Tõenäosuse ja permutatsioonide või sündmuste võimalike järjestuste arvutamisel kasutatakse tavaliselt faktoriaale. Faktoriaali tähistatakse märgiga !{displaystyle !} ja see tähendab kõigi faktoriaalarvust laskuvate arvude korrutamist. Kui olete aru saanud, mis on faktoriaal, on seda lihtne arvutada, eriti teadusliku kalkulaatori abil.
1
Määrake arv, mille jaoks arvutate faktoriaali. Faktoriaali tähistatakse positiivse täisarvu ja hüüumärgiga. Näiteks kui teil on vaja arvutada faktoriaal 5 jaoks, näete 5!{displaystyle 5!}.
2
Kirjutage välja korrutatavate arvude jada. Faktoriaal korrutab lihtsalt faktoriaalarvust järjestikku laskuvate naturaalarvude korrutamist 1-ni. Vormeliliselt rääkides n!=n(n−1)â‹…â‹…â‹…2â‹…1{displaystyle n! =n(n-1)cdot cdot cdot 2cdot 1}, kus n{displaystyle n} võrdub mis tahes positiivse täisarvuga. Näiteks kui arvutate 5!{displaystyle 5!}, siis arvutaksite 5(5−1)(5−2)(5−3)(5−4){displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} või, tähistatud rohkem lihtsalt: 5…4…3…2…1{displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}.
3
Korrutage numbrid kokku. Te saate kiiresti arvutada faktoriaali, kasutades teaduslikku kalkulaatorit, millel peaks olema märk x!{displaystyle x!}. Kui arvutate käsitsi, otsige selle hõlbustamiseks esmalt teguripaare, mis korrutatakse 10-ni. Muidugi võite ignoreerida ka 1-ga, kuna iga arv, mis on korrutatud 1-ga, võrdub selle arvuga. Näiteks kui arvutate 5 !=5â‹…4â‹…3â‹…2â‹…1{displaystyle 5!=5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}, jätke 1 tähelepanuta ja arvutage esmalt 5…2=10{ displaystyle 5cdot 2=10}. Nüüd on teil jäänud vaid 4…3=12{displaystyle 4cdot 3=12}. Kuna 10…12=120{displaystyle 10cdot 12=120}, siis teate, et 5!=120{displaystyle 5!=120}.
4
Määrake avaldis, mida lihtsustate. Sageli esitatakse see murdarvuna. Näiteks peate võib-olla lihtsustama 7!5!â‹…4!{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}.
5
Kirjutage üles iga faktoriaali tegurid. Kuna faktoriaal n!{displaystyle n!} on iga temast suurema faktoriaali tegur, peate lihtsustamiseks otsima tegureid, mida saate tühistada. Seda on lihtne teha, kui kirjutate iga termini välja. Näiteks kui lihtsustate 7!5!â‹…4!{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}, kirjutage ümber kui 1â ‹…2â‹…3â‹…4â‹…5â‹…6â‹…7(1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5)â‹…(1â‹…2â‹…3â‹…4){ displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5)cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}
6
Tühistage kõik lugejale ja nimetajale ühised terminid. See lihtsustab ülejäänud arvude arvu, mida peate korrutama. Näiteks kuna 5!{displaystyle 5!} on koefitsient 7!{displaystyle 7!}, saate 5!{displaystyle 5!} tühistada lugeja ja nimetaja: 1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5â‹…6â‹…7(1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5)â‹…(1â‹…2â‹…3â’ ‹…4)=6…7(1â‹…2â‹…3â‹…4){displaystyle {frac {{tühista {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}}cdot 6 cdot 7}{({tühista {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}
7
Viige arvutused lõpule. Võimalusel lihtsusta. See annab teile lõpliku, lihtsustatud avaldise. Näiteks:6–…7(1–…2–…3–4){displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3 cdot 4)}}}=4224{displaystyle ={frac {42}{24}}}=74{displaystyle ={frac {7}{4}}}Niisiis, 7!5!â‹… 4!{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} lihtsustatult on 74{displaystyle {frac {7}{4}}}.
8
Hinnake avaldist 8!.Kui kasutate teaduslikku kalkulaatorit, vajutage klahvi 8{displaystyle 8}, millele järgneb klahvi x!{displaystyle x!}. Kui lahendate käsitsi, kirjutage korrutatavad tegurid:8â‹ …7â‹…6â‹…5â‹…4â‹…3â‹…2â‹…1{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}Ära arvesta 8â‹…7â‹…6â‹…5â‹…4â‹…3â‹…2â‹…1{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{tühista {cdot 2 7cdot 6cdot 4cdot 3}=(10)8…7…6…4…3{displaystyle =(10)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}Rühm kõigepealt kõik muud kergesti korrutatavad arvud, seejärel korrutage kõik korrutised kokku:(10)(4-…3)(7-…6)(8){displaystyle (10)(4cdot 3)(7cdot 6) (8)}=(10)(12)(42)(8){displaystyle =(10)(12)(42)(8)}=(120)(336){displaystyle =(120)(336 )}=40320{displaystyle =40320}Nii, 8!=40 320{displaystyle 8!=40 320}.
9
Lihtsustage avaldist: 12!6!3!{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}. Kirjutage üles iga faktoriaali tegurid:1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5â ‹…6â‹…7â‹…8â‹…9â‹…10â‹…11â‹…12(1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5â‹…6)(1â‹…2â‹…3){ displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{(1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5cdot 6)(1cdot 2cdot 3)}}}Tühjendage lugejale ja nimetajale ühised terminid:1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5â‹…6â‹…7†‹…8â‹…9â‹…10â‹…11â‹…12(1â‹…2â‹…3â‹…4â‹…5â‹…6)(1â‹…2â‹…3)=7â‹…8â‹…9 ‹…10â‹…11â‹…121â‹…2â‹…3{displaystyle {frac {{tühista {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot }}7cdot 8 cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{({tühista {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}= {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}Sooritage arvutused:7–8–9–10–11 a‹ …121â‹…2â‹…3{displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}=665 2806{displaystyle ={frac {665 280}{6}}}=110 880{displaystyle =110 880 }Niisiis, avaldis 12!6!3!{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}} lihtsustub väärtuseks 110 880{displaystyle 110 880}.
10
Proovige järgmist probleemi. Teil on 6 maali, mida soovite oma seinal järjestikku eksponeerida. Kui mitmel erineval viisil saab maale tellida?Kuna otsite erinevaid viise esemete tellimiseks, saate lihtsalt lahendada objektide arvu faktoriaali leidmisega. Võimalike paigutuste arv 6 järjestikku riputatud maali jaoks võib olla lahendatakse, leides 6!{displaystyle 6!}. Teadusliku kalkulaatori kasutamisel vajutage klahvi 6{displaystyle 6} ja seejärel klahvi x!{displaystyle x!}. Kui lahendate käsitsi, kirjutage tegurid üles korrutada: 6…5…4…3…2…1{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}Ära arvesta 1:6…5… 4â‹…3â‹…2â‹…1{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}Tõmmake välja 5…2{displaystyle 5cdot 2} :(5â‹…2)6â‹…4â‹…3{displaystyle (5cdot 2)6cdot 4cdot 3}=(10)6â‹…4â‹…3{displaystyle =(10)6 cdot 4cdot 3}Kõigepealt rühmitage kõik muud kergesti korrutatavad arvud, seejärel korrutage kõik korrutised kokku:(10)(4–…3)(6){displaystyle (10)(4cdot 3) (6)} =(10)(12)(6){displaystyle =(10)(12)(6)}=(120)(6){displaystyle =(120)(6)}=720 {displaystyle =720}Seega saab 6 järjestikku riputatud maali tellida 720 erineval viisil.
11
Proovige järgmist probleemi. Teil on 6 maali. Sooviksite oma seinal kuvada neist 3 järjest. Kui mitmel erineval viisil saate tellida 3 maali?Kuna teil on 6 erinevat maali, kuid valite neist ainult 3, peate 6 faktoriaali jaoks korrutama ainult 3 esimest numbrit. Võite ka kasutada valem n!(n−r)!{displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}}, kus n{displaystyle n} võrdub objektide arvuga, mille hulgast valite, ja r{ displaystyle r} võrdub teie kasutatavate objektide arvuga. See valem töötab ainult siis, kui teil pole kordusi (objekti ei saa valida rohkem kui üks kord) ja järjekord on oluline (st soovite teada saada, kui palju erinevaid asju saab tellida). Võimalike paigutuste arv 3 maali, mis on valitud 6 hulgast ja riputatud ritta, saab lahendada, leides 6!(6−3)!{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}.Lahutage nimetajas olevad arvud :6!(6−3)!{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}=6!3!{displaystyle ={frac {6!}{3!}} }Kirjutage iga faktoriaali tegurid: 6–…5–4–4–…3–2–13–2–1{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2 cdot 1} {frac {6cdot 5cdot 4cdot {tühista {3cdot 2cdot 1}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}Sooritage arvutused: 6…5 ‹…4=120{displaystyle 6cdot 5cdot 4=120}Seega saab 6-st valitud maalist 3 järjestikku riputatuna tellida 120 erineval viisil.