Üks olulisemaid oskusi, mida algebraõpilane õpib, on ruutvalem ehk x=−b±b2−4ac2a.{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac }}}{2a}}.} Ruutarvu valemiga saab ruutvõrrandi kujul ax2+bx+c=0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahendada lihtsa koefitsiendid a,b,c{displaystyle a,b,c} valemisse. Kuigi paljude jaoks piisab valemi lihtsalt teadmisest, on selle tuletamise mõistmine (teisisõnu, kust see pärineb) hoopis teine asi. Valem tuletatakse “ruudu täitmise” kaudu, millel on ka muid matemaatika rakendusi, seega on soovitatav sellega tutvuda.
1
Alustage üldise ruutvõrrandi standardvormist. Kuigi iga võrrand, milles on x2{displaystyle x^{2}} liige, kvalifitseerub ruutarvuks, määrab standardvorm kõik väärtuseks 0. Pidage meeles, et a,b,c{displaystyle a,b,c} on koefitsiendid, mis võivad olla mis tahes reaalarv, seega ärge asendage neid arvudega – me tahame töötada üldvormiga.ax2+bx+c=0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}Ainus tingimus on see, et a≠0,{displaystyle aneq 0,}, sest vastasel juhul taandub võrrand lineaarseks võrrandiks. Vaadake, kas leiate üldisi lahendusi erijuhtudele, kus b=0{displaystyle b=0} ja kus c=0.{displaystyle c=0.}
2
Lahutage mõlemalt küljelt c{displaystyle c}. Meie eesmärk on isoleerida x.{displaystyle x.} Alustuseks liigutame ühe koefitsiendi teisele poole, nii et vasak pool koosneb ainult terminitest, mille sees on x{displaystyle x}.ax2+bx= −c{displaystyle ax^{2}+bx=-c}
3
Jagage mõlemad pooled {displaystyle a}-ga. Pange tähele, et oleksime võinud seda ja eelmist sammu vahetada ning jõudsime ikkagi samasse kohta. Pidage meeles, et polünoomi jagamine millegagi tähendab, et jagate kõik üksikud liikmed. See muudab ruudu square.x2+bax=−ca{displaystyle x^{2}+{frac {b}{a}}x={frac {-c}{a} täitmise lihtsamaks }}
4
Täitke ruut. Tuletage meelde, et eesmärk on avaldis x2+2â—»x+â—»2{displaystyle x^{2}+2Box x+Box ^{2}} ümber kirjutada kujul (x+â—»)2, {displaystyle (x+Box )^{2},} kus â—»{displaystyle Box } on mis tahes koefitsient. Sulle ei pruugi kohe selgeks saada, et me seda teha saame. Selle selgemaks nägemiseks kirjutage bax{displaystyle {frac {b}{a}}x} ümber kujul 2b2ax{displaystyle 2{frac {b}{2a}}x}, korrutades termini 22-ga.{ displaystyle {frac {2}{2}}.} Saame seda teha, sest 1-ga korrutamine ei muuda midagi. Nüüd näeme selgelt, et meie puhul on â—»=b2a,{displaystyle Box ={frac {b}{2a}},}, seega on meil puudu ainult â—»2{displaystyle Box ^ {2}} termin. Seetõttu lisame ruudu lõpuleviimiseks selle mõlemale küljele – nimelt (b2a)2=b24a2.{displaystyle left({frac {b}{2a}}right)^{2}={ frac {b^{2}}{4a^{2}}}.} Seejärel arvestame loomulikult.x2+2b2ax+b24a2=b24a2−ca(x+b2a)2=b24a2−ca{displaystyle { begin{aligned}x^{2}+2{frac {b}{2a}}x+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}&={frac {b^{ 2}}{4a^{2}}}-{frac {c}{a}}\left(x+{frac {b}{2a}}right)^{2}&={frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{frac {c}{a}}end{aligned}}}Siin on selge, miks a≠0,{displaystyle aneq 0 ,} kuna {displaystyle a} on nimetajas ja te ei saa 0-ga jagada. Vajadusel saate vasakut serva laiendada, et kinnitada, et ruudu täitmine töötab.
5
Kirjutage parem pool ühise nimetaja alla. Siin soovime, et mõlemad nimetajad oleksid 4a2,{displaystyle 4a^{2},}, seega korrutage −ca{displaystyle {frac {-c}{a}}} liige 4a4a-ga.{displaystyle { frac {4a}{4a}}.}(x+b2a)2=b24a2−4ac4a2=b2−4ac4a2{displaystyle {begin{aligned}left(x+{frac {b}{2a}}right) ^{2}&={frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{frac {4ac}{4a^{2}}}\&={frac {b^{ 2}-4ac}{4a^{2}}}end{joondatud}}}
6
Võtke mõlema külje ruutjuur. Siiski on oluline mõista, et seda tehes teete tegelikult kahte sammu. Kui võtate d2 ruutjuure {displaystyle d^{2},}, ei saa te d.{displaystyle d.} Tegelikult saate selle absoluutväärtuse |d|.{displaystyle |d|.} See absoluutväärtus on mõlema juure leidmisel kriitiline – kui asetate lihtsalt ruutjuure mõlemale poolele, saate ainult ühe juurtest.|x+b2a|=b2−4ac4a2{displaystyle left|x+{frac {b}{2a }}right|={sqrt {frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}Nüüd saame absoluutväärtuste ribadest lahti, kui paneme ±{displaystyle pm } paremal küljel. Saame seda teha, kuna absoluutväärtus ei erista positiivset ja negatiivset, seega kehtivad mõlemad. See pisik on põhjus, miks ruutvõrrand võimaldab meil saada kaks juurt.x+b2a=±b2−4ac4a2{displaystyle x+{frac {b}{2a}}=pm {sqrt {frac {b^{ 2}-4ac}{4a^{2}}}}}Lihtsustame seda avaldist veidi edasi. Kuna jagatise ruutjuur on ruutjuurte jagatis, saame parema külje kirjutada kujul ±b2−4ac4a2.{displaystyle {frac {pm {sqrt {b^{2}-4ac}} }{sqrt {4a^{2}}}}.} Seejärel saame võtta nimetaja ruutjuure.x+b2a=±b2−4ac2a{displaystyle x+{frac {b}{2a}}= {frac {pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
7
Eraldage x{displaystyle x}, lahutades mõlemalt küljelt b2a{displaystyle {frac {b}{2a}}}.x=−b2a±b2−4ac2a{displaystyle x={frac {-b}{ 2a}}pm {frac {sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
8
Kirjutage parem pool ühise nimetaja alla. See võrdub ruutvalemiga, mis lahendab mis tahes ruutvõrrandi standardkujul. See töötab kõigi a,b,c{displaystyle a,b,c} puhul ja väljastab x{displaystyle x}, mis võib olla tõeline või keeruline. Selle protsessi toimimise kinnitamiseks järgige standardvormi taastamiseks lihtsalt selle artikli juhiseid vastupidises järjekorras.x=−b±b2−4ac2a{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^ {2}-4ac}}}{2a}}}