Logistiline funktsioon on S-kujuline funktsioon, mida tavaliselt kasutatakse rahvastiku kasvu modelleerimiseks. Rahvaarvu kasvu piiravad piiratud ressursid, seega võtame selle arvessevõtmiseks kasutusele süsteemi L,{displaystyle L,} kandevõime, mille poole rahvastik asümptootiliselt kaldub. Logistilist kasvu saab seega väljendada järgmise diferentsiaalvõrrandigadPdt=kP(1−PL){displaystyle {frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} t}}=kPleft(1-{ frac {P}{L}}right)}kus P{displaystyle P} on populatsioon, t{displaystyle t} on aeg ja k{displaystyle k} on konstant. Näeme selgelt, et kui rahvastik kaldub oma kandevõime poole, aeglustub selle kasvutempo 0-ni. Ülaltoodud võrrand on tegelikult Bernoulli võrrandi erijuht. Selles artiklis tuletame logistilise kasvu nii muutujate eraldamise kui ka Bernoulli võrrandi lahendamise kaudu.
1
Eraldage muutujad.1P(1−PL)dP=kdt{displaystyle {frac {1}{Pleft(1-{frac {P}{L}}right)}}mathrm {d} P= kmathrm {d} t}
2
Lagundada osalisteks fraktsioonideks. Kuna vasakpoolsel nimetajal on kaks liiget, peame need hõlpsaks integreerimiseks eraldama. Korrutage vasak pool väärtusega LL{displaystyle {frac {L}{L}}} ja lahutage.LLP−P2dP=LP(L∠‘P)dP=APdP+BL−PdP{displaystyle {begin{aligned}{frac {L}{LP-P^{2}}}mathrm {d} P&={frac {L}{P (L-P)}}mathrm {d} P\&={frac {A}{P}}mathrm {d} P+{frac {B}{L-P}}mathrm {d} Pend{ joondatud}}}Lahendage A{displaystyle A} ja B.{displaystyle B.}L=A(L−P)+BP, let L=0{displaystyle L=A(L-P)+BP, {text{let }}L=0}0=−AP+BP, A=B{displaystyle 0=-AP+BP, A=B}let P=0:L=AL{displaystyle { text{let }}P=0:L=AL}A=1, B=1{displaystyle A=1, B=1}
3
Integreerige mõlemad pooled.∫1PdP+∫1L−PdP=∫kdtlnâ¡|P|−lnâ¡¡|L−P|=kt+C{displaystyle {begin{aligned}int {frac {1}{P}}mathrm {d} P+int {frac {1}{L-P}}mathrm {d} P&=int kmathrm {d} t\ln |P|- ln |L-P|&=kt+Cend{joondatud}}}
4
Eraldage P{displaystyle P}. Me eitame mõlemad pooled, sest kui ühendame logid, tahame, et P{displaystyle P} oleks lihtsuse huvides allosas. Nagu alati, ei mõjutata C{displaystyle C} kunagi, kuna see on suvaline.−lnâ¡|P|+lnâ¡|L−P|=−kt+Clnâ¡|L−PP|=∠‘kt+C{displaystyle {begin{aligned}-ln |P|+ln |L-P|&=-kt+C\ln left|{frac {L-P}{P}}right |&=-kt+Cend{joondatud}}}
5
P{displaystyle P} lahendamine. Me laseme A=eC{displaystyle A=e^{C}} ja tunnistame, et ka seda ei mõjuta pluss-miinusmärk, nii et saame sellest loobuda.lnâ¡|L−PP|=−kt+C |L−PP|=e−kt+CL−PP=±Ae−ktLP−1=Ae−ktPL=1Ae−kt+1{displaystyle {begin{aligned}ln left|{frac {L-P }{P}}right|&=-kt+C\left|{frac {L-P}{P}}right|&=e^{-kt+C}\{frac {L-P} {P}}&=pm Ae^{-kt}\{frac {L}{P}}-1&=Ae^{-kt}\{frac {P}{L}}&={ frac {1}{Ae^{-kt}+1}}end{aligned}}}P=LAe−kt+1{displaystyle P={frac {L}{Ae^{-kt}+1 }}}Ülaltoodud võrrand on logistilise kasvu probleemi lahendus koos logistilise kõvera graafikuga. Nagu esimest järku diferentsiaalvõrrandi puhul eeldati, on meil veel üks konstant A, {displaystyle A,}, mis on määratud esialgse populatsiooniga.
6
Kirjutage logistiline diferentsiaalvõrrand. Laiendage paremat poolt ja liigutage esimene tellimuse termin vasakule küljele. Me näeme selgelt, et see võrrand on P2{displaystyle P^{2}} liikmest mittelineaarne. Üldiselt ei ole mittelineaarsetel diferentsiaalvõrranditel lahendusi, mida saaks kirjutada elementaarfunktsioonide kaudu, kuid Bernoulli võrrand on oluline erand.dPdt−kP=−kLP2{displaystyle {frac {mathrm {d} P} {mathrm {d} t}}-kP=-{frac {k}{L}}P^{2}}
7
Korrutage mõlemad pooled tähega −P−2{displaystyle -P^{-2}}. Bernoulli võrrandite lahendamisel üldiselt korrutaksime arvuga (1−n)P−n,{displaystyle (1-n)P^{-n},} kus n{displaystyle n} tähistab mittelineaarse liikme astet . Meie puhul on see 2.−P−2dPdt+kP−1=kL{displaystyle -P^{-2}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} t}}+ kP^{-1}={frac {k}{L}}}
8
Kirjutage tuletistermin ümber. Saame rakendada ahelreeglit tagurpidi, et näha, et −P−2dPdt=dP−1dt.{displaystyle -P^{-2}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} t}} ={frac {mathrm {d} P^{-1}}{mathrm {d} t}}.} Võrrand on nüüd P−1-s lineaarne.{displaystyle P^{-1}.}dP∠‘1dt+kP−1=kL{displaystyle {frac {mathrm {d} P^{-1}}{mathrm {d} t}}+kP^{-1}={frac {k} {L}}}
9
Lahendage võrrand P−1{displaystyle P^{-1}} jaoks. Lineaarsete esimest järku diferentsiaalvõrrandite standardina kasutame integreerimistegurit e∫g(x)dx,{displaystyle e^{int g(x)mathrm {d} x},} kus g(x){ displaystyle g(x)} on P−1, {displaystyle P^{-1},} koefitsient, mis teisendatakse täpseks võrrandiks. Seetõttu on meie integreeriv tegur ekt.{displaystyle e^{kt}.}ektdP−1+(kP−1−kL)ektdt=0{displaystyle e^{kt}mathrm {d} P^{-1 }+left(kP^{-1}-{frac {k}{L}}right)e^{kt}mathrm {d} t=0}∫ektdP−1=P−1ekt+R (t){displaystyle int e^{kt}mathrm {d} P^{-1}=P^{-1}e^{kt}+R(t)}R(t)=∫∠‘kLektdt=−1Lekt{displaystyle {begin{aligned}R(t)&=int -{frac {k}{L}}e^{kt}mathrm {d} t\&=- {frac {1}{L}}e^{kt}end{aligned}}}1Pekt−1Lekt=C{displaystyle {frac {1}{P}}e^{kt}-{frac { 1}{L}}e^{kt}=C}
10
Eraldage P{displaystyle P}. Lahendasime diferentsiaalvõrrandi, kuid see oli lineaarne P−1, {displaystyle P^{-1},}, seega peame võtma meie vastuse pöördväärtuse.1P−1L=Ce−ktL−PPL=Ce−ktL∠‘P=PLCe−ktL=P(1+LCe−kt){displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{P}}-{frac {1}{L}}&=Ce^{ -kt}\{frac {L-P}{PL}}&=Ce^{-kt}\L-P&=PLCe^{-kt}\L&=P(1+LCe^{-kt}) end{joondatud}}}
11
Jõua lahenduseni. Kirjutage LC{displaystyle LC} ümber uueks konstandiks A.{displaystyle A.}P=L1+Ae−kt{displaystyle P={frac {L}{1+Ae^{-kt}}}}