Üks võimalus funktsioonide klassifitseerimiseks on “paaris”, “paaritu” või mitte kumbki. Need terminid viitavad funktsiooni kordusele või sümmeetriale. Parim viis aru saada on funktsiooniga algebraliselt manipuleerida. Samuti saate vaadata funktsiooni graafikut ja otsida sümmeetriat. Kui teate, kuidas funktsioone klassifitseerida, saate ennustada teatud funktsioonide kombinatsioonide ilmumist.
1
Vaadake üle vastupidised muutujad. Algebras kirjutatakse muutuja vastand negatiivseks. See kehtib olenemata sellest, kas funktsiooni muutuja on x{displaystyle x} või midagi muud. Kui algfunktsiooni muutuja esineb juba negatiivsena (või lahutajana), siis on selle vastand positiivne (või liitmine). Järgnevalt on toodud mõnede muutujate ja nende vastandite näited: x{displaystyle x} vastand on −x{displaystyle -x}vastand q{displaystyle q} on −q{displaystyle -q} −w{displaystyle -w} vastand on w{displaystyle w}.
2
Asendage funktsiooni iga muutuja selle vastandiga. Ärge muutke algset funktsiooni peale muutuja märgi. Näiteks:f(x)=4×2−7{displaystyle f(x)=4x^{2}-7} muutub f(−x)=4(−x)2−7{displaystyle f(- x)=4(-x)^{2}-7}g(x)=5×5−2x{displaystyle g(x)=5x^{5}-2x} muutub g(−x)=5(∠‘x)5−2(−x){displaystyle g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)}h(x)=7×2+5x+3{displaystyle h (x)=7x^{2}+5x+3} muutub h(−x)=7(−x)2+5(−x)+3{displaystyle h(-x)=7(- x)^{2}+5(-x)+3}.
3
Lihtsustage uut funktsiooni. Selles etapis ei pea te ühegi konkreetse arvväärtuse funktsiooni lahendama. Soovite lihtsalt muutujaid lihtsustada, et võrrelda uut funktsiooni f(-x) algse funktsiooniga f(x). Pidage meeles eksponentide põhireegleid, mis ütlevad, et paaritu astmeni tõstetud negatiivne alus on positiivne, samas kui paaritu astmeni tõstetud negatiivne alus on negatiivne.f(−x)=4(−x)2−7 {displaystyle f(-x)=4(-x)^{2}-7}f(−x)=4×2−7{displaystyle f(-x)=4x^{2}-7}g( −x)=5(−x)5−2(−x){displaystyle g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)}g(−x) =5(−x5)+2x{displaystyle g(-x)=5(-x^{5})+2x}g(−x)=−5×5+2x{displaystyle g(-x) =-5x^{5}+2x}h(−x)=7(−x)2+5(−x)+3{displaystyle h(-x)=7(-x)^{2 }+5(-x)+3}h(−x)=7×2−5x+3{displaystyle h(-x)=7x^{2}-5x+3}
4
Võrrelge kahte funktsiooni. Võrrelge iga testitava näite puhul f(-x) lihtsustatud versiooni algse f(x)-ga. Joondage terminid üksteisega, et neid oleks lihtne võrrelda, ja võrrelge kõigi terminite märke. Kui kaks tulemust on samad, siis f(x)=f(-x) ja algfunktsioon on paaris. Näide on:f(x)=4×2−7{displaystyle f(x)=4x^{2}-7} ja f(−x)=4×2−7{displaystyle f(-x)=4x^ {2}-7}.Need kaks on samad, seega funktsioon on paaris.Kui funktsiooni uues versioonis on iga liige algse vastava liikme vastand, siis f(x)=-f(- x) ja funktsioon on paaritu. Näiteks:g(x)=5×5−2x{displaystyle g(x)=5x^{5}-2x}, kuid g(−x)=−5×5+2x{displaystyle g(-x)=- 5x^{5}+2x}. Pange tähele, et kui korrutate esimese funktsiooni iga liikme -1-ga, loote teise funktsiooni. Seega on algne funktsioon g(x) paaritu. Kui uus funktsioon ei vasta kummalegi neist kahest näitest, siis pole see paaris ega paaritu. Näiteks:h(x)=7×2+5x+3{displaystyle h(x)=7x^{2}+5x+3}, kuid h(−x)=7×2−5x+3{displaystyle h(- x)=7x^{2}-5x+3}. Esimene liige on igas funktsioonis sama, kuid teine liige on vastand. Seetõttu pole see funktsioon paaris ega paaritu.
5
Joonistage funktsiooni graafik. Joonistage graafikapaberi või graafikakalkulaatori abil funktsiooni graafik. Valige x{displaystyle x} jaoks mitu arvväärtust ja sisestage need funktsiooni y{displaystyle y} väärtuse arvutamiseks. Joonistage need punktid graafikule ja pärast mitme punkti joonistamist ühendage need funktsiooni graafiku nägemiseks. Punktide joonistamisel kontrollige x{displaystyle x} positiivseid ja vastavaid negatiivseid väärtusi. Näiteks kui töötate funktsiooniga f(x)=2×2+1{displaystyle f(x)=2x^{2}+1}, joonistage järgmised väärtused: f(1)=2(1)2+1 =2+1=3{displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3}. See annab punkti (1,3){displaystyle (1,3)}.f(2)=2(2)2+1=2(4)+1=8+1=9{displaystyle f(2 )=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9}. See annab punkti (2,9){displaystyle (2,9)}.f(−1)=2(−1)2+1=2+1=3{displaystyle f(-1)= 2(-1)^{2}+1=2+1=3}. See annab punkti (−1,3){displaystyle (-1,3)}.f(−2)=2(−2)2+1=2(4)+1=8+1= 9{displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9}. See annab punkti (−2,9){displaystyle (-2,9)}.
6
Testige sümmeetriat üle y-telje. Funktsiooni vaadates viitab sümmeetria peegelpildile. Kui näete, et y-telje paremal (positiivsel) poolel olev graafiku osa ühtib y-telje vasakul (negatiivsel) poolel oleva graafiku osaga, siis on graafik y-telje suhtes sümmeetriline. . Kui funktsioon on sümmeetriline üle y-telje, siis on funktsioon paaris. Sümmeetriat saab testida üksikute punktide valimisega. Kui mis tahes valitud x-i y-väärtus on sama, mis y-väärtus väärtuse -x jaoks, on funktsioon paaris. Eelpool valitud punktid f(x)=2×2+1{displaystyle f(x)=2x^{2}+1} andsid järgmised tulemused:(1,3) ja (-1,3)( 2,9) ja (-2,9). Sobivad y-väärtused x=1 ja x=-1 ning x=2 ja x=-2 korral näitavad, et see on paarisfunktsioon. Tõelise testi jaoks ei ole kahe punkti valimine piisav tõend, kuid see on hea näitaja.
7
Päritolu sümmeetria test. Algpunkt on keskpunkt (0,0). Päritolu sümmeetria tähendab, et valitud x-väärtuse positiivne tulemus vastab -x negatiivsele tulemusele ja vastupidi. Paaritud funktsioonid kuvavad päritolu sümmeetriat. Kui valite x jaoks mõned näidisväärtused ja nende vastandväärtused -x, peaksite saama vastupidised tulemused. Vaatleme funktsiooni f(x)=x3+x{displaystyle f(x)=x^{3}+x}. See funktsioon annaks järgmised punktid:f(1)=13+1=1+1=2{displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2}. Punkt on (1,2).f(−1)=(−1)3+(−1)=−1−1=−2{displaystyle f(-1)=(-1 )^{3}+(-1)=-1-1=-2}. Punkt on (-1,-2).f(2)=23+2=8+2=10{displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}. Punkt on (2,10).f(−2)=(−2)3+(−2)=−8−2=−10{displaystyle f(-2)=(-2 )^{3}+(-2)=-8-2=-10}. Punkt on (-2,-10). Seega f(x)=-f(-x) ja võite järeldada, et funktsioon on paaritu.
8
Otsige sümmeetriat. Viimane näide on funktsioon, millel puudub sümmeetria küljelt küljele. Kui vaatate graafikut, siis see ei ole peegelpilt ei y-teljel ega ümber alguspunkti. Mõelge funktsioonile f(x)=x2+2x+1{displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1}. Valige x ja -x jaoks mõned väärtused järgmiselt: f(1)=12 +2(1)+1=1+2+1=4{displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4}. Joonistamisel olev punkt on (1,4).f(−1)=(−1)2+2(−1)+(−1)=1−2−1=−2{displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2}. Joonistatav punkt on (-1, -2).f(2)=22+2(2)+2=4+4+2=10{displaystyle f(2)=2^{2}+2( 2)+2=4+4+2=10}. Joonistamisel olev punkt on (2,10).f(−2)=(−2)2+2(−2)+(−2)=4−4−2=−2{displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2}. Joonistamise punkt on (2,-2). Need peaksid andma teile juba piisavalt punkte, et märkida, et sümmeetriat pole. Vastandlike x-väärtuste paaride y-väärtused ei ole samad ega ka vastandid. See funktsioon ei ole paaris ega paaritu. Võib-olla mõistate, et selle funktsiooni f(x)=x2+2x+1{displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} saab ümber kirjutada kujul f( x)=(x+1)2{displaystyle f(x)=(x+1)^{2}}. Sellisel kujul kirjutatuna näib see olevat paarisfunktsioon, kuna on ainult üks eksponent ja see on paarisarv. See näidis näitab aga, et sulgudes kirjutatud funktsioon ei saa kindlaks teha, kas see on paaris või paaritu. Peate funktsiooni laiendama üksikuteks terminiteks ja seejärel uurima eksponente.