Apollonian Gasket on teatud tüüpi fraktaalkujutis, mis moodustub ühes suures ringis olevate pidevalt kahanevate ringide kogumist. Iga Apolloni tihendi ring puutub külgnevate ringidega – teisisõnu, Apolloni tihendi ringid puutuvad kokku lõpmatult väikestes punktides. Kreeka matemaatiku Apollonios Pergast nime saanud seda tüüpi fraktaale saab joonistada (käsitsi või arvutiga) mõistliku keerukusega, moodustades kauni, silmatorkava pildi. Alustamiseks vaadake 1. sammu allpool.
1
Määratlege võtmeterminid. Allolevates juhistes kasutatakse järgmisi termineid: Apolloni tihend: üks mitmest fraktalitüübi nimetusest, mis koosneb ringidest, mis paiknevad ühes suures ringis ja puutuvad kokku kõigi teiste läheduses olevate ringidega. Neid nimetatakse ka “Soddy Circles” või “Suudlusringideks”. Ringi raadius: kaugus ringi keskpunktist selle servani. Tavaliselt omistatakse muutuja r. Ringjoone kõverus: raadiuse positiivne või negatiivne pöördväärtus ehk ±1/r. Kumerus on positiivne, kui käsitletakse ringi välimist kõverust, ja negatiivne sisemise kõveruse puhul.Tangent: termin, mida kasutatakse joonte, tasapindade ja kujundite kohta, mis lõikuvad ühes lõpmatult väikeses punktis. Apollonian Gasketsis viitab see asjaolule, et iga ring puudutab iga lähedalasuvat ringi ainult ühes punktis. Pange tähele, et ristmikku pole – puutuja kujundid ei kattu.
2
Saage aru Descartes’i teoreemist. Descartes’i teoreem on valem, mis on kasulik Apolloni tihendi ringide suuruse arvutamiseks. Kui defineerida mis tahes kolme ringi kõverused (1/r) vastavalt a, b ja c, siis ütleb teoreem, et kõigi kolmega puutuva ringi (või ringide) kõverus, mida defineerime kui d, on : d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a )).Oma eesmärkidel kasutame tavaliselt ainult vastust, mille saame plussmärgiga ruutjuure ees ( teisisõnu … + 2 (sqrt(…)). Praegu piisab, kui teada, et võrrandi lahutamise vormil on oma kasutusvõimalused ka muudes seotud ülesannetes.
3
Koguge kokku oma digitaalsed või analoogjoonestustööriistad. Allolevate sammudega valmistame oma lihtsa Apollonian tihendi. Apollonian Gaskets on võimalik joonistada käsitsi või arvutiga. Mõlemal juhul soovite joonistada täiesti ümmargusi ringe. See on üsna oluline. Kuna Apollonian Tihendi iga ring puutub ideaalselt selle kõrval asuvate ringidega, võivad isegi veidi valesti vormitud ringid teie lõpptoote “ära visata”. Kui joonistate tihendi arvutis, vajate programmi, mis võimaldab teil hõlpsasti joonistada keskpunktist fikseeritud raadiusega ringe. Kasutada saab tasuta pilditöötlusprogrammi GIMP vektorjoonistamise laiendust Gfigi, nagu ka paljusid teisi joonistusprogramme (asjakohaste linkide saamiseks vaadake materjalide jaotist). Tõenäoliselt vajate ka kalkulaatorirakendust ja kas tekstitöötlusdokumenti või füüsilist märkmikku, et teha märkmeid kõveruste ja raadiuste kohta. Tihendi käsitsi joonistamiseks vajate kalkulaatorit (soovitatav on teaduslik või graafika), pliiats, kompass , joonlaud (eelistatavalt millimeetrimärgistusega skaala, millimeetripaber ja märkmik märkmete tegemiseks.
4
Alustage ühe suure ringiga. Sinu esimene ülesanne on lihtne – lihtsalt joonista üks suur, täiesti ümmargune ring. Mida suurem on ring, seda keerulisem võib teie tihend olla, nii et proovige teha nii suur ring, kui paber lubab, või nii suur, nagu näete joonistusprogrammi ühes aknas.
5
Looge originaali sisse väiksem ring, mis puutub ühte külge. Järgmisena tõmmake esimese sisse teine ring, mis on algsest väiksem, kuid siiski üsna suur. Teise ringi täpne suurus on teie enda otsustada – õiget suurust pole. Kuid oma eesmärkidel joonistame oma teise ringi nii, et see ulatuks täpselt pooleni üle meie suure välisringi. Teisisõnu, joonistame oma teise ringi nii, et selle keskpunkt oleks suure ringi raadiuse keskpunkt. Pidage meeles, et Apollonian Gaskets’is on kõik kokku puutuvad ringid üksteist puutuvad. Kui kasutate ringide käsitsi joonistamiseks kompassi, looge see efekt uuesti, asetades kompassi terava punkti suure välimise ringi raadiuse keskpunkti, reguleerides pliiatsit nii, et see puudutaks lihtsalt suure ringi serva. seejärel joonistage oma väiksem sisemine ring.
6
Joonistage identne ring “risti” väiksemast siseringist. Järgmiseks joonistame teise ringi meie esimesele risti. See ring peaks puutuma kokku nii suure välimise kui ka väiksema sisemise ringiga, mis tähendab, et teie kaks sisemist ringi puutuvad kokku suure välimise ringi täpselt keskpunktis.
7
Järgmiste ringide suuruse leidmiseks rakendage Descartes’i teoreemi. Lõpetame hetkeks joonistamise. Nüüd, kui meie tihendis on kolm ringi, saame järgmise joonistatava ringi raadiuse leidmiseks kasutada Descartes’i teoreemi. Pidage meeles, et Descartes’i teoreem on d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a )), kus a, b ja c on teie kolme puutujaringi kõverused ja d on kõigi kolme puutuja ringjoone kõverus. Niisiis, järgmise ringi raadiuse leidmiseks leiame iga seni olemasoleva ringi kõveruse, et saaksime leida järgmise ringi kõveruse, seejärel teisendame selle raadiuseks. Määratleme oma välise ringi raadiuse ring nagu 1. Kuna teised ringid on selle sees, tegeleme selle sisemise kõverusega (mitte välise kõverusega) ja järelikult teame, et selle kõverus on negatiivne. – 1/r = -1/1 = -1. Suure ringi kõverus on -1. Väiksemate ringide raadiused on poole suuremad kui suurel ringil ehk teisisõnu 1/2. Kuna need ringid puudutavad üksteist ja suurt ringi nende välisservaga, siis on tegemist nende välise kumerusega, seega on nende kumerused positiivsed. 1/(1/2) = 2. Väiksemate ringide kumerused on mõlemad 2. Nüüd teame, et meie Descartes’i teoreemi võrrandi jaoks on a = -1, b = 2 ja c = 2. Lahendame d:d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a ))d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1 ))d = -1 + 2 + 2 ± 2 (ruut (-2 + 4 + -2 ))d = -1 + 2 + 2 ± 0p = -1 + 2 + 2d = 3. Meie järgmise ringi kõverus on 3. Kuna 3 = 1/r, on meie järgmise ringi raadius 1/3.
8
Looge oma järgmine suhtlusringide komplekt. Kasutage äsja leitud raadiuse väärtust järgmise kahe ringi joonistamiseks. Pidage meeles, et need puutuvad ringidega, mille kõverusi kasutasite Descartes’i teoreemis a, b ja c jaoks. Teisisõnu puutuvad need kokku nii algse kui ka teise ringiga. Selleks, et need ringid puutuksid kokku kõigi kolme ringiga, peate need joonistama oma suures algses ringis oleva ala üla- ja alaosa avatud ruumidesse. Pidage meeles, et nende ringide raadiused on 1/3. Mõõtke 1/3 välisringi servast tagasi, seejärel joonistage uus ring. See peaks puutuma kõigi kolme ümbritseva ringiga.
9
Jätkake samamoodi, et jätkata ringide lisamist. Kuna need on fraktalid, on Apollonian Gaskets lõpmatult keerukad. See tähendab, et saate oma südameasjaks lisada järjest väiksemaid ringe. Teid piirab ainult tööriistade täpsus (või kui kasutate arvutit, siis joonistusprogrammi võime “sisse suumida”). Iga ring, olenemata sellest, kui väike see on, peaks puutuma kokku kolme teise ringiga. Iga järgneva ringi joonistamiseks tihendisse ühendage kolme ringi kõverused, mida see puutub, Descartes’i teoreemi. Seejärel kasutage oma vastust (mis on teie uue ringi raadius), et uus ring täpselt joonistada. Pange tähele, et joonistamiseks valitud tihend on sümmeetriline, seega on ühe ringi raadius sama, mis vastava ringi raadius. selle vastas”. Kuid teadke, et mitte iga Apolloni tihend ei ole sümmeetriline. Võtame veel ühe näite. Oletame, et pärast viimase ringide komplekti joonistamist tahame nüüd joonistada ringid, mis puutuvad meie kolmanda komplekti, teise komplekti ja meie suure välisringiga. Nende ringide kõverused on vastavalt 3, 2 ja -1. Ühendame need arvud Descartes’i teoreemiga, seades a = -1, b = 2 ja c = 3:d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a ))d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ruut (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1 ))d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ruut (-2) + 6 + -3))d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))d = -1 + 2 + 3 ± 2d = 2, 6. Meil on kaks vastust! Kuna aga teame, et meie uus ring on väiksem kui kõik ringid, mida see puutub, on mõttekas ainult kõverus 6 (ja seega raadius 1/6). Meie teine vastus, 2, viitab tegelikult hüpoteetiline ring meie teise ja kolmanda ringi puutujapunkti teisel küljel. See ring puudutab mõlemat ringi ja suurt välimist ringi, kuid see lõikuks juba joonistatud ringidega, nii et me võime selle tähelepanuta jätta.
10
Väljakutse jaoks proovige teha mittesümmeetriline Apolloni tihend, muutes oma teise ringi suurust. Kõik Apollonian Gaskets algavad samamoodi – suure välisringiga, mis toimib fraktaali servana. Siiski pole põhjust, miks teie teise ringi raadius peab tingimata olema 1/2 esimese ringi raadiusest – me lihtsalt otsustasime selle ülaltoodud viisil teha, kuna see on lihtne ja arusaadav. Lõbu pärast proovige alustada uut tihendit teise erineva suurusega ringiga – see toob kaasa põnevaid uusi uurimisvõimalusi.Pärast teise ringi joonistamist (olenemata selle suurusest) peaks järgmiseks toiminguks olema ühe või mitme ringi joonistamine mis puutuvad kokku nii selle kui ka suure välisringiga – ka selleks pole õiget viisi. Pärast seda saate Descartes’i teoreemi abil määrata mis tahes järgnevate ringide raadiused, nagu ülal näidatud.