Ratsionaalarvud on arvud, mida saab väljendada kahe täisarvu murdosa, suhtena. Irratsionaalne arv on arv, millel see omadus puudub, seda ei saa väljendada kahe arvu murdosana. Mõned kõige kuulsamad numbrid on irratsionaalsed – mõelge Ï€{displaystyle pi }, e{displaystyle e} (Euleri arv) või Ï•{displaystyle phi } (kuldne suhe). 2{displaystyle {sqrt {2}}} on irratsionaalne arv ja seda saab algebraliselt tõestada väga elegantsel viisil.
1
Oletame, et 2{displaystyle {sqrt {2}}} on ratsionaalne. Seejärel saab seda väljendada murdarvuna ab{displaystyle {frac {a}{b}}}, kus a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} on mõlemad täisarvud ja b{displaystyle b} ei ole 0{displaystyle 0}. Veelgi enam, see murd on kirjutatud kõige lihtsamate sõnadega, mis tähendab, et kas a{displaystyle a} või b{displaystyle b} või mõlemad on paaritud täisarvud.2=ab{displaystyle {sqrt {2}}={ murd {a}{b}}}
2
Ruudu mõlemad küljed.2=a2b2{displaystyle 2={frac {a^{2}}{b^{2}}}}
3
Korrutage mõlemad pooled arvuga b2{displaystyle b^{2}}.2b2=a2{displaystyle 2b^{2}=a^{2}}
4
Pange tähele, et a2{displaystyle a^{2}} on paarisarv. a2{displaystyle a^{2}} on paarisarv, kuna see võrdub kahekordse täisarvuga. Kuna a2{displaystyle a^{2}} on paaris, peab ka a{displaystyle a} olema paaris, sest kui see oleks paaritu, oleks a2{displaystyle a^{2}} samuti paaritu (paaritu arv korda ja paaritu arv on alati paaritu arv). a{displaystyle a} on paaris, mis tähendab, et selle saab kirjutada kahekordse täisarvuna või teisisõnu a=2k{displaystyle a=2k}, kus k{displaystyle k} on see tervik number.
5
Asendage algses võrrandis a=2k{displaystyle a=2k}.2=(2k)2b2{displaystyle 2={frac {(2k)^{2}}{b^{2}}}}.
6
Laienda (2k)2{displaystyle (2k)^{2}}. (2k)2=22k2=4k2{displaystyle (2k)^{2}=2^{2}k^{2}=4k^{2}}.2=4k2b2{displaystyle 2={frac {4k ^{2}}{b^{2}}}}
7
Korrutage mõlemad pooled arvuga b2{displaystyle b^{2}}.2b2=4k2{displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
8
Jagage mõlemad pooled kahega.b2=2k2{displaystyle b^{2}=2k^{2}}
9
Pange tähele, et b2{displaystyle b^{2}} on paarisarv. b2{displaystyle b^{2}} on paarisarv, kuna see võrdub kahekordse täisarvuga. Kuna b2{displaystyle b^{2}} on paaris, peab ka b{displaystyle b} olema paaris, sest kui see oleks paaritu, oleks b2{displaystyle b^{2}} samuti paaritu (paaritu arv korda ja paaritu arv on alati paaritu arv).
10
Tunnistage, et see on vastuolu. Tõestasite just, et b{displaystyle b} on paaris. Kuid olete ka tõestanud, et {displaystyle a} on paarisarv. See on vastuolu, sest selle tõestuse alguses eeldati, et ab{displaystyle {frac {a}{b}}} on kirjutatud kõige lihtsamate sõnadega, kuid kui nii a{displaystyle a} kui ka b{ displaystyle b} on paaris, lugeja en nimetaja saab jagada 2-ga, mis tähendab, et see pole kirjutatud kõige lihtsamate sõnadega. Kuna see on vastuolu, on algne oletus, et 2{displaystyle {sqrt {2}}} on ratsionaalne, vale, mis viib järeldusele, et 2{displaystyle {sqrt {2}}} on irratsionaalne.