Kuidas määrata lõpmatute seeriate lähenemist

Lõpmatud seeriad võivad olla hirmuäratavad, kuna neid on üsna raske visualiseerida. Kontrollimisel võib olla raske näha, kas seeria läheneb või mitte. Mõni sajand tagasi oleks vaid ühele küsimusele vastamiseks kulunud tunde tõestamist, kuid tänu paljudele hiilgavatele matemaatikutele saame kasutada teste seeriate ühtlustamiseks ja lahknemiseks. Alltoodud samme ei tohiks tingimata teha selles järjekorras – ühe või tavaliselt piisab kahest. Tehtavate testide leidmiseks on vaja harjutada iga testiga kõige paremini toimivate funktsioonide tuvastamist, kuid üldiselt peaksite enne alla laskmist kasutama selles artiklis allpool olevaid teste. Veenduge, et teil oleks ka arvutustest korralik arusaam.

1
Tehke lahknemise test. See test määrab, kas seeria uk{displaystyle u_{k}} on lahknev või mitte, kus k∈Z.{displaystyle kin mathbb {Z} .}Kui limk→∞uk≠0, {displaystyle lim _ {kto infty }u_{k}neq 0,} siis uk{displaystyle u_{k}} lahkneb. Vastupidine ei ole tõsi. Kui seeria piirväärtus on 0, ei tähenda see tingimata, et seeria läheneb. Peame tegema täiendavaid kontrolle.

2
Otsige geomeetrilisi seeriaid. Geomeetrilised seeriad on jadad kujul rk,{displaystyle r^{k},}, kus r{displaystyle r} on kahe kõrvuti asetseva arvu suhe reas. Neid seeriaid on väga lihtne ära tunda ja määrata nende konvergents.Kui |r|<1,{displaystyle |r|<1,}, siis rk{displaystyle r^{k}} koondub.If |r|≥ 1,{displaystyle |r|geq 1,} siis rk{displaystyle r^{k}} lahkneb. Kui r=âˆ'1,{displaystyle r=-1,}, siis pole test lõplik. Kasutage vahelduvate seeriate testi. Konvergentsete geomeetriliste jadate korral leiate seeriate summa kui 11âˆ'r.{displaystyle {frac {1}{1-r}}.} 3 Otsige p-seeriat. P-seeriad on jadad kujul 1kp.{displaystyle {frac {1}{k^{p}}}.} Neid nimetatakse mõnikord "hüperharmoonilisteks" seeriateks, kuna nad üldistavad harmoonilisi jadasid, millest p= 1.{displaystyle p=1.}Kui p>1,{displaystyle p>1,}, siis seeria koondub.Kui 00{displaystyle a_{k}>0} on piisavalt suur, {displaystyle k,}, siis ak{displaystyle a_{k}} koondub, kui järgmised kaks tingimust peavad kinni.ak≥ak+1{displaystyle a_{k}geq a_{k+1}}limk→∞ak=0{displaystyle lim _{kto infty }a_ {k}=0}Lihtsamalt öeldes, kui teil on vahelduv seeria, ignoreerige märke ja kontrollige, kas iga termin on väiksem kui eelmine liige. Seejärel kontrollige, kas seeria piirang läheb 0-ni. Kasulik on märkida, et seeriad koonduvad vahelduvate seeriate testi kaudu, kuid lahknevad, kui (−1)k{displaystyle (-1)^{k}} on eemaldatud, loetakse tingimuslikult koonduvateks. Üks selline näide on vahelduv harmooniline jada (−1)k−1k{displaystyle {frac {(-1)^{k-1}}{k}}}, mille summa on lnâ¡2.{ kuvastiil ln 2.}

6
Tehke suhte test. See test on kasulik faktoriaalide või võimsustega avaldiste puhul. Arvestades lõpmatu seeria uk, {displaystyle u_{k},} leidke uk+1{displaystyle u_{k+1}} ja arvutage |uk+1uk|.{displaystyle leftvert {frac {u_{ k+1}}{u_{k}}}rightvert .} Laske nüüd Ï=limk→∞|uk+1uk|.{displaystyle rho =lim _{kto infty } leftvert {frac {u_{k+1}}{u_{k}}}rightvert .}Seeria läheneb (isegi absoluutselt), kui Ï<1{displaystyle rho <1}, lahkneb, kui Ï>1{displaystyle rho >1} või Ï=∞,{displaystyle rho =infty ,} ja on ebaselge, kui Ï=1.{displaystyle rho =1.}Pange tähele, et suhe test ei tööta, kui uk=0{displaystyle u_{k}=0} mis tahes k{displaystyle k} jaoks. Sel juhul tuleb seeria ümber kirjutada nii, et nulle ei lisataks, või kui see on liiga palju tööd, tuleb kasutada juurtesti.

7
Tehke juurtest. Juurtest on suhtarvu testi variant, kus Ï=limk→∞|uk|k.{displaystyle rho =lim _{kto infty }{sqrt[{k}]{ vert u_{k}vert }}.} Juurtesti puhul kasutatakse samu kriteeriume suhtetestist. Juurtesti tugevam versioon kasutab Ï