Kui teate, kuidas kahte maatriksit omavahel korrutada, olete hästi teel ühe maatriksi teisega “jagamiseks”. See sõna on jutumärkides, sest maatrikseid ei saa tehniliselt jagada. Selle asemel korrutame ühe maatriksi teise maatriksi pöördväärtusega. Neid arvutusi kasutatakse tavaliselt lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks.
1
Mõistke maatriksi “jaotust”. Tehniliselt sellist asja nagu maatriksjaotus ei eksisteeri. Maatriksi jagamine teise maatriksiga on määratlemata funktsioon. Lähim ekvivalent on teise maatriksi pöördväärtusega korrutamine. Teisisõnu, kuigi [A] ÷ [B] on määratlemata, saate ülesande [A] * [B]-1 lahendada. Kuna need kaks võrrandit oleksid skalaarsuuruste jaoks samaväärsed, tundub see maatriksjagamisena, kuid oluline on kasutada õiget terminoloogiat. Pange tähele, et [A] * [B]-1 ja [B]-1 * [A] on pole sama probleem. Võimalike lahenduste leidmiseks peate võib-olla mõlemad lahendama. Näiteks (13263913)÷(7423){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}div {begin{ pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}, kirjuta (13263913)∗(7423)−1{displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{ pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{-1}}. Võimalik, et peate arvutama ka (7423)−1∗(13263913){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end {pmatrix}}^{-1}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}}, millel võib olla erinev vastus.
2
Veenduge, et “jagajamaatriks” on ruut. Maatriksi pöördväärtuse võtmiseks peab see olema ruutmaatriks, millel on sama arv ridu ja veerge. Kui maatriks, mida kavatsete ümber pöörata, ei ole ruudukujuline, pole probleemile ainulaadset lahendust. Mõiste “jagajamaatriks” on veidi lahtine, kuna see ei ole tehniliselt jagamisprobleem. [A] * [B]-1 puhul viitab see maatriksile [B]. Meie näiteülesandes on see (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}. Maatriksit, millel on pöördväärtus, nimetatakse “inverteeritavaks” või “mitteainsuseks”. Ilma pöördväärtuseta maatriksid on “ainsuses”.
3
Kontrollige, kas neid kahte maatriksit saab omavahel korrutada. Kahe maatriksi korrutamiseks peab esimese maatriksi veergude arv võrduma teise maatriksi ridade arvuga. Kui see ei tööta kummaski paigutuses ([A] * [B]-1 või [B] -1 * [A]), pole probleemile lahendust. Näiteks kui [A] on 4 x 3 maatriks (4 rida, 3 veergu) ja [B] on 2 x 2 maatriks (2 rida, 2 veergu), lahendus puudub. [A] * [B]-1 ei tööta, kuna 3 × 2 ja [B]-1 * [A] ei tööta alates 2 × 4. Pange tähele, et pöördväärtusel [B]-1 on alati sama ridade ja veergude arv algmaatriksina [B]. Selle sammu lõpuleviimiseks ei ole vaja pöördväärtust arvutada. Meie näiteülesandes on mõlemad maatriksid 2 x 2 s, nii et neid saab korrutada mõlemas järjekorras.
4
Leia 2 x 2 maatriksi determinant. Enne maatriksi pöördväärtuse võtmist tuleb kontrollida veel ühte nõuet. Maatriksi determinant peab olema nullist erinev. Kui determinant on null, ei ole maatriksil pöördväärtust. Siin on, kuidas leida determinant kõige lihtsamal juhul, maatriks 2 x 2:2 x 2 maatriks: Maatriksi determinant (abcd){displaystyle {begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}} on ad – eKr. Teisisõnu võtke põhidiagonaali korrutis (ülevalt vasakult alla paremale), seejärel lahutage antidiagonaali korrutis (ülevalt paremalt alla vasakule). Näiteks maatriks (7423){displaystyle {begin {pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}} omab determinant (7)(3) – (4)(2) = 21 – 8 = 13. See on nullist erinev, seega on võimalik leida pöördväärtus.
5
Leia suurema maatriksi determinant. Kui teie maatriks on 3 x 3 või suurem, võtab determinandi leidmine veidi rohkem tööd: 3 x 3 maatriks: valige suvaline element ja kriipsutage maha rida ja veerg, kuhu see kuulub. Leidke ülejäänud 2 x 2 maatriksi determinant, korrutage valitud elemendiga ja vaadake märgi määramiseks maatriksmärgidiagrammi. Korrake seda kahe ülejäänud elemendiga samas reas või veerus, kus esimesena valisite, ja seejärel liitke kõik kolm determinanti. Lugege seda artiklit samm-sammuliste juhiste ja näpunäidete saamiseks selle kiirendamiseks. Suuremad maatriksid: soovitatav on kasutada graafikakalkulaatorit või tarkvara. Meetod sarnaneb 3 x 3 maatriksmeetodiga, kuid on käsitsi tüütu. Näiteks 4 x 4 maatriksi determinandi leidmiseks tuleb leida nelja 3 x 3 maatriksi determinandid.
6
Jätkake. Kui teie maatriks ei ole ruut või kui selle determinant on null, kirjutage “ei unikaalne lahendus”. Probleem on täielik. Kui maatriks on ruut ja selle determinant on nullist erinev, jätkake järgmise sammuga: pöördväärtuse leidmine.
7
Vahetage elementide asukohti 2 x 2 põhidiagonaalil. Kui teie maatriks on 2 x 2, saate selle arvutamise palju lihtsamaks tegemiseks kasutada otseteed. Selle otsetee esimene samm hõlmab ülemise vasaku elemendi vahetamist alumise parempoolse elemendiga. Näiteks:(7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}} → (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix} }}Märkus. Enamik inimesi kasutab 3 x 3 või suurema maatriksi pöördväärtuse leidmiseks kalkulaatoreid. Kui soovite seda käsitsi arvutada, vaadake selle jaotise lõppu.
8
Võtke kahe ülejäänud elemendi vastand, kuid jätke need oma kohale. Teisisõnu, korrutage ülemise parem ja alumine vasak element väärtusega -1:(3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}} → (3−4−27){ displaystyle {begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}}
9
Võtke determinandi pöördväärtus. Selle maatriksi determinandi leidsite ülaltoodud jaotisest, seega pole vaja seda teist korda arvutada. Lihtsalt kirjutage üles pöördväärtus 1 / (determinant): Meie näites on determinant 13. Selle pöördväärtus on 113{displaystyle {frac {1}{13}}}.
10
Korrutage uus maatriks determinandi pöördarvuga. Korrutage iga uue maatriksi element äsja leitud pöördarvuga. Saadud maatriks on 2 x 2 maatriksi pöördväärtus:113∗(3−4−27){displaystyle {frac {1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7 end{pmatrix}}}=(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}
11
Veenduge, et pöördväärtus on õige. Töö kontrollimiseks korrutage pöördväärtus algse maatriksiga. Kui pöördväärtus on õige, on nende korrutis alati identiteedimaatriks, (1001){displaystyle {begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}} Kui matemaatika kontrollib, jätkake järgmise jaotisega probleemi lõpuleviimiseks. Näidisülesande jaoks korrutage (7423)∗(313−413−213713)=(1001){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}*{begin {pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}} ennast Maatriksi pöördväärtusega korrutamisel annavad mõlemad valikud aga tulemuseks identiteedimaatriksi.
12
Vaadake üle 3 x 3 või suurema maatriksi inversioon. Kui te ei õpi seda protsessi esimest korda, säästke aega, kasutades suuremate maatriksite jaoks graafikakalkulaatorit või matemaatikatarkvara. Kui teil on vaja see käsitsi arvutada, on siin ühe meetodi kiire kokkuvõte: Ühendage identiteedimaatriks I oma maatriksi paremasse serva. Näiteks [B] → [B | mina]. Identiteedimaatriksil on põhidiagonaalil elemendid “1” ja kõigis teistes positsioonides “0”. Tehke reaoperatsioone maatriksi vähendamiseks, kuni vasak pool on rea-ešeloni kujul, seejärel jätkake vähendamist, kuni vasak pool on identiteedimaatriks.Kui toiming on lõpetatud, on teie maatriks kujul [I | B-1]. Teisisõnu, parem pool on algse maatriksi pöördväärtus.
13
Kirjutage mõlemad võimalikud võrrandid. Skalaarsete suurustega “tavalises matemaatikas” on korrutamine kommutatiivne; 2 x 6 = 6 x 2. See ei kehti maatriksite puhul, seega võib tekkida vajadus lahendada kaks ülesannet:[A] * [B]-1 on ülesande x[B] = [A] lahendus. B]-1 * [A] on ülesande [B]x = [A] lahendus x. Kui see on võrrandi osa, veenduge, et teete mõlemal poolel sama toimingut. Kui [A] = [C], siis [B]-1[A] ei võrdu [C][B]-1, sest [B]-1 on [A] vasakul, kuid paremal küljel [C]-st.
14
Leidke oma vastuse mõõtmed. Lõpliku maatriksi mõõtmed on kahe teguri välismõõtmed. Sellel on sama arv ridu kui esimesel maatriksil ja sama palju veerge kui teisel maatriksil. Tulles tagasi meie algse näite juurde, siis mõlemad (13263913){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix }}} ja (313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2 }{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}} on 2 x 2 maatriksit, seega on ka vastuse mõõtmed 2 x 2. Kui võtta keerulisem näide, siis kui [A ] on 4 x 3 maatriks ja [B]-1 on 3 x 3 maatriks, siis maatriksi [A] * [B]-1 mõõtmed on 4 x 3.
15
Leidke esimese elemendi väärtus. Täielike juhiste saamiseks vaadake lingitud artiklit või värskendage oma mälu selle kokkuvõttega: [A][B]-1 rea 1 veeru 1 leidmiseks leidke [A] rea 1 ja [B]-1 punktkorrutis. veerg 1. See tähendab, et 2 x 2 maatriksi jaoks arvutage a1,1∗b1,1+a1,2∗b2,1{displaystyle a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1, 2}*b_{2,1}}. Meie näites (13263913)∗(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{ pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end {pmatrix}}}, meie vastuse 1. rea 1. veerg on:(13∗313)+(26∗−213){displaystyle (13*{frac {3}{13}})+(26*{ frac {-2}{13}})}=3+−4{displaystyle =3+-4}=−1{displaystyle =-1}
16
Korrake punktprodukti protsessi oma maatriksi iga positsiooni jaoks. Näiteks positsioonis 2,1 olev element on [A] rea 2 ja [B]-1 1. veeru punktkorrutis. Proovige näidet ise täita. Peaksite saama järgmised vastused:(13263913)∗(313−413−213713)=(−1107−5){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin}} {pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}} end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end{pmatrix}}}Kui teil on vaja leida muu lahendus, (313−413−213713)∗(13263913)=(∠‘92193){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{ frac {7}{13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{pmatrix}}}