Järjepidevusvõrrand on kvantiteedi säilimise väljendus, mis on füüsikas oluline põhimõte. Elektrodünaamikas on oluline kogus, mis säilib, laeng. Veelgi enam, laeng ei säili mitte ainult globaalselt (universumi kogulaeng jääb samaks), vaid säilib ka lokaalselt. Tuletame järjepidevusvõrrandi, mis väljendab seda kohalikku laengu jäävust nii põhiprintsiipidest kui ka Maxwelli võrranditest tulenevalt.
1
Alustage laadimisega Q(t){displaystyle Q(t)} helitugevuses V{displaystyle V}. Tahame näidata, et laeng on selles süsteemis lokaalselt säästev. See tähendab, et mis tahes laeng, mis on algselt ruumalas ja mis on leitud väljaspool ruumala, peab olema läbinud piiri. Allpool on Ï(r,t){displaystyle rho (mathbf {r} ,t)} laengu tihedus, elektromagnetvälja allikas. Q=∫VÏdV{displaystyle Q=int _{V}rho mathrm {d} V}
2
Konto praegusele I{displaystyle I}-le. Tuletage meelde, et vool on laengu muutumise ajakiirus. Allpool on J{displaystyle mathbf {J} } voolutihedus. J{displaystyle mathbf {J} } integreerimine üle kogu pinna annab voolu. Allolevale avaldisele on aga lisatud täiendav negatiivne märk, sest kui laeng voolab välja positiivse tuletisega kirjeldatud viisil, vastab see laengu vähenemisele.I=dQdt=−∮SJâ‹…dS{displaystyle I ={frac {mathrm {d} Q}{mathrm {d} t}}=-oint _{S}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} }
3
Kirjutage vool ümber laengutiheduse järgi.dQdt=ddt∫VÏdV=∫V∂Ï∂tdV{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} Q}{mathrm {d } t}}&={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{V}rho mathrm {d} V\&=int _{V}{ frac {partial rho }{partial t}}mathrm {d} Vend{joondatud}}}
4
Esitage pinnaintegraali lahknemisteoreem. Tuletame meelde, et lahknemisteoreem väidab, et voog, mis tungib läbi ruumala V{displaystyle V} piirava suletud pinna S{displaystyle S}, on võrdne selles ruumalas oleva vektorvälja lahknemisega.−∮SJâ‹…dS= −∫V(∇⋅J)dV{displaystyle -oint _{S}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} =-int _{V}( nabla cdot mathbf {J} )mathrm {d} V}
5
Võrdsusta kaks eelmist avaldist ja määra see nulliks. Saame panna avaldise ühe integraali alla, kuna me integreerime sama objekti kohal.∫V∂Ï∂tdV+∫V(∇⋅J)dV=0∫V(∂Ï∂ t+∇⋅J)dV=0{displaystyle {begin{align}int _{V}{frac {partial rho }{partial t}}mathrm {d} V+int _{V}(nabla cdot mathbf {J} )mathrm {d} V&=0\int _{V}left({frac {partial rho }{partial t}}+ nabla cdot mathbf {J} right)mathrm {d} V&=0end{joondatud}}}
6
Jõuame järjepidevuse võrrandini. Kuna ainus suurus, mille integraal on 0, on ise 0, saab integrandi avaldise väärtuseks määrata 0. See viib meid pidevusvõrrandini, mis kirjeldab laengu kohalikku jäämist.∂Ï∂t=−∠‡â‹…J{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}=-nabla cdot mathbf {J} }
7
Alustage Ampere-Maxwelli seadusest. Tahame näidata, et laengu jäävuse saab hõlpsasti tuletada Maxwelli võrranditest. Allpool kirjutame Ampere-Maxwelli seaduse diferentsiaalkujul.∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t{displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}}
8
Võtke mõlema poole lahknemine. Siin tuleb ära tunda kaks asja. Esiteks on loki lahknemine alati 0, seega vasak pool kaob. Teiseks, arvestades hästi käituvaid vektorfunktsioone (antud juhul lihtsalt ühendatud domeenide vektorfunktsioone), liiguvad osatuletised. Füüsikas ja inseneriteaduses tegeleme peaaegu alati pidevate, hästi käituvate funktsioonidega, nii et see segaosaliste sümmeetria kehtib.∇⋅(∇×B)=μ0∇⋅J+μ0ϵ0∇⋠∂E∂tμ0ϵ0∂∂t(∇⋅E)=−μ0∇⋅ &=mu _{0}nabla cdot mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}nabla cdot {frac {partial mathbf {E} }{partial t }}\mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}(nabla cdot mathbf {E} )&=-mu _{0} nabla cdot mathbf {J} end{joondatud}}}
9
Tuletage meelde Gaussi seadust.∇⋅E=Ïϵ0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}Asendades Gaussi seaduse ja lihtsustades taastame laengu jäävust kirjeldava järjepidevusvõrrandi.∂Ï∂t=−∇⋅J{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}=- nabla cdot mathbf {J} }