Osade kaupa integreerimine on meetod, mida kasutatakse integraalide hindamiseks, kus integrand on kahe funktsiooni korrutis.∫f(x)g(x)dx{displaystyle int f(x)g(x)mathrm {d} x }Integraale, mida muidu oleks raske lahendada, saab selle integreerimismeetodi abil panna lihtsamale kujule.
1
Mõelge allolevale integraalile. Näeme, et integrand on kahe funktsiooni korrutis, seega sobib see ideaalselt osade kaupa integreerimiseks.∫xexdx{displaystyle int xe^{x}mathrm {d} x}
2
Tuletage meelde osade kaupa integreerimise valem. See valem on väga kasulik selles mõttes, et see võimaldab meil tuletist ühest funktsioonist teise üle kanda miinusmärgi ja piirliikme hinnaga.∫udv=uv−∫vdu{displaystyle int u mathrm {d} v=uv-int vmathrm {d} u}
3
Valige u{displaystyle u} ja dv,{displaystyle mathrm {d} v,} ning leidke tulemuseks du{displaystyle mathrm {d} u} ja v{displaystyle v}. Valime u=x{displaystyle u=x}, kuna selle tuletis 1-st on lihtsam kui ex,{displaystyle e^{x},} tuletis, mis on ainult ta ise. Tulemuseks on dv=exdx,{displaystyle mathrm {d} v=e^{x}mathrm {d} x,}, mille integraal on trivial.du=dx{displaystyle mathrm {d} u=mathrm {d} x}v=ex{displaystyle v=e^{x}}Üldiselt on osade integreerimine meetod, mille eesmärk on teisendada integraal lihtsamaks integreeritavaks. Kui näete kahe funktsiooni korrutist, kus üks on polünoom, on u{displaystyle u} määramine polünoomiks tõenäoliselt hea valik. V,{displaystyle v, leidmisel võite integratsioonikonstandi tähelepanuta jätta, }, sest see langeb lõpuks välja.
4
Asendage need neli avaldist meie integraaliga.∫xexdx=xex−∫exdx{displaystyle int xe^{x}mathrm {d} x=xe^{x}-int e^{x}mathrm { d} x} Tulemuseks oli see, et meie integraal koosneb nüüd ainult ühest funktsioonist – eksponentsiaalfunktsioonist. Kuna ex{displaystyle e^{x}} on oma konstandiga antituletis, on selle hindamine palju lihtsam.
5
Hinnake saadud avaldist mis tahes võimalike vahenditega. Ärge unustage lisada integratsioonikonstant, kuna antiderivaadid ei ole ainulaadsed.∫xexdx=xex−ex+C{displaystyle int xe^{x}mathrm {d} x=xe^{x}-e^{x }+C}
6
Mõelge allpool olevale kindlale integraalile. Määratud integraalid nõuavad hindamist piiridel. Kuigi allolev integraal näeb välja nii, et sellel on ainult ühe funktsiooni, pöördtangensi funktsiooni integrand, võime öelda, et see on pöördtangensi ja 1.∫01tan−1â¡xdx{displaystyle int _{0 korrutis. }^{1}tan ^{-1}xmathrm {d} x}
7
Tuletage meelde integreerimine osade valemiga.∫abudv=uv|ab−∫abvdu{displaystyle int _{a}^{b}umathrm {d} v=uv{Bigg |}_{a}^ {b}-int _{a}^{b}vmathrm {d} u}
8
Määrake u{displaystyle u} ja dv,{displaystyle mathrm {d} v,} ning leidke du{displaystyle mathrm {d} u} ja v{displaystyle v}. Kuna pöördtrigifunktsiooni tuletis on algebraline ja seetõttu lihtsam, siis määrame u=tan−1â¡x{displaystyle u=tan ^{-1}x} ja dv=dx.{displaystyle mathrm {d } v=mathrm {d} x.} Tulemuseks on du=11+x2dx{displaystyle mathrm {d} u={frac {1}{1+x^{2}}}mathrm {d} x} ja v=x.{displaystyle v=x.}
9
Asendage need avaldised meie integraaliga.∫01tan−1â¡xdx=xtan−1â¡x|01−∫01×1+x2dx{displaystyle int _{0}^{1}tan ^{-1} xmathrm {d} x=xtan ^{-1}x{Bigg |}_{0}^{1}-int _{0}^{1}{frac {x}{1+ x^{2}}}mathrm {d} x}
10
Hinnake lihtsustatud integraali u-asendust kasutades. Lugeja on võrdeline nimetaja tuletisega, seega on u-subing ideaalne. Olgu u=1+x2.{displaystyle u=1+x^{2}.} Seejärel du=2xdx.{displaystyle mathrm { d} u=2xmathrm {d} x.} Olge piiride muutmisel ettevaatlik.∫01×1+x2dx=12∫121udu=12lnâ¡2{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^ {1}{frac {x}{1+x^{2}}}mathrm {d} x&={frac {1}{2}}int _{1}^{2}{frac { 1}{u}}mathrm {d} u\&={frac {1}{2}}ln 2end{joondatud}}}
11
Algse integraali hindamise lõpuleviimiseks hinnake avaldist uv{displaystyle uv}. Olge märkidega ettevaatlik.∫01tan−1â¡xdx=Ï€4−12lnâ¡2{displaystyle int _{0}^{1}tan ^{-1}xmathrm {d} x ={frac {pi }{4}}-{frac {1}{2}}ln 2}
12
Mõelge allolevale integraalile. Mõnikord võite leida endale integraali, mis nõuab soovitud vastuse saamiseks mitut osade kaupa integreerimist. Selline integraal on allpool.∫excosâ¡xdx{displaystyle int e^{x}cos xmathrm {d} x}
13
Tuletage meelde osade kaupa integreerimise valem.∫udv=uv−∫vdu{displaystyle int umathrm {d} v=uv-int vmathrm {d} u}
14
Valige u{displaystyle u} ja dv,{displaystyle mathrm {d} v,} ning leidke tulemuseks du{displaystyle mathrm {d} u} ja v{displaystyle v}. Kuna üks funktsioonidest on eksponentsiaalne funktsioon, ei vii selle u{displaystyle u} seadmine kuhugi. Selle asemel olgu u=cosâ¡x{displaystyle u=cos x} ja dv=exdx.{displaystyle mathrm {d} v=e^{x}mathrm {d} x.} Leiame on et u{displaystyle u} teine tuletis on lihtsalt iseenda eitus. See tähendab, d2dx2cosâ¡x=−cosâ¡x.{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}cos x=- cos x.} See tähendab, et huvitava tulemuse saamiseks peame osade kaupa integreerima kaks korda.du=−sinâ¡x{displaystyle mathrm {d} u=-sin x}v=ex{displaystyle v=e^{x}}
15
Asendage need avaldised meie integraaliga.∫excosâ¡xdx=excosâ¡x−∫−exsinâ¡¡xdx=excosâ¡x+∫exsinâ¡¡xdx{displaystyle {int{joonitud} e^{x}cos xmathrm {d} x&=e^{x}cos x-int -e^{x}sin xmathrm {d} x\&=e^{x} cos x+int e^{x}sin xmathrm {d} xend{joondatud}}}
16
Teostage integraali vdu{displaystyle vmathrm {d} u} osade kaupa. Olge märkidega ettevaatlik.u=sinâ¡x,dv=exdx,du=cosâ¡xdx,v=ex{displaystyle u=sin x,,mathrm {d} v=e^{x} mathrm {d} x,,mathrm {d} u=cos {x}mathrm {d} x,,v=e^{x}}∫exsinâ¡xdx=exsinâ¡x− ∫excosâ¡xdx{displaystyle int e^{x}sin xmathrm {d} x=e^{x}sin x-int e^{x}cos xmathrm {d} x}∫excosâ¡¡xdx=excosâ¡¡x+exsinâ¡x−∫excosâ¡¡xdx{displaystyle int e^{x}cos xmathrm {d} x=e^{x} cos x+e^{x}sin x-int e^{x}cos xmathrm {d} x}
17
Lahendage algse integraali jaoks. Selles ülesandes leidsime, et osade kaupa integreerimist kaks korda sooritades tekkis töös algne integraal. Selle asemel, et lõputult osade kaupa integreerida, mis meid kuhugi ei vii, saame selle hoopis lahendada. Ärge unustage integratsioonikonstanti päris lõpus.2∫excosâ¡xdx=excosâ¡x+exsinâ¡¡x∫excosâ¡¡xdx=12excosâ¡x+12exsinâ¡x+C{displaystyle { begin{aligned}2int e^{x}cos xmathrm {d} x&=e^{x}cos x+e^{x}sin x\int e^{x} cos xmathrm {d} x&={frac {1}{2}}e^{x}cos x+{frac {1}{2}}e^{x}sin x+Cend{ joondatud}}}
18
Mõelge g(x){displaystyle g(x)} antituletisele. Nimetame seda funktsiooni G(x),{displaystyle G(x),}, kus G{displaystyle G} on mis tahes funktsioon, mis rahuldab G′=g.{displaystyle G^{prime }=g.}
19
Arvutage fG{displaystyle fG} tuletis. Kuna see on kahe funktsiooni korrutis, kasutame tootereeglit. Teravad mõistused näevad sellest tulenevat osade valemiga integreerimist intuitiivselt tootereegliga tihedalt seotud, nagu u-asendamine on ahelareegli vaste.ddxfG=fG′+f′G=fg+f′G{displaystyle {begin{align}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}fG&=fG^{prime }+f^{prime }G\&=fg+f^{ prime }Gend{joondatud}}}
20
Võtke mõlema külje integraal x{displaystyle x} suhtes. Ülaltoodud avaldis ütleb, et fG{displaystyle fG} on parema külje antiderivaat, seega integreerime mõlemad pooled, et taastada vasaku külje integraal.∫(fg+f′G)dx=fG{displaystyle int (fg+f^{prime }G)mathrm {d} x=fG}
21
Korraldage ümber, et eraldada integraal fg{displaystyle fg}.∫fgdx=fG−∫f′Gdx{displaystyle int fgmathrm {d} x=fG-int f^{prime }Gmathrm {d} x}Osade kaupa integreerimise eesmärk on näha ülaltoodud avaldises. Integreerime fg,{displaystyle fg,} asemel f′G{displaystyle f^{prime }G} ja kui seda õigesti kasutada, on selle tulemuseks lihtsam hindamine.
22
Muutke muutujaid, et taastada tuttav kompaktne vorm. Anname u=f,v=G,du=f′dx,dv=gdx.{displaystyle u=f,,v=G,,mathrm {d} u=f^{prime }mathrm {d} x,,mathrm {d} v=gmathrm {d} x.}∫udv=uv−∫vdu{displaystyle int umathrm {d} v=uv-int v mathrm {d} u}Üldiselt ei ole olemas süstemaatilist protsessi, mille abil saaksime integraali hinnata lihtsamaks. Siiski on sageli nii, et soovime u{displaystyle u}, mille tuletist on lihtsam hallata, ja dv{displaystyle mathrm {d} v}, mida saab hõlpsasti integreerida. Kindlate integraalide jaoks on lihtne näidata, et valem kehtib kõigi kolme termini piiride kirjutamisel, kuigi on oluline meeles pidada, et piirid on muutuja x piirangud.{displaystyle x.}∫abudv=uv|ab−∫abvdu{displaystyle int _{a}^{b}umathrm {d} v=uv{Bigg |}_{a}^{b}-int _{a}^{b}vmathrm {d} u }