Rühmateooria on abstraktse algebra haru, mis käsitleb algebralisi struktuure, mida nimetatakse rühmadeks. Rühmi nähakse kogu matemaatikas ja need on mõjutanud paljusid algebra osi. See artikkel kirjeldab, kuidas õppida rühmateooriat.
1
Haarake hulga teooriat. Hulgad on täpselt määratletud objektide kogumid. Hulgateooria on rühmateooria õppimiseks hädavajalik. Lisateavet hulkade, nendega tehtavate toimingute ja hulgade Descartes’i korrutise kohta. Järgige hulkade formaalseid määratlusi, sest vajate sellist rangust, et täielikult mõista hulgateooriat. Uurige Zermelo – Frenkeli hulgateooria aksioome. Kuigi rühmateooriaga alustamiseks piisaks hulga põhimõistest, on see alati palju parem õppida natuke rohkem kui nõutud!
2
Siit saate teada reaalarvude komplekti, selle alamhulkade (nt ratsionaalarvud) ja selle omaduste kohta. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaal- ja irratsionaalarvud ning täisarvud on kõik reaalarvude alamhulgad ja kuigi neil on mõned ühised omadused, on igal alamhulgal erinevad omadused. Lisateavet reaalarvude omaduste kohta. Näiteks reaalarvu ruut on alati mittenegatiivne. Tutvuge reaalarvude erinevate alamhulkade erinevate omadustega. Näiteks ratsionaalarvu ruut on alati ratsionaalne, kuid irratsionaalarvu ruut võib olla ratsionaalne või irratsionaalne. Kasutage neid omadusi ja viidake neile aktiivselt alati, kui midagi lahendate või tõestate. Näiteks kui teil on probleem, mis kasutab nullist erinevat reaalarvu “a”. Kui jagate a-ga, määrake, et see on lubatud, kuna a väärtus on nullist erinev.
3
Uurige reaalseid funktsioone. Õppige funktsioonide määratlusi, domeeni, alamdomeeni ja funktsiooni vahemikku. Uurige ka funktsioonide tüüpe, nagu süstid ja sürjektsioonid ning funktsiooni pöördväärtuse olemasolu. Õppige joonistama. Graafiline kujutamine annab ulatusliku ettekujutuse funktsiooni käitumisest. Näiteks ruutfunktsioon f(x) = ax^2 + bx + c puudutab x-telge üks kord, mis tähendab, et võrrandi f(x) = 0 juur on korduv, või lõikab selle kaks korda, mis tähendab F(x) = 0-l on kaks erinevat reaaljuurt või see ei vasta üldse x-teljele, mis tähendab, et f(x) = 0 jaoks pole reaalseid lahendusi. Uurige mõnda erifunktsiooni, nagu trigonomeetriline funktsioon ja faktoriaal-, eksponentsiaal-, tähisfunktsioonid ja nende omadused ning graafikud. Õppige tundma ka seoseid ja nende omadusi.
4
Tutvuge kompleksarvudega. Siit saate teada nende vormi, omaduste, kompleksarvu mooduli ja konjugaadi ning nendega tehtavate toimingute kohta. Uurige ka nende visualiseerimist komplekstasandil ning algebra põhiteoreemi, De-Moivre’i teoreemi ja Euleri valemit. Õppige tundma ühtsuse juuri ja kompleksarvude argumente. Lahendage palju kompleksarvudega seotud ülesandeid ja tundke end mugavalt nende ümber. .
5
Lugege binaaroperatsioonide kohta. Binaartehte hulgal S on vastendus S-i Descartes’i korrutisest S-ks. Tehte sooritamine järjestatud paariga S-s annab elemendi S-s. Seega öeldakse, et S on selle operatsiooniga suletud. Tehe liitmine on kahendtehte reaalarvude hulgaga, sest iga kahe reaalarvu summa on samuti reaalarv. Naturaalarvude hulk ei ole lahutamisel suletud, kuna kahe naturaalarvu erinevus ei pruugi olla loomulik. Õppige binaartehte assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse kohta.
6
Alustage rühmade ja alarühmadega. Rühmade määratlused, kas järjestatud paar (G, *) on rühm ja erinevad näited peaksid andma teile põhilise ettekujutuse rühmade tööst. Uurige rühmade kohta erinevaid põhiteoreeme, näiteks teoreem, mis tõestab vasak- ja parempoolse tühistamise olemasolu seadused ja teoreem, mis tõestab identiteedi ainulaadsust ja pöördväärtusi. Uurige ka rühmade ja erinevate erirühmade omadusi, nagu Zn-i rühm liitmise mooduli n. Tutvuge Abeli rühmade ja nende spetsiifiliste omadustega. Uurige lõplikke rühmi, Cayley tabeleid ja võre diagramme. Õppige tundma alamrühmi, tsüklilisi alamrühmi, tsüklilisi rühmi. , generaatorid ja nende omadused. Tutvuge ka poolrühmade ja monoididega.
7
Õppige tundma isomorfismi põhiideed. Kuigi te ei pruugi sellest praegu täielikult aru saada, on oluline omada sellest põhimõistet.Õppige tundma isomorfseid ja mitteisomorfseid binaarstruktuure.Uurige rühmaisomorfismi ja selle tagajärgi. Uurige välja, kas mõned rühmade paarid on isomorfsed, Näiteks kõigi reaalarvude rühm liitmise suhtes on isomorfne kõigi korrutatavate positiivsete reaalarvude rühmaga.
8
Edenege permutatsioonide, orbiitide ja kosettide rühmadele, otseproduktidele ja lõplikult genereeritud Abeli rühmadele. Õppige tundma permutatsioonide määratlust, selle omadusi ja permutatsiooni korrutamist.Õppige tundma vahelduvat rühma, paaris- ja paarituid permutatsioone ning Cayley teoreemi.Õppige tundma orbiite ja tsüklit, tsükli pikkust, permutatsioonide väljendamist disjunktsete tsüklite ja transpositsioonide korrutistena.Uurige teoreemi Lagrange’i kosettides.Uuring otseste produktide, lõplikult genereeritud Abeli rühmade ja lõplikult genereeritud Abeli rühmade põhiteoreemi kohta.
9
Ärge kartke abi otsida. Võite küsida oma juhendajalt või kelleltki teiselt, kes saab teid õpetada. YouTube’is on palju videoid ja Internetis on palju artikleid, mis käsitlevad rühmateooriat. Uurige ja arendage oma põhiteadmisi. Otsige häid õpikuid, mille stiili saate aru saada. Lahendage neis antud harjutusi. Võtke aega. Töötage välja erinevad probleemid ja teoreemid. Liikuge aeglaselt edasi arenenumate rühmateooria kontseptsioonide poole.