Radikaalid, mida nimetatakse ka juurteks, on eksponentide vastandid. Need kõlavad isegi vastanditena, kui me neist valjusti räägime: me ütleme, et 62{displaystyle 6^{2}} on “kuue ruuduga” ja 6{displaystyle {sqrt {6}}} on “ruut”. juur kuus”. Ja nagu me saame kasutada suuremaid ja suuremaid eksponente nagu 3{displaystyle ^{3}} ja 4{displaystyle ^{4}}, võime leida ka väiksemaid ja väiksemaid juuri nagu 3{displaystyle {sqrt[{3 }]{}}} ja 4{displaystyle {sqrt[{4}]{}}}. Radikaalsete avaldiste lihtsustamine kasutab murdude või eksponentide lihtsustamiseks paljusid samu nippe, mida õppisite varasemates matemaatikatundides. Kui olete selle teemaga uus, õppige kõigepealt täisarvu ruutjuure lihtsustamist.
1
Koefitsiendi ruutjuure all olev arv. Ignoreerige praegu ruutjuurt ja vaadake lihtsalt selle all olevat numbrit. Korrutage see arv, kirjutades selle kahe väiksema arvu korrutisena. (Kui tegurid pole ilmsed, vaadake, kas see jagab ühtlaselt 2-ga. Kui ei, proovige uuesti 3-ga, seejärel 4-ga ja nii edasi, kuni leiate toimiva teguri.)Näide: lihtsustage 45{displaystyle { ? , seega 45=3×15{displaystyle 45=3times 15}.45=3×15{displaystyle {sqrt {45}}={sqrt {3times 15}}}
2
Jätkake, kuni arv on täielikult arvesse võetud. Pidage meeles, et iga arvu saab arvutada algarvudeks (nt 2, 3, 5 ja 7). Jätkake tegurite jaotamist seni, kuni enam tegureid pole leida. Nüüd on meil 3×15{displaystyle {sqrt {3times 15}}}, kuid saame 15 uuesti arvutada 3×5{displaystyle 3 korda 5}.45=3×3×5{displaystyle {sqrt {45}}={sqrt {3times 3times 5}}}
3
Kirjutage sama arvu paarid ümber arvu 2 astmeteks. Kui sama tegur esineb rohkem kui üks kord, kirjutage see ümber astendajana. (Hoia kõik ruutjuure all.) 3×3×5{displaystyle {sqrt {3times 3times 5}}} puhul kuvatakse number 3 kaks korda. Kuna 3×3=32{displaystyle 3times 3=3^{2}}, saame kogu avaldise ümber kirjutada kujule 32×5{displaystyle {sqrt {3^{2}times 5}}}.
4
Võtke suvalised arvud, mis on tõstetud astmeni 2 väljaspool ruutjuurt. Juured ja astendajad on vastandlikud, nii et nad tühistavad üksteist. Kui mõni tegur on tõstetud astmeni 2, liigutage see tegur ruutjuure ette (ja vabanege eksponendist).32×5=325{displaystyle {sqrt {3^{2}times 5} }={sqrt {3^{2}}}{sqrt {5}}} (Kuni juure all olev kõik on üks korrutamisülesanne, saate avaldise alati ümber kirjutada nii, et iga korrutise kohal on juur. )325=35{displaystyle {sqrt {3^{2}}}{sqrt {5}}=3{sqrt {5}}}Kuna ruutjuure alla pole jäänud teisi eksponente, olete kõik tehtud!
5
Lihtsustage tulemust, et korrutamist ei jääks. Raskemate ülesannete korral võib ruutjuure ees või all olla mitu numbrit. Lahendage vastuse lihtsustamiseks need korrutamisülesanded.Näide: 360{displaystyle {sqrt {360}}} lihtsustamine.Selle jaotamiseks on vaja palju faktooringut: 360=40×9=(5×8)×(3à —3)=5×2×2×2×3×3{displaystyle {sqrt {360}}={sqrt {40times 9}}={sqrt {(5times 8)times ( 3times 3)}}={sqrt {5 korda 2 korda 2 korda 2 korda 3 korda 3}}}Kirjutage arvupaarid ümber eksponentide abil: 5×22×2×32{displaystyle { sqrt {5times 2^{2}times 2times 3^{2}}}}. Tooge 2 ja 3 väljapoole ruutjuurt: 2×3×5×2{displaystyle 2times 3times {sqrt {5times 2}}}Lihtsustage ruutjuure ees olevaid numbreid: 65×2{displaystyle 6{sqrt {5times 2}}}Lõpliku vastuse saamiseks lihtsustage numbri all olevaid numbreid ruutjuur: 610{displaystyle 6{sqrt {10}}}
6
Leia juure all oleva arvu algtegurid. Just nagu ruutjuured, esimene samm kuupjuure (3{displaystyle {sqrt[{3}]{}}}) lihtsustamiseks, neljas juur (4{displaystyle {sqrt[{4}]{} }}), või mis tahes kõrgem juur on arvu arvutamiseks juure all. Näide: Lihtsusta 813{displaystyle {sqrt[{3}]{81}}} (81 kuupjuur).81=3×3à —3×3{displaystyle 81=3korda 3korda 3korda 3}, seega 813=3×3×3×33{displaystyle {sqrt[{3}]{81}}={sqrt [{3}]{3kordi 3kordi 3kordi 3}}}
7
Kirjutage samade tegurite rühmad ümber eksponendi kujul. Kui sama algtegur kuvatakse mitu korda, kirjutage need ümber eksponendina.3×3×3×33=343{displaystyle {sqrt[{3}]{3times 3times 3times 3}} ={sqrt[{3}]{3^{4}}}}
8
Võimaluse korral lihtsustage eksponentide juure. Nii nagu ruutjuur tühistab ruudu, tühistavad kõrgemad juured sobivad eksponendid (näiteks 3{displaystyle {sqrt[{3}]{}}} ja 3{displaystyle ^{3}}). Vaadake seda näidet, et näha, kuidas see toimib:343=33×33=33333{displaystyle {sqrt[{3}]{3^{4}}}={sqrt[{3}]{3^{3 }times 3}}={sqrt[{3}]{3^{3}}}{sqrt[{3}]{3}}}Kuna juur ja astendaja kattuvad 333{displaystyle {sqrt [{3}]{3^{3}}}}, nad tühistavad, jättes alles ainult põhinumbri 3{displaystyle 3}. Ühendage see kogu avaldisega, et saada 333{displaystyle 3{sqrt[{ 3}]{3}}}. Kuna enam ei ole eksponente, mida saaks tühistada, on see lihtsustatud vorm.
9
Lihtsustage mis tahes korrutamist ja eksponente. Sageli jõuate eksponentideni, mis ei tühista, või korrutatakse rohkem kui üks arv. Lahendage need nii, et jääks üks arv väljaspool radikaali ja üks number selle sees. Näide: lihtsustage 27×35×75{displaystyle {sqrt[{5}]{2^{7}times 3^{ 5}times 7}}}. See on juba algarvudesse arvestatud, nii et saame selle sammu vahele jätta. Kirjutame selle ümber 27535575{displaystyle {sqrt[{5}]{2^{7}}}{sqrt[{5}]{3^{5}}}{sqrt[{5}]{7 }}}.275=25×225{displaystyle {sqrt[{5}]{2^{7}}}={sqrt[{5}]{2^{5}times 2^{2} }}}, eksponentide reeglite järgi. Juur ja astendaja tühistatakse esimesel liikmel, jättes 2225{displaystyle 2{sqrt[{5}]{2^{2}}}}355{displaystyle {sqrt[{5}]{3^ 3 t tuleb lihtsustada. Ühendage oma lihtsustatud terminid kogu avaldisesse tagasi: 2225×3×75{displaystyle 2{sqrt[{5}]{2^{2}}}times 3times {sqrt[{5 }]{7}}}Kombineeri sarnased terminid: (2×3)22×75{displaystyle (2kordi 3){sqrt[{5}]{2^{2}times 7}}}Arvuta korrutamine ja eksponendid: 6285{displaystyle 6{sqrt[{5}]{28}}}
10
Lihtsusta murdosa. Mis siis, kui juure all on terve murdosa? Üks võimalus selliste probleemide lahendamiseks on alguses radikaalset väljendit ignoreerida. Lihtsustage murdu nii palju kui saate, seejärel vaadake, kas juur võimaldab teil veelgi lihtsustada.Näide: lihtsustage 1004{displaystyle {sqrt {frac {100}{4}}}}.1004=25{displaystyle { frac {100}{4}}=25}, et saaksime selle ümber kirjutada kujul 25{displaystyle {sqrt {25}}}.25=52{displaystyle 25=5^{2}}, seega 25=5 {displaystyle {sqrt {25}}=5}.
11
Selle asemel kirjutage murd kahe radikaalavaldisena ümber. Mõned inimesed eelistavad seda teist meetodit selliste probleemide lahendamiseks. Kirjutage murd nii, et lugejas oleks üks juur ja nimetajas teine. Lihtsustage iga juurt eraldi, seejärel lihtsustage murdosa.Näide: lihtsustage 7512{displaystyle {sqrt {frac {75}{12}}}}. Kirjutage see ümber kujule 7512{displaystyle {frac {sqrt {75}} {sqrt {12}}}}. Lugeja lihtsustamine: 75=25×3=53{displaystyle {sqrt {75}}={sqrt {25times 3}}=5{sqrt {3} }}Lihtsusta nimetajat: 12=4×3=23{displaystyle {sqrt {12}}={sqrt {4times 3}}=2{sqrt {3}}}Sisestage need tagasi murdosasse : 5323{displaystyle {frac {5{sqrt {3}}}{2{sqrt {3}}}}}Tühista 3{displaystyle {sqrt {3}}}, et saada 52{displaystyle {frac {5}{2}}}.
12
Kohandage oma vastust nii, et nimetajas ei oleks juuri. Mõnikord on kõige lihtsamal kujul ikkagi radikaalne väljend. See on hea, kuid enamik matemaatikaõpetajaid soovib, et jätaksite kõik radikaalid murdu ülaosas, mitte nimetaja. Järgige murdude korrutamise reegleid, et tühistada kõik murru allosas olevad juured:Näide: olete murdu lihtsustanud ja saite vastuse 495{displaystyle {frac {4}{9{sqrt {5}}} }}.Selle standardkujule panemiseks korrutage murru ülemine ja alumine osa juurega: 4×595×5=459×5=4545{displaystyle {frac {4times {sqrt {5}} }{9{sqrt {5}}times {sqrt {5}}}}={frac {4{sqrt {5}}}{9times 5}}={frac {4{ ruut {5}}}{45}}}
13
Teisenda juured murdosa astendajateks. Suvalise juure saab ümber kirjutada murdarvuga eksponendiks. Kui olete sellega harjunud, on muster üsna lihtne:x=x12{displaystyle {sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}x3=x13{displaystyle {sqrt[ {3}]{x}}=x^{frac {1}{3}}}x4=x14{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}=x^{frac {1}{ 4}}}…ja nii edasi.
14
Kombineerige terminid eksponendireeglite abil. Kui olete oma terminid astendajavormiks teisendanud, järgige eksponentide reegleid, et ühendada need üheks avaldiseks.Näide: kirjutage 334{displaystyle {sqrt {3}}{sqrt[{4}]{3}} } ühe radikaalavaldisena. Kirjutage iga termin ümber eksponendi kujul: 3{displaystyle {sqrt {3}}} muutub 312{displaystyle 3^{frac {1}{2}}} ja 34{displaystyle { sqrt[{4}]{3}}} muutub 314{displaystyle 3^{frac {1}{4}}}. Kogu avaldis on nüüd 312×314{displaystyle 3^{frac {1} {2}} korda 3^{frac {1}{4}}}. Kuna eksponentidel on sama alus (3), saame nende korrutamisel sama aluse, mis tõstetakse kahe eksponendi summaks: 3( 12+14){displaystyle 3^{({frac {1}{2}}+{frac {1}{4}})}}. Lihtsustage kuni 334{displaystyle 3^{frac {3} {4}}}.
15
Teisenda tagasi radikaalsele kujule. Kui teil on üks fraktsionaalne astendaja, kirjutage see ümber radikaalavaldisena. (Nimetja liigub juure ja lugeja jääb eksponendiks.)334=334{displaystyle 3^{frac {3}{4}}={sqrt[{4}]{3^{3} }}}
16
Võimalusel lihtsusta. Kui teil on jäänud korrutamist või astendajaid, arvutage need nii, et teie lõplik vastus oleks kõige lihtsamal kujul.334=94{displaystyle {sqrt[{4}]{3^{3}}}={sqrt[{4} ]{9}}}
17
Tühistage eksponendid ja juured samamoodi nagu täisarvude puhul. Algebralised probleemid hõlmavad muutujaid, nagu x{displaystyle x}, mis võivad esitada mis tahes arvu. Eksponentide ja juurte reeglid kehtivad ka nende muutujate puhul.Näide: lihtsustage x2×x3{displaystyle {sqrt[{3}]{x^{2}times x}}}. Kombineerige terminid kuubijuure all. nagu numbrit: x33{displaystyle {sqrt[{3}]{x^{3}}}}Kuna juur- ja astendaja väärtused kattuvad, tühistatakse need, et moodustada x{displaystyle x}.
18
Andke positiivseid lahendusi isegi juurtele. Pange tähele, kuidas (−2)2{displaystyle (-2)^{2}} ja 22{displaystyle 2^{2}} on mõlemad 4. See tähendab, et 4-l (või mis tahes positiivsel arvul) on tegelikult kaks ruutjuurt : üks positiivne arv ja üks negatiivne. Kuid ruutjuure sümbol {displaystyle {sqrt {}}} viitab vaikimisi ainult positiivsele arvule. Näiteks saate lihtsustada 4{displaystyle {sqrt {4}}} väärtuseks 2{displaystyle 2} ja eirata negatiivset lahendust. Sama kehtib iga paarisjuure kohta: ,4,6{displaystyle { sqrt {}}, {sqrt[{4}]{}}, {sqrt[{6}]{}}} jne. See ei kehti paaritute juurte kohta, nagu 3{displaystyle {sqrt[ {3}]{}}} või 5{displaystyle {sqrt[{5}]{}}}. Negatiivse arvu paaritu juur on alati negatiivne ja positiivse arvu paaritu juur on alati positiivne. (Testige seda ise, arvutades 23{displaystyle 2^{3}} ja (−2)3{displaystyle (-2)^{3}}.)
19
Muutuja positiivseks muutmiseks kasutage absoluutväärtuse sümbolit. Muutujad on keerulised: me ei tea, kas need esindavad positiivset või negatiivset arvu. Kuna ruutjuure (või paarisjuure) funktsioon peab alati andma positiivse vastuse, tagame, et see juhtub, kasutades vastuste ümber absoluutväärtuse sümbolit, näiteks: |x|. See sümbol tähendab lihtsalt “muutke see väärtus positiivseks”.Näide: Lihtsustage 32×2{displaystyle {sqrt {32x^{2}}}}. Lihtsustage mittemuutuvat terminit: 32=22×22×2=(2×2 )2=42{displaystyle {sqrt {32}}={sqrt {2^{2}times 2^{2}times 2}}=(2times 2){sqrt {2}} =4{sqrt {2}}}.Lihtsustage muutujakomponenti, tühistades juure ja astendaja: x2=x{displaystyle {sqrt {x^{2}}}=x}. Veendumaks, et juur on positiivne, lisage selle termini ümber absoluutväärtuse sümbolid: |x|.Kirjutage kogu avaldis: 4|x|2{displaystyle {sqrt {2}}}.