Koonuslõiked on huvitav matemaatika haru, mis hõlmab kahekordse koonuse lõikamist. Koonust erinevatel viisidel lõigates saate luua nii lihtsa kujundi nagu punkt või nii keerulise kui hüperbool.
1
Saate aru, mis on koonilise lõigu eripära. Erinevalt tavalistest koordinaatvõrranditest on koonuselõiked üldvõrrandid ja ei pea tingimata olema funktsioonid. Näiteks x=5{displaystyle x=5}, kuigi võrrand, ei ole funktsioon.
2
Tea, mis vahe on degenereerunud korpusel ja koonilisel lõigul. Degenereerunud juhtumid on need, kus lõiketasapind läbib kahekordse koonuse ristumiskohta või tippu. Mõned näited degeneraatidest on jooned, ristuvad sirged ja punktid. Neli koonust on ringid, paraboolid, ellipsid ja hüperboolid.
3
Mõistke ideed, millele koonilised lõigud tuginevad. Koonuselõik koordinaattasandil on vaid punktide kogum, mis järgib teatud reeglit, mis seob need kõik koonuse suuna ja fookuspunktidega.
4
Tea, millist koonuse osa sa vaatad. Ring on määratletud kui “punktide kogum, mis asuvad fikseeritud punktist võrdsel kaugusel”.
5
Leidke ringi keskpunkti koordinaadid. Valemi huvides kutsume keskpunkti (h,k){displaystyle (h,k)}, nagu on koonuselõike üldvõrrandi kirjutamisel kombeks.
6
Leidke ringi raadius. Ring on määratletud kui punktide kogum, mis on sama kaugel määratud keskpunktist (h,k){displaystyle (h,k)}. See kaugus on raadius.
7
Ühendage need ringi võrrandiga. Ringjoone võrrand on kõigist koonuslõikudest üks lihtsamini meeldejäävaid. Arvestades (h,k){displaystyle (h,k)} keskpunkti ja pikkuse raadiusega r{displaystyle r}, on ring defineeritud väärtusega (x−h)2+(y−k)2{ kuvastiil (x-h)^{2}+(y-k)^{2}}. Võtke kindlasti arvesse, et see pole funktsioon. Kui proovite joonistada graafikakalkulaatoriga ringi, peate selle eraldamiseks tegema algebrat, mille saab joonistada kalkulaatori või joonistamise funktsiooni abil.
8
Vajadusel joonistage ring graafikule. Kui graafikut teile ei anta, võib graafiku koostamine anda teile parema ülevaate sellest, milline ring välja peaks nägema. Joonistage keskpunkti punkt, pikendage mõlemalt küljelt raadiuse pikkust joont ja joonistage ring.
9
Saage aru, mis on parabool. Definitsiooni järgi on parabool “kõigi punktide kogum, mis on joonest võrdsel kaugusel (suund) ja fikseeritud punkt, mis ei asu joonel (fookus).
10
Leia tipu koordinaadid. Tipp (h,k){displaystyle (h,k)} on punkt, kus graafikul on oma sümmeetriatelg. Selle punkti joonistamine aitab teil parabooli joonistada.
11
Leidke fookus. Fookuse võrrand on (h,k+p){displaystyle (h,k+p)}, p{displaystyle p} on tipu ja fookuse vaheline kaugus.
12
Ühendage see suuna leidmiseks. Directrixis on võrrand y=k−p{displaystyle y=k-p}. Kasutades tippu ja fookust, et luua kahest võrrandist koosnev süsteem, lahendage muutujad ja ühendage need Directrixi valemiga.
13
Lahendage sümmeetriatelg. Parabooli sümmeetriatelg on defineeritud kui x=h{displaystyle x=h}. See joon näitab, kuidas parabool on sümmeetriline ja peaks läbima tipu.
14
Leidke parabooli võrrand. Parabooli võrrandi valem on (y−k)=14p(x−h)2{displaystyle (y-k)={frac {1}{4p}}(x-h)^{2}}. Ühendage võrrandi leidmiseks muutujad k{displaystyle k}, h{displaystyle h} ja p{displaystyle p}.
15
Joonistage parabool, kui graafik pole teile antud. See näitab, kuidas parabool välja näeb. Joonistage tipu ja fookuse punkt ning joonistage suund ja sümmeetriatelg. Joonistage parabool üles või alla, olenevalt sellest, kas p{displaystyle p} on vastavalt positiivne või negatiivne.
16
Tea, mis on ellips. Ellips on määratletud kui “punktide kogum, mille puhul kauguste summa ellipsi mis tahes punktist kahe teise fikseeritud punktini on konstantne”.
17
Otsi keskpunkt. Ellipsi keskpunkt on määratletud kui (h,k){displaystyle (h,k)}.
18
Leidke suurtelg. Ellipsi võrrand on (x−h)2a2+(y−k)2b2=1{displaystyle {frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{frac {(y-k )^{2}}{b^{2}}}=1} või (x−h)2b2+(y−k)2a2=1{displaystyle {frac {(x-h)^{2}}{b^ {2}}}+{frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1}, kus a>b{displaystyle a>b}. Olenemata sellest, kummal nimetajal on suurem arv, on peateljeks lugeja (kas x{displaystyle x} või y{displaystyle y}) vastava telje muutuja. Teine on väiketelg.
19
Lahenda tippude jaoks. Ellipsil on neli tippu. Tippude lahendamiseks olgu x{displaystyle x} ja y=0{displaystyle y=0} ning lahendage need kaks muutujat. Need annavad teile graafikul punktid, kus ellips lõikub.
20
Vajadusel joonistage ellips. Joonistage tippude punktid ja ühendage punktid ellipsi joonistamiseks. Peatelg peaks olema väiksem kui väiketelg.
21
Saage aru, mis on hüperbool. Definitsiooni järgi on hüperbool “kõigi punktide kogum, mille puhul hüperbooli mis tahes punkti ja kahe fikseeritud punkti vahekauguste erinevus on konstantne”. See on sarnane ellipsiga; hüperbool on aga vahemaade vahe, ellips aga summa.
22
Leidke hüperbooli keskpunkt. Keskpunkt on määratletud kui (h,k){displaystyle (h,k)} ja see on punkt kahe kõvera vahel.
23
Leidke risttelg. Hüperbooli võrrand on (x−h)2a2âˆ'(y−k)2b2=1{displaystyle {frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{frac {( y-k)^{2}}{b^{2}}}=1} või (y−k)2a2âˆ'(x−h)2b2=1{displaystyle {frac {(y-k)^{2}}{ a^{2}}}-{frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1}, kus a>b{displaystyle a>b}. Kumb muutuja on võrrandis esimene ja suurem (kas x{displaystyle x} või y{displaystyle y}), on risttelg.
24
Lahenda tippude jaoks. Erinevalt ellipsist on hüperboolil ainult kaks tippu. Nende lahendamiseks olgu x{displaystyle x} ja y=0{displaystyle y=0} ning lahendage need kaks muutujat. Ristteljele vastava muutuja lahendid annavad teile graafikul punktid, kus hüperbool lõikub. Ülejäänud kaks lahendust ei ole reaalarvud, kuid imaginaarse komponendi (i{displaystyle i}) kõrvaldamine annab teile kaks muud lahendust. koordinaadid päris tasapinnal. Need punktid, mida nimetatakse kateteks, võivad aidata teil hüperbooli graafikut koostada.
25
Leidke asümptoodid. Asümptoodid on kaks joont, mida hüperbool kunagi ei puuduta, vaid läheneb neile pidevalt. Asümptootide leidmiseks võite lihtsalt kasutada kalde valemit (m=riserun{displaystyle m={frac {rise}{run}}}) või lahendada faktoritegu.
26
Joonistage hüperbool, kui see pole teile antud. Ehitage kast, kasutades nelja punkti (kaks leitud tippu ja kaks ülejäänud punkti) kasti tippudena. Siit joonistage kasti nurkadest väljuvad asümptoodid. Seejärel tõmmake kaks kastist väljuvat kõverat, puudutades kahte tippu. Kustutage kast, kui soovite.