Kuidas teisendada Maxwelli võrrandid diferentsiaalvormiks

Elektrodünaamikas kirjeldavad Maxwelli võrrandid koos Lorentzi jõu seadusega elektriväljade E{displaystyle mathbf {E} } ja magnetväljade B olemust.{displaystyle mathbf {B} .} Neid võrrandeid saab kirjutada keeles diferentsiaalvorm või integraalvorm. Kuigi need kaks vormi on täiesti samaväärsed, õpib enamik õpilasi esmalt integraalvormi, kuna see on rohkem rakendatav mahtude ja voogude jaoks ning seega arvutuste jaoks kasulikum.

1
Alustage Gaussi seadusega integraalkujul.∮SE⋅dS=Qϵ0{displaystyle oint _{S}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} ={frac {Q} {epsilon _{0}}}}

2
Kirjutage parem pool ümber helitugevuse integraalina.∮SEâ‹…dS=∫VÏϵ0dV{displaystyle oint _{S}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} = int _{V}{frac {rho }{epsilon _{0}}}mathrm {d} V}

3
Tuletame meelde lahknemisteoreemi. Lahknemisteoreem ütleb, et voog, mis tungib läbi suletud pinna S{displaystyle S}, mis piirab ruumala V{displaystyle V}, on võrdne ruumala sees oleva välja F{displaystyle mathbf {F} } lahknemisega.∠®SFâ‹…dS=∫V(∇⋅F)dV{displaystyle oint _{S}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {S} =int _{V }(nabla cdot mathbf {F} )mathrm {d} V}

4
Kasutage lahknemisteoreemi vasaku külje ümberkirjutamiseks helitugevuse integraaliks.∫V(∇⋅E)dV=∫VÏϵ0dV{displaystyle int _{V}(nabla cdot mathbf {E } )mathrm {d} V=int _{V}{frac {rho }{epsilon _{0}}}mathrm {d} V}

5
Seadke võrrandiks 0.∫V(∇⋅E)dV−∫VÏϵ0dV=0∫V(∇⋅E−Ïϵ0)dV=0 {\begin{style joondatud}int _{V}(nabla cdot mathbf {E} )mathrm {d} V-int _{V}{frac {rho }{epsilon _{0}}}mathrm {d} V&=0\int _{V}left(nabla cdot mathbf {E} -{frac {rho }{epsilon _{0}}}right)mathrm {d } V&=0lõpp{joondatud}}}

6
Teisendage võrrand diferentsiaalkujuks. Ülaltoodud võrrand ütleb, et suuruse integraal on 0. Kuna ainus suurus, mille integraal on 0, on ise 0, saab integrandi avaldise väärtuseks seada 0.∇⋠…E−Ïϵ0=0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} -{frac {rho }{epsilon _{0}}}=0}See viib Gaussi seaduseni diferentsiaalkujul. ∇⋅E=Ïϵ0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}

7
Alustage Gaussi seadusega magnetilisuse kohta integraalkujul.∮SB⋅dS=0{displaystyle oint _{S}mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} =0}

8
Käivitage lahknemisteoreem.∫V(∇â‹B)dV=0{displaystyle int _{V}(nabla cdot mathbf {B} )mathrm {d} V=0}

9
Kirjutage võrrand diferentsiaalkujul. Nagu ka Gaussi seaduse puhul, annab meie vastuse sama argument, mida kasutatakse ülal.∇⋅B=0{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}

10
Alustage Faraday seadusega integraalkujul.∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dS{displaystyle oint _{C}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {l} = -{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{S}mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} }

11
Tuletame meelde Stokesi teoreemi. Stokesi teoreem ütleb, et välja F{displaystyle mathbf {F} } tsirkulatsioon pinda S{displaystyle S} piirava silmuse C{displaystyle C} ümber on võrdne curlâ¡F{ vooga. displaystyle operaatorinimi {curl} mathbf {F} } üle S.{displaystyle S.}∮CFâ‹…dl=∫S(∇×F)â‹…dS{displaystyle oint _{ C}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {l} =int _{S}(nabla times mathbf {F} )cdot mathrm {d} mathbf {S} }

12
Kasutage Stokesi teoreemi vasaku külje ümberkirjutamiseks pinnaintegraaliks.∫S(∇×E)â‹…dS=−ddt∫SBâ‹…dS{displaystyle int _{S}(nabla korda mathbf {E} )cdot mathrm {d} mathbf {S} =-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{S}mathbf {B } cdot mathrm {d} mathbf {S} }

13
Määrake võrrandiks 0.∫S(∇×E)â‹…dS+ddt∫SBâ‹…dS=0∫S(∇×E+∂B∂t)â‹…dS=0 {displaystyle {begin{aligned}int _{S}(nabla times mathbf {E} )cdot mathrm {d} mathbf {S} +{frac {mathrm {d} }{ mathrm {d} t}}int _{S}mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} &=0\int _{S}left(nabla times mathbf {E} +{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}right)cdot mathrm {d} mathbf {S} &=0end{joondatud}}}

14
Teisenda võrrand diferentsiaalvormiks.∇×E+∂B∂t=0∇×E=−∂B∂t{displaystyle {begin{aligned}nabla &times mathbf {E } +{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}=0\nabla &times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{ osaline t}}lõpp{joondatud}}}

15
Alustage Ampere-Maxwelli seadusega integraalkujul.∮CB⋅dl=μ0∫SJ⋅dS+μ0ϵ0ddt∫SE⋅dS{displaystyle oint _{C}mathmcf {B}mat d} mathbf {l} =mu _{0}int _{S}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} +mu _{0}epsilon _{0} {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{S}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} }

16
Käivitage Stokesi teoreem.∫S(∇×B)â‹…dS=μ0∫SJâ‹…dS+μ0ϵ0ddt∫SEâ‹…dS{displaystyle int _{Stime B} )cdot mathrm {d} mathbf {S} =mu _{0}int _{S}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} +mu _{ 0}epsilon _{0}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{S}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} }

17
Seadke võrrandiks 0.∫S(∇×B)â‹…dS−μ0∫SJâ‹…dS−μ0ϵ0ddt∫SEââÀÀ0…dS=0âˆâÆ∈¡¡¡ˆˆˏˆˆˏˆˎ ‚t)â‹…dS=0{displaystyle {begin{aligned}int _{S}(nabla times mathbf {B} )cdot mathrm {d} mathbf {S} -mu _{0}int _{S}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} -mu _{0}epsilon _{0}{frac {mathrm {d} } {mathrm {d} t}}int _{S}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} &=0\int _{S}left(nabla times mathbf {B} -mu _{0}mathbf {J} -mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right )cdot mathrm {d} mathbf {S} &=0end{joondatud}}}

18
Teisendage võrrand diferentsiaalvormiks.∇×B−μ0J−μ0ϵ0∂E∂t=0∇×B=μ0J+μ0ϼ0J+μ0ϵ0∂&nbalignedftbbettle {B} -mu _{0}mathbf {J} -mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}=0\ nabla &times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}end{joondatud}}}