldab ka seda, et pinnaintegraalid on pindala integraalide võimas üldistus.
5
Arvutage funktsiooni z=4−x2−y2{displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}} pindala xy-tasandi kohal. Pindala leidmine hõlmab alloleva integraali leidmist. Me hoolime ainult pinna pindalast, mitte selle orientatsioonist, seega leiame selle suuruse.∫S|dS|=∫A1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dA{displaystyle int _{S}|mathrm {d} mathbf {S} |=int _{A}{sqrt {1+left({frac {partial z}{partial x}}right )^{2}+left({frac {partial z}{partial y}}right)^{2}}},mathrm {d} A}
6
Leia pinnaelemendi suurus. Tuletage 1. osast meelde, et dS=(−fxi−fyj+k)dA,{displaystyle mathrm {d} mathbf {S} =(-f_{x}mathbf {i} -f_{y}mathbf {j} +mathbf {k} )mathrm {d} A,} kus z=f(x,y).{displaystyle z=f(x,y).}dS=2xi+2yj+k{ displaystyle mathrm {d} mathbf {S} =2xmathbf {i} +2ymathbf {j} +mathbf {k} }|dS|=4×2+4y2+1dA{displaystyle |mathrm {d} mathbf {S} |={sqrt {4x^{2}+4 a^{2}+1}}mathrm {d} A}
7
Määrake piirid. Piir xy-tasandil on ring raadiusega 2. See tähendab, et me peaksime hindama ka polaarkoordinaatides.∫S|dS|=∫02rdr∫02Ï€dθ4r2+1{displaystyle int _{ S}|mathrm {d} mathbf {S} |=int _{0}^{2}rmathrm {d} rint _{0}^{2pi }mathrm {d} teeta {sqrt {4r^{2}+1}}}
8
Hinnake kõiki võimalikke vahendeid kasutades. U-asendus on õige tee.∫S|dS|=2π∫02r4r2+1dr,   u=1+4r2=Ï€4∫117u1/2du=Ï€6(173/2−1 ){displaystyle {begin{aligned}int _{S}|mathrm {d} mathbf {S} |&=2pi int _{0}^{2}r{sqrt {4r^ {2}+1}}mathrm {d} r, u=1+4r^{2}\&={frac {pi }{4}}int _{1}^{17 }u^{1/2}mathrm {d} u\&={frac {pi }{6}}(17^{3/2}-1)end{joondatud}}}