Matemaatika õpilastel palutakse sageli vastata “kõige lihtsamalt” ehk kirjutada vastused võimalikult väikesed. Kuigi pikk, ebaviisakas väljend ja lühike elegantne väljend võivad tehniliselt võrduda sama asjaga, ei peeta matemaatikaülesannet sageli tehtuks enne, kui vastus on taandatud kõige lihtsamateks terminiteks. Lisaks on kõige lihtsamad vastused peaaegu alati kõige hõlpsamini kasutatavad väljendid. Nendel põhjustel on avaldiste lihtsustamise õppimine ambitsioonikate matemaatikute jaoks ülioluline oskus.
1
Teadke toimingute järjekorda. Matemaatiliste avaldiste lihtsustamisel ei saa te lihtsalt liikuda vasakult paremale, korrutades, liites, lahutades ja nii edasi. Mõned matemaatikatehted on teiste ees ülimuslikud ja need tuleb kõigepealt teha. Tegelikult võib toimingutest kõrvalekaldumine anda vale vastuse. Tehte järjekord on järgmine: terminid sulgudes, astendajad, korrutamine, jagamine, liitmine ja lõpuks lahutamine. Mugav akronüüm, mida saate selle meeldejätmiseks kasutada, on “Palun vabandust, mu kallis tädi Sally” või “PEMDAS”. Pange tähele, et kuigi põhiteadmised toimingute järjestuse kohta võimaldavad enamikke elementaarseid väljendeid lihtsustada, on lihtsustamiseks vaja spetsiaalseid tehnikaid. palju muutuvaid avaldisi, sealhulgas peaaegu kõik polünoomid. Lisateabe saamiseks vaadake altpoolt teist meetodit.
2
Alustuseks lahendage kõik sulgudes olevad terminid. Matemaatikas näitavad sulud, et sees olevad terminid tuleks arvutada ümbritsevast avaldisest eraldi. Olenemata nende sees tehtavatest toimingutest, kasutage väljendit lihtsustades esimese toiminguna sulgudes olevaid termineid. Pange tähele, et iga sulgude paari puhul kehtib siiski toimingute järjekord. Näiteks sulgudes tuleks enne liitmist, lahutamist jne korrutada. Näiteks proovime avaldist 2x + 4(5 + 2) + 32 – (3 + 4/2) lihtsustada. Selles avaldises lahendaksime kõigepealt sulgudes olevad terminid 5 + 2 ja 3 + 4/2. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5. Teine sulgliige lihtsustub 5-ks, sest tulenevalt tehte järjekorrast jagame sulgudes esimese toiminguna 4/2. Kui liiguksime lihtsalt vasakult paremale, võiksime selle asemel kõigepealt lisada 3 ja 4, seejärel jagada 2-ga, andes vale vastuse 7/2. Märkus – kui üksteise sees on mitu sulgu, lahendage kõigepealt sisemised terminid, kui teine-sisemine jne.
3
Lahenda eksponendid. Pärast sulgude kasutamist lahendage järgmiseks avaldise eksponendid. Seda on lihtne meeles pidada, sest eksponentide puhul paiknevad põhiarv ja võimsus üksteise kõrval. Leidke vastus igale eksponendiülesandele, seejärel asendage vastused oma võrrandisse eksponentide asemel. Pärast sulgude käsitlemist on meie näiteavaldis nüüd 2x + 4(7) + 32 – 5. Meie ainus eksponent näide on 32, mis võrdub 9-ga. Lisage see võrrandisse tagasi 32 asemel, et saada 2x + 4(7) + 9 – 5.
4
Lahendage oma avaldises korrutamisülesanded. Järgmisena tehke oma avaldises vajalik korrutamine. Pidage meeles, et korrutamist saab kirjutada mitmel viisil. Sümbol Ã-, punkt või tärn on kõik võimalused korrutamise kuvamiseks. Kuid sulgude või muutujaga (nagu 4(x)) ümbritsetud arv tähistab ka korrutamist. Meie ülesandes on kaks korrutamist: 2x (2x on 2 × x) ja 4(7). Me ei tea x väärtust, seega jätame 2x selliseks, nagu see on.. 4(7) = 4 × 7 = 28. Võime oma võrrandi ümber kirjutada kujule 2x + 28 + 9 – 5.
5
Liikuge edasi jaotuse juurde. Avaldises jagamisprobleeme otsides pidage meeles, et sarnaselt korrutamisega saab jagamist kirjutada mitmel viisil. Lihtne sümbol ÷ on üks, kuid pidage meeles ka seda, et murdosas olevad kaldkriipsud ja triibud (näiteks 3/4) tähistavad jagamist. Kuna me juba lahendasime jagamise probleemi (4/2), kui käsitlesime sulgudes olevaid termineid, meie näitel pole enam jaotust, seega jätame selle sammu vahele. See toob esile olulise punkti – avaldise lihtsustamisel ei pea te sooritama kõiki PEMDAS-akronüümi toiminguid, vaid ainult neid, mis teie probleemis esinevad.
6
Lisama. Järgmisena sooritage oma avaldises kõik liitmisülesanded. Saate oma avaldise kaudu lihtsalt liikuda vasakult paremale, kuid kõige lihtsam on esmalt lisada numbreid, mis kombineeritakse lihtsal ja juhitaval viisil. Näiteks avaldises 49 + 29 + 51 +71 on lihtsam liita 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 ja 100 + 100 = 200, mitte 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 , ja 129 + 71 = 200. Meie näidisavaldist on osaliselt lihtsustatud väärtusele “2x + 28 + 9 – 5”. Nüüd peame lisama, mida saame – vaatame iga liitmisprobleemi vasakult paremale. Me ei saa liita 2x ja 28, kuna me ei tea x väärtust, seega jätame selle vahele. 28 + 9 = 37, nii et kirjutame ümber või avaldise kujul “2x + 37 – 5”.
7
Lahutage. PEMDAS-i viimane samm on lahutamine. Jätkake oma probleemiga, lahendades ülejäänud lahutamisülesanded. Võite käsitleda negatiivsete arvude liitmist selles etapis või samas etapis tavaliste liitmisülesannetega – see ei mõjuta teie vastust. Meie väljendis “2x + 37 – 5” on ainult üks lahutamisülesanne . 37-5 = 32
8
Vaadake oma väljend üle. Pärast toimingute järjestuse läbimist peaksite jääma oma väljendi juurde kõige lihtsamalt öeldes. Kui teie avaldis sisaldab aga ühte või mitut muutujat, mõistke, et muutujaterminid jäävad suures osas puutumata. Muutujate avaldiste lihtsustamiseks peate leidma muutujate väärtused või kasutama avaldise lihtsustamiseks spetsiaalseid tehnikaid (vt allpool). Meie lõplik vastus on “2x + 32”. Me ei saa seda lõplikku liitmisprobleemi lahendada enne, kui teame x väärtust, kuid kui me seda teeme, on seda avaldist palju lihtsam lahendada kui meie esialgset pikka avaldist.
9
Lisage sarnased muutujad terminid. Muutujaavaldiste käsitlemisel on oluline meeles pidada, et sama muutuja ja astendajaga termineid (või “sarnaseid termineid”) saab liita ja lahutada nagu tavalisi numbreid. Terminitel peab olema mitte ainult sama muutuja, vaid ka sama eksponent. Näiteks 7x ja 5x saab üksteisele lisada, kuid 7x ja 5×2 mitte. See reegel laieneb ka mitme muutujaga terminitele. Näiteks 2xy2 saab lisada -3xy2, kuid mitte -3x2y või -3y2. Vaatame avaldist x2 + 3x + 6 – 8x. Sellesse avaldisse saame lisada 3x ja -8x terminid, kuna need on nagu terminid. Lihtsustatult on meie avaldis x2 – 5x + 6.
10
Lihtsustage arvulisi murde, jagades või “tühistades” tegureid. Murrud, mille lugejas ja nimetajas on ainult arvud (ja ilma muutujateta), saab lihtsustada mitmel viisil. Esimene ja võib-olla kõige lihtsam on käsitleda murdu lihtsalt jagamisülesandena ja jagada lugeja nimetajaga. Lisaks saab “tühistada” kõik korduvad tegurid, mis esinevad nii lugejas kui ka nimetajas, kuna need jagavad, et saada arv 1. Teisisõnu, kui nii lugejal kui ka nimetajal on sama tegur, saab selle teguri murrust eemaldada. , jättes lihtsustatud vastuse. Näiteks vaatleme murdosa 36/60. Kui meil on käepärast kalkulaator, saame jagada vastuseks 0,6. Kui me seda ei tee, saame siiski lihtsustada, eemaldades tavalised tegurid. Teine võimalus mõelda 36/60 kohta on (6 × 6)/(6 × 10). Selle saab ümber kirjutada kui 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, seega on meie avaldis tegelikult 1 × 6/10 = 6/10. Kuid me ei ole veel lõpetanud – nii 6 kui ka 10 jagavad tegurit 2. Korrates ülaltoodud protseduuri, jääb meile 3/5.
11
Muutuvates murrudes tühistage muutujad. Muutuvad avaldised murdude kujul pakuvad ainulaadseid võimalusi lihtsustamiseks. Nagu tavalised murrud, võimaldavad muutuvmurrud eemaldada tegureid, mida jagavad nii lugeja kui ka nimetaja. Kuid muutuvate murdude puhul võivad need tegurid olla nii arvud kui ka tegelikud muutujaavaldised. Vaatleme avaldist (3×2 + 3x)/(-3×2 + 15x). Selle murdosa saab ümber kirjutada kujul (x + 1)(3x)/( 3x)(5 – x), 3x esineb nii lugejas kui ka nimetajas. Nende tegurite eemaldamine võrrandist jätab (x + 1)/(5 – x). Samamoodi saame avaldises (2×2 + 4x + 6)/2, kuna iga liige jagub 2-ga, kirjutada avaldise kujul (2(x2 + 2x + 3))/2 ja seega lihtsustada x2 + 2x + 3 .Pange tähele, et te ei saa tühistada mis tahes terminit – saate tühistada ainult korduvaid tegureid, mis esinevad nii lugejas kui ka nimetajas. Näiteks avaldises (x(x + 2))/x tühistab “x” nii lugeja kui ka nimetaja, jättes (x + 2)/1 = (x + 2). Kuid (x + 2)/x ei tühista väärtust 2/1 = 2.
12
Korrutage sulgud nende konstantidega. Kui käsitleda muutujatermineid sulgudes koos külgneva konstandiga, võib mõnikord iga sulgudes oleva termini konstandiga korrutamine anda tulemuseks lihtsama avaldise. See kehtib puhtalt numbriliste konstantide ja muutujaid sisaldavate konstantide kohta. Näiteks avaldist 3(x2 + 8) saab lihtsustada väärtuseks 3×2 + 24, samas kui 3x(x2 + 8) saab lihtsustada väärtuseks 3×3 + 24x. Pange tähele, et , mõnel juhul, näiteks muutuvate murdude puhul, annab sulgude kõrval olev konstant võimaluse tühistamiseks ja seetõttu ei tohiks seda sulgude kaudu korrutada. Näiteks murdes (3(x2 + 8))/3x esineb tegur 3 nii lugejas kui ka nimetajas, nii et saame selle tühistada ja avaldise lihtsustada väärtuseks (x2 + 8)/x. Sellega on lihtsam ja lihtsam töötada kui (3×3 + 24x)/3x, mis oleks vastuse, mille me saaksime, kui oleksime läbi korrutanud.
13
Lihtsustada faktooringuga. Faktooring on meetod, mille abil saab lihtsustada mõningaid muutujaavaldisi, sealhulgas polünoomid. Mõelge faktooringule kui ülaltoodud “sulgude kaudu korrutamise” etapile – mõnikord saab avaldise teisendada lihtsamalt kahe terminina, mis on korrutatud üksteisega, mitte ühe ühtse avaldisena. See kehtib eriti siis, kui avaldise faktooring võimaldab teil osa sellest tühistada (nagu murdosa puhul). Erijuhtudel (sageli ruutvõrranditega) võimaldab faktooring isegi võrrandile vastuseid leida. Vaatleme veel kord avaldist x2 – 5x + 6. See avaldis võib arvutada (x – 3) (x – 2). Seega, kui x2 – 5x + 6 on teatud avaldise lugeja, mille nimetajas on üks nendest teguritest, nagu avaldis (x2 – 5x + 6)/(2(x – 2)), võib-olla soovite selle kirjutada faktorina, et saaksime selle nimetajaga tühistada. Teisisõnu, kui (x – 3) (x – 2)/(2 (x – 2)), terminid (x – 2) tühistavad, jättes meile (x – 3)/2. Nagu ülalpool vihjatud, teine põhjus, miks võiksite oma avaldist faktoristada, on seotud asjaoluga, et faktooring võib leida vastuseid teatud võrranditele, eriti kui need võrrandid on kirjutatud avaldistena, mis on võrdsed 0-ga. Näiteks vaatleme võrrandit x2 – 5x + 6 = 0 Faktoring annab meile (x – 3)(x – 2) = 0. Kuna iga arv korda null on võrdne nulliga, siis teame, et kui saame kumbagi sulgudes olevatest liikmetest võrdseks nulliga, siis kogu avaldis võrdusmärk võrdub samuti nulliga. Seega on 3 ja 2 kaks vastust võrrandile.