Esitulede efekt on Einsteini erirelatiivsusteooria üks ebaintuitiivsemaid tagajärgi. See efekt eeldab, et liikuva valgusallika valguskiired on koondunud liikumissuuna suunas ja seetõttu vaatleb allika võrdlusraamis olev vaatleja laiemat vaatevälja. See artikkel töötab arvutuste lihtsuse huvides mõõtmetega 2+1.
1
Defineerige 4-impulss. 4-impulss P{displaystyle P} on Newtoni mehaanika lineaarse impulsi relativistlik analoog, mida on täiendatud täiendava ajakomponendi lisamiseks. See ajakomponent kirjeldab energiat, nii et 4-impulss ühendab lineaarse impulsi ja energia üheks matemaatiliseks objektiks. Allpool kirjutame ruumi säästmiseks reavektoriks 4-momendi, kuigi seda tuleks pidada veeruvektoriks.P=(Ec,px,py){displaystyle P=left({frac {E} {c}},p_{x},p_{y}right)}
2
Kaaluge valgusallikat, mis kiirgab igas suunas. Allika puhkeraamist lähtuva footoni 4-impulss sõltub siis nurgast allika kiiruse suhtes v, {displaystyle v,}, mille kohta me ütleme, et see osutab +x{displaystyle +x} suunas. Allpool eeldame, et kõik footonid kiirguvad sama energiaga.P=(Ec,Eccosâ¡Î¸,Ecsin⡡θ){displaystyle P=left({frac {E}{c}}, {frac {E}{c}}cos theta ,{frac {E}{c}}sin theta right)}Püüdke mitte lasta konstantidel c{displaystyle c} end häirida – mõelge neist vähem konstantidena ja rohkem ühikute teisendusteguritena.
3
Lorentzi võimendus koordinaatide raamile. See on kaader, mis liigub allika suhtes −x{displaystyle -x} suunas. Selle märgistuse tulemus on see, et Lorentzi teisenduse diagonaalis on positiivsed kogused. Pange tähele, et me tähistame koordinaadikaadri, mitte liikuva kaadri algväärtusi.(E′cE′ccosâ¡Î¸â€²E′csinâ¡Î¸â€²)=(γγβ0γβγ0001)(EcEccosθâ¸in²Î³0001) ¡Î¸){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {E^{prime }}{c}}\{frac {E^{prime }}{c}}cos theta ^ {prime }\{frac {E^{prime }}{c}}sin theta ^{prime }end{pmatrix}}={begin{pmatrix}gamma &gamma beta &0\gamma beta &gamma &0\0&0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}{frac {E}{c}}\{frac {E}{c}}cos theta \{frac {E}{c}}sin theta end{pmatrix}}}Ülal, β=vc{displaystyle beta ={frac {v}{c}}} ja γ= 11−v2c2,{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},} Lorentzi tegur.
4
Lahendage energia koordinaatide raamis. Ülaltoodud maatriksvõrrand on lineaarsete võrrandite süsteem. Kolmas on triviaalne ega ütle meile midagi uut.E′c=γEc+γβEccosâ¡Î¸E′=γE(1+βcosâ¡Î¸){displaystyle {begin{aligned}{frac {E^{prime }}{c}}&=gamma {frac {E}{c}}+gamma beta {frac {E}{c}}cos theta \E^{ prime }&=gamma Eleft(1+beta cos theta right)end{joondatud}}}
5
Lahendage koordinaatraami nurk. Tuletamise lõpptulemus on nurgateisendus, mis näeb välja veidi sarnane kiiruste liitmise valemiga.E′ccosâ¡Î¸â€²=γβEc+γEccosâ¡Î¸Î³Ec(1+βcosâ¡Î¸) cosâ¡Î¸â€²=γEc(β+cosâ¡Î¸)cosâ¡Î¸â€²=β+cosâ¡Î¸1+βcosâ¡Î¸{displaystyle {begin{ joondatud }{frac {E^{prime }}{c}}cos theta ^{prime }&=gamma beta {frac {E}{c}}+gamma {frac {E} {c}}cos theta \{frac {gamma E}{c}}left(1+beta cos theta right)cos theta ^{prime }&={frac {gamma E}{c}}left(beta +cos theta right)\cos theta ^{prime }&={frac {beta +cos theta }{1+ beta cos theta }}end{aligned}}}See on esitulede efekt.
6
Visualiseerige esitulede efekti. Selle ebaintuitiivsuse tõttu on ülalpool koordinaatide tugiraamist vaadatuna lisatud visuaal. Vertikaalsed jooned on nurgateisenduste tulemus. Eeldades 180-kraadist nägemist, näeme, et relativistlikul kiirusel liikuv vaatleja näeb ka temast veidi tagapool. Värv tähistab relativistlikku Doppleri efekti. Näeme, et vaatleja vaade tema ees on muutunud siniseks ja sinise nihkega vaade koondub rohkem tema vaatevälja keskpunkti lähedusse. Piisavalt suure kiiruse korral näeb ta nähtava valgusena sinise nihkega infrapuna- ja isegi mikrolaine- ja raadiolaineid. Paremal on vaade tunnelile tema võrdlusraamist. Kui ta liigub kiiremini, tundub, et ta liigub alguses tagurpidi, kuid see pole nii – tema vaateväli muutub tegelikult laiemaks. Ka tema vaade muutub järk-järgult tema ees siniseks ja selja taga punanihkeks, mis vastab esimese animatsiooni kitsenevale koonusele. Pidage meeles, et tema võrdlusraamis ta ei liigu, kuid kõik muu on. Tähelepanuväärne on ka see, kuidas tunnel järk-järgult kõverdub. See on samaaegsuse suhtelisuse tagajärg. Newtoni mehaanikas eeldatakse, et vaatleja näeb samal ajal seina üla- ja alaosa, seega on vertikaalsed jooned sirged. Erirelatiivsusteoorias see nii ei ole. Valguse piiratud kiiruse tõttu jõuab valgus keskkoha lähedal temani enne valgust ülevalt ja alt, nii et tunnel näib kumera kujuga.
7
Mõelge probleemile. Valgusallikas, mis liigub β=35{displaystyle beta ={frac {3}{5}}}, kiirgab footoneid nurga all θ=±π2{displaystyle theta =pm {frac { pi }{2}}} – teisisõnu otse üleval ja all. Millised on nurgad kiiruse suuna suhtes koordinaatide raamis?Lahendus: kasutage meid huvitavate nurkade saamiseks esitulede efekti valemit. Jälgige, et nurgad muutuksid mõlemas suunas ühtemoodi.cosâ¡Î¸â €²=β+cosâ¡Î¸1+βcosâ¡Î¸cosâ¡Î¸â€²=35+cosâ¡Ï€21+35cosâ¡¡Ï€2cosâ¡Î¸â€²=35Î ¸â€²â‰ˆÂ±53.13∘{displaystyle {begin{aligned}cos theta ^{prime }&={frac {beta +cos theta }{1+beta cos teeta }}\cos theta ^{prime }&={frac {{frac {3}{5}}+cos {frac {pi }{2}}}{1+{ frac {3}{5}}cos {frac {pi }{2}}}}\cos theta ^{prime }&={frac {3}{5}}\theta ^{prime }&umbes pm 53.13^{circ }end{joondatud}}}