Pythagorase teoreem võimaldab teil arvutada täisnurkse kolmnurga kolmanda külje pikkuse, kui ülejäänud kaks on teada. See on oma nime saanud Vana-Kreeka matemaatiku Pythagorase järgi. Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kahe külje ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga: a2 + b2 = c2. Teoreemi saab tõestada mitmel erineval viisil, mis hõlmab ruutude, kolmnurkade ja geomeetriliste mõistete kasutamist. Siin on toodud kaks levinud tõestust.
1
Joonistage neli ühtset täisnurkset kolmnurka. Kongruentsed kolmnurgad on kolmnurgad, millel on kolm identset külge. Määrake jalad pikkusega a ja b ning hüpotenuus pikkusega c. Pythagorase teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kahe haru ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga, seega peame tõestama, et a2 + b2 = c2. Pidage meeles, et Pythagorase teoreem kehtib ainult täisnurksete kolmnurkade kohta.
2
Aseta kolmnurgad nii, et need moodustaksid ruudu külgedega a+b. Sel viisil paigutatud kolmnurgad moodustavad suurema ruudu sees väiksema (rohelise) ruudu, millel on neli võrdset külge pikkusega c, iga kolmnurga hüpotenuus. Suuremal ruudul on küljed pikkusega a+b. Saad pöörata (pöörata) kogu paigutust 90 kraadi ja see on täpselt sama. Saate seda korrata nii mitu korda kui soovite. See on võimalik ainult seetõttu, et nurkade neli nurka on võrdsed.
3
Korraldage samad neli kolmnurka ümber nii, et need moodustaksid suurema ruudu sees kaks võrdset ristkülikut. Jällegi on suurema ruudu küljed pikkusega a+b, kuid selles konfiguratsioonis on kaks võrdse suurusega ristkülikut (halli värvi) ja suuremas ruudus kaks väiksemat ruutu. Väiksematest ruutudest (punasega) on küljed pikkusega a, väiksema ruudu (sinise) küljed pikkusega b. Algsete kolmnurkade hüpotenuus on nüüd kahe kolmnurkade moodustatud ristküliku diagonaal.
4
Arvestage, et kolmnurkade moodustamata pindala on mõlemas paigutuses võrdne. Mõlemal juhul on teil suur ruut külgedega a+b. Seda arvestades on mõlema suure ruudu pindalad võrdsed. Mõlemat paigutust vaadates on näha, et rohelise ruudu kogupindala peab võrduma teises paigutuses kokku liidetud punaste ja siniste ruutude pindaladega. Mõlemas paigutuses katsime pinna osaliselt täpselt sama koguse, nelja halli kolmnurgaga. mis ei kattunud. See tähendab, et ka kolmnurkade poolt välja jäetud pindala peab olema mõlemas paigutuses võrdne. Seetõttu peab sinise ja punase ruudu pindala kokku võrduma rohelise ruudu pindalaga.
5
Määrake iga paigutuse alad üksteisega võrdseks. Sinine ala on a2, punane ala b2 ja roheline ala c2. Punased ja sinised ruudud tuleb liita nii, et need oleksid rohelise ruudu pindalaga võrdsed; seetõttu sinine ala + punane ala = roheline ala: a2 + b2 = c2.See lõpetab tõestuse.
6
Joonistage trapets, mille alus on a+b ja küljed a ja b. Visandage trapets järgmiste mõõtudega: vasak pool kõrgust b, parem pool kõrgust a ja alus pikkus a+b. Trapetsi lõpuleviimiseks ühendage lihtsalt vasaku ja parema külje ülaosa.
7
Jagage trapets kolmeks täisnurkseks kolmnurgaks, millest kaks on kongruentsed. Jagage kolmnurga põhi pikkusteks a ja b, nii et moodustub kaks täisnurkset kolmnurka pikkustega a, b ja c. Kolmandal kolmnurgal on kaks külge pikkusega c ja hüpotenuus pikkusega d. Kaks väiksemat kolmnurka on kongruentsed (identsed).
8
Arvutage trapetsi pindala pindala valemi abil. Trapetsi pindala on: A = ½(b1 + b2)h kus b1 on trapetsi üks sirge külg, b2 on trapetsi teine sirge külg ja h on trapetsi kõrgus. Selle trapetsi puhul: b1 on a, b2 on b ja h on a+b.Selle trapetsi pindala on A = ½(a +b)(a+b) . Binoomilise saagise laiendamine: A = ½(a2 + 2ab + b2).
9
Leia pindala kolme kolmnurga pindalade liitmise teel. Täisnurkse kolmnurga pindala on: A = ½bh kus b on kolmnurga alus ja h on kõrgus. See trapets on jagatud kolmeks erinevaks kolmnurgaks; seetõttu tuleb alad liita. Esmalt leidke igaühe pindala ja seejärel lisage kõik kolm kokku. Kuna kaks kolmnurka on identsed, saate esimese kolmnurga pindala lihtsalt korrutada kahega: 2A1 = 2(½bh) = 2(½ab) = ab. Kolmanda kolmnurga pindala on A2 = ½bh = ½c*c = ½c2. Trapetsi kogupindala on A1 + A2 = ab + ½c2.
10
Määrake erinevad pindalaarvutused üksteisega võrdseks. Kuna mõlemad arvutused on võrdsed trapetsi kogupindalaga, saate need määrata üksteisega võrdseks. Kui need on seatud üksteisega võrdseks, saate võrrandi taandada selle lihtsaimale kujule.½(a2 + 2ab + b2) = ab + ½c2. Korrutage mõlemad pooled 2-ga, et vabaneda ½-st: (a2 + 2ab + b2) = 2ab + c2.Lahutage välja 2ab: a2 + b2 = c2.Teile jääb üle tõestus: a2 + b2 = c2.