Kui teil on arvutuses y võrrand, mis on kirjutatud kujul x (nagu y = x2 -3x), on tuletise leidmiseks lihtne kasutada põhilisi diferentseerimistehnikaid (matemaatikute poolt tuntud kui “selgesõnalise diferentseerimise” tehnikaid). Võrrandite jaoks, mida on y-ga iseenesest keeruline ümber paigutada võrdusmärgi ühel küljel (nagu x2 + y2 – 5x + 8y + 2xy2 = 19), on vaja teistsugust lähenemist. Tehnikaga, mida nimetatakse kaudseks diferentseerimiseks, on lihtne leida mitme muutuja võrrandite tuletisi, kui tead juba selgesõnalise diferentseerimise põhitõdesid!
1
Eristage x-liikmeid nagu tavaliselt. Kui proovite eristada mitme muutujaga võrrandit, näiteks x2 + y2 – 5x + 8y + 2xy2 = 19, võib olla raske teada, kust alustada. Õnneks on kaudse eristamise esimene samm selle kõige lihtsam. Alustuseks eristage lihtsalt võrrandi mõlemal poolel olevad x-liikmed ja konstandid vastavalt tavalistele (selgesõnalistele) diferentseerimisreeglitele. Ignoreerige praegu y-termineid. Proovime oma kätt ülaltoodud lihtsa näite võrrandi eristamisel. x2 + y2 – 5x + 8y + 2xy2 = 19 sisaldab kahte x-terminit: x2 ja -5x. Kui tahame võrrandit eristada, käsitleme neid kõigepealt järgmiselt: x2 + y2 – 5x + 8y + 2xy2 = 19 (Tooge x2 astendaja “2” koefitsiendiks alla, eemaldage x väärtusest -5x ja muutke 19 väärtuseks 0)2x + y2 – 5 + 8y + 2xy2 = 0
2
Eristage y-termineid ja lisage nende kõrvale “(dy/dx)”. Järgmise sammuna eristage lihtsalt y-termineid samamoodi nagu x-termineid. Seekord aga lisage iga kõrvale “(dy/dx)” samamoodi nagu koefitsiendi lisamisel. Näiteks kui eristate y2, muutub see 2y(dy/dx). Ignoreerige praegu nii x-i kui ka y-ga termineid. Meie töötavas näites näeb meie võrrand välja selline: 2x + y2 – 5 + 8y + 2xy2 = 0. Teoksime selle järgmise y-diferentseerimise sammu järgmiselt: 2x + y2 – 5 + 8y + 2xy2 = 0 (Tooge y2 astendaja “2” alla koefitsiendina, eemaldage y 8y-st ja asetage iga kõrvale “dy/dx”).2x + 2y(dy/dx) – 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0
3
Kasutage x ja y terminite jaoks korrutisereeglit või jagatisreeglit. Mõistete käsitlemine, milles on nii x kui ka y, on pisut keeruline, kuid kui teate eristamise korrutist ja jagatisreegleid, on asi selge. Kui x- ja y-liikmed on korrutatud, kasutage korrutisreeglit ((f × g)’ = f’ × g + g’ × f, asendades x-liikmega f ja y-liikmega g-ga. Teisest küljest, kui x ja y liikmed on üksteisega jagatud, kasutage jagatisreeglit ((f/g)’ = (g × f’ – g’ × f)/g2, asendades lugeja liikme f jaoks ja nimetaja liige g jaoks. Meie näites 2x + 2y(dy/dx) – 5 + 8(dy/dx) + 2xy2 = 0, on meil ainult üks liige nii x-i kui ka y-ga 2xy2. Kuna x ja y korrutatakse üksteisega, kasutaksime korrutisreeglit, et eristada järgmiselt: 2xy2 = (2x)(y2) seab 2x = f ja y2 = g in (f × g)’ = f’ à — g + g’ × f(f × g)’ = (2x)’ × (y2) + (2x) × (y2)'(f × g)’ = (2) × (y2 ) + (2x) × (2y(dy/dx))(f × g)’ = 2y2 + 4xy(dy/dx)Liides see tagasi meie põhivõrrandisse, saame 2x + 2y(dy/dx) – 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0
4
Eraldada (dy/dx). Sa oled peaaegu kohal! Nüüd peate vaid lahendama võrrandi (dy/dx). See tundub keeruline, kuid tavaliselt ei pea meeles pidama, et mis tahes kahte liiget a ja b, mis on korrutatud (dy/dx), saab korrutamise jaotusomaduse tõttu kirjutada kujul (a + b)(dy/dx). See taktika võib hõlbustada eraldamist (dy/dx), et kõik muud terminid asetatakse sulgude vastasküljele ja jagatakse seejärel (dy/dx) kõrval sulgudes olevate terminitega. Meie näites võime lihtsustada 2x + 2a(dy/dx) – 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0 järgmiselt: 2x + 2a(dy/dx) – 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0(2a + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x – 5 + 2y2 = 0(2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2a2 – 2x + 5(dy) /dx) = (-2 a.2 – 2x + 5)/(2a + 8 + 4xy)(dy/dx) = (-2a2 – 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
5
Ühendage (x, y) väärtused, et leida (dy/dx) mis tahes punkti jaoks. Palju õnne! Olete oma võrrandit diferentseerinud, see pole esmakordsete jaoks lihtne ülesanne! Selle võrrandi kasutamine mis tahes (x, y) punkti kalde (dy/dx) leidmiseks on sama lihtne, kui ühendada oma punkti x- ja y-väärtused võrrandi paremasse serva, seejärel lahendada (dy/dx) .Oletame näiteks, et tahame leida ülaltoodud näite võrrandi punkti (3, -4) kalle. Selleks asendame x väärtusega 3 ja y -ga -4, lahendades järgmiselt: (dy/dx) = (-2y2 – 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)(dy/dx) = (-2 (-4) 2 – 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (-4) + (-4) + 4) (dy/dx) = (-2 (16) – 6 + 5)/(2(2(3)(-4))(dy/dx) = (-32) – 6 + 5)/(2(2(-12))(dy/dx) = (-33) )/(2(2(-12))(dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 ehk 0,6875.
6
Kasutage funktsioonide funktsioonide jaoks ahelreeglit. Ahelreegel on oluline teadmiste osa, mis on vajalik arvutusülesannete (sealhulgas kaudsete diferentseerimisprobleemide) käsitlemisel. Ahelreegel ütleb, et funktsiooni F(x) puhul, mida saab kirjutada kujul (f o g)(x), on F(x) tuletis võrdne f'(g(x))g'(x). Raskete kaudsete diferentseerimisprobleemide korral tähendab see, et võrrandi erinevaid üksikuid “tükke” on võimalik eristada ja seejärel tulemus kokku liita. Oletame lihtsa näitena, et peame leidma sin(3×2 + x) tuletise osa võrrandi sin(3×2 + x) + y3 = 0 suuremast kaudsest diferentseerimisprobleemist. Kui mõelda sin(3×2 + x) kui “f(x)” ja 3×2 + x kui “g(x)”, leiame diferentseerimise järgmiselt:f'(g(x))g'(x)(sin(3×2 + x))’ × (3×2 + x)’cos(3×2 + x) × (6x + 1 )(6x + 1)cos (3×2 + x)
7
Muutujatega x, y ja z võrrandite jaoks leidke (dz/dx) ja (dz/dy). Kuigi see pole tavaarvutuses tavaline, võivad mõned täiustatud rakendused nõuda enam kui kahe muutuja kaudset eristamist. Iga lisamuutuja jaoks peate leidma x-i suhtes täiendava tuletise. Näiteks kui töötate x, y ja z-ga, peate leidma nii (dz/dy) kui ka (dz/dx). Seda saab teha nii, et diferentseerime võrrandit x suhtes esimesel korral kaks korda, iga kord, kui eristame terminit z-ga, lisame a (dz/dx) ja teisel korral sisestame (dz/dy) iga kord, kui me eristame z-d. Pärast seda on vaja lahendada ainult (dz/dx) ja (dz/dy). Oletame näiteks, et proovime eristada x3z2 – 5xy5z = x2 + y3. Esmalt teeme vahet x suhtes. ja sisestage (dz/dx). Ärge unustage kohaldada tootereeglit, kui see on asjakohane!x3z2 – 5xy5z = x2 + y33x2z2 + 2x3z(dz/dx) – 5y5z – 5xy5(dz/dx) = 2x3x2z2 + (2x3z – 5xy5)(dz/dx) – 5y = 2x(2x3z – 5xy5)(dz/dx) = 2x – 3x2z2 + 5y5z(dz/dx) = (2x – 3x2z2 + 5y5z)/(2x3z – 5xy5) Nüüd teeme sama (dz/dy)x3z2 jaoks – 5xy5z = x2 + y32x3z(dz/dy) – 25xy4z – 5xy5(dz/dy) = 3y2(2x3z – 5xy5)(dz/dy) = 3y2 + 25xy4z(dz/dy) = (3y2 + 25xy4z/(2xy4z)/ – 5xy5)