Kompleksmurrud on murrud, milles lugeja, nimetaja või mõlemad sisaldavad murde ise. Sel põhjusel nimetatakse keerukaid murde mõnikord “virnastatud murdudeks”. Keeruliste murdude lihtsustamine on protsess, mis võib ulatuda lihtsast keeruliseni, olenevalt sellest, kui palju termineid lugejas ja nimetajas on, kas mõni termin on muutuja ja kui on, siis muutujaliikmete keerukusest. Alustamiseks vaadake 1. sammu allpool!
1
Vajadusel lihtsusta lugeja ja nimetaja üksikuteks murdudeks. Keerulisi murde ei ole tingimata raske lahendada. Tegelikult on keerulisi murde, milles nii lugeja kui ka nimetaja sisaldavad ühte murru, tavaliselt üsna lihtne lahendada. Seega, kui teie kompleksmurru lugeja või nimetaja (või mõlemad) sisaldavad mitut murdosa või murde ja täisarve, lihtsustage vastavalt vajadusele, et saada nii lugejas kui ka nimetajas üks murd. See võib nõuda kahe või enama murru vähima ühisnimetaja (LCM) leidmist. Oletame näiteks, et tahame kompleksmurdu (3/5 + 2/15)/(5/7 – 3/10) lihtsustada. Esiteks lihtsustaksime oma kompleksmurru lugeja ja nimetaja üksikuteks murdudeks. Lugeja lihtsustamiseks kasutame LCM-i 15, korrutades 3/5 3/3-ga. Meie lugejaks saab 9/15 + 2/15, mis võrdub 11/15. Nimetaja lihtsustamiseks kasutame LCM-i 70, korrutades 5/7 10/10-ga ja 3/10 7/7-ga. Meie nimetaja on 50/70 – 21/70, mis võrdub 29/70. Seega on meie uus kompleksmurd (11/15)/(29/70).
2
Pöörake nimetaja pöördväärtuse leidmiseks. Definitsiooni järgi on ühe arvu jagamine teisega sama, mis esimese arvu korrutamine teise pöördarvuga. Nüüd, kui oleme saanud kompleksmurru, mille lugejas ja nimetajas on üks murd, saame seda jagamisomadust kasutada oma kompleksmurru lihtsustamiseks! Esiteks leidke kompleksmurru põhjas oleva murru pöördväärtus. Tehke seda murru “pööramisega” – määrake selle lugeja nimetaja asemele ja vastupidi. Meie näites on kompleksmurru (11/15)/(29/70) nimetaja murd 29/70 . Selle pöördväärtuse leidmiseks me lihtsalt “pöörame” selle, et saada 70/29. Pange tähele, et kui teie kompleksmurru nimetajas on täisarv, saate seda käsitleda murruna ja leida selle pöördmurru. Näiteks kui meie kompleksmurd oli (11/15)/(29), saame nimetaja defineerida kui 29/1, mis teeb selle pöördväärtuseks 1/29.
3
Korrutage kompleksmurru lugeja nimetaja pöördväärtusega. Nüüd, kui olete saanud oma kompleksmurru nimetaja pöördväärtuse, korrutage see lugejaga, et saada üks lihtmurd! Pidage meeles, et kahe murru korrutamiseks korrutame lihtsalt üle – uue murru lugeja on kahe vana murdu lugejate korrutis ja samamoodi nimetajaga. Meie näites korrutaksime 11/15 × 70/ 29. 70 × 11 = 770 ja 15 × 29 = 435. Niisiis, meie uus lihtmurd on 770/435.
4
Lihtsustage uut murdu, leides suurima ühisteguri. Meil on nüüd üks lihtne murd, nii et jääb üle vaid see võimalikult lihtsal viisil renderdada. Leidke lugeja ja nimetaja suurim ühistegur (GCF) ja jagage mõlemad selle arvuga, et lihtsustada. 770 ja 435 üks ühine tegur on 5. Seega, kui jagame oma murdosa lugeja ja nimetaja 5-ga, saame 154 /87. 154 ja 87 ei oma ühiseid tegureid, seega teame, et oleme oma lõpliku vastuse leidnud!
5
Võimalusel kasutage ülaltoodud pöördkorrutamise meetodit. Selguse huvides võib öelda, et peaaegu iga keerulist murru saab lihtsustada, taandades selle lugeja ja nimetaja üksikuteks murdudeks ning korrutades lugeja nimetaja pöördarvuga. Muutujaid sisaldavad kompleksmurrud pole erandiks, kuid mida keerulisemad on kompleksmurru muutujaavaldised, seda keerulisem ja aeganõudvam on pöördkorrutise kasutamine. Muutujaid sisaldavate “lihtsate” komplekssete murdude puhul on pöördkorrutamine hea valik, kuid kompleksseid murde, mille lugejas ja nimetajas on mitu muutujat, võib olla lihtsam lihtsustada allpool kirjeldatud alternatiivse meetodi abil. Näiteks (1/x)/( x/6) on pöördkorrutise abil lihtne lihtsustada. 1/x × 6/x = 6/x2. Siin ei ole vaja alternatiivset meetodit kasutada. Siiski on ((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))) pöördkorrutise abil on keerulisem lihtsustada. Selle keerulise murru lugeja ja nimetaja taandamine üksikuteks murdudeks, pöördkorrutamine ja tulemuse taandamine lihtsaimateks osadeks on tõenäoliselt keeruline protsess. Sel juhul võib alltoodud alternatiivne meetod olla lihtsam.
6
Kui pöördkorrutamine on ebapraktiline, alustage kompleksmurru murdosaliikmete väikseima ühisnimetaja leidmisega. Selle alternatiivse lihtsustamismeetodi esimene samm on leida kompleksmurrust kõigi murdosaliikmete LCD-ekraan – nii lugejas kui ka nimetajas. Tavaliselt, kui ühel või mitmel murdsõnal on nimetajates muutujad, on nende LCD lihtsalt nende nimetajate korrutis. Seda on näite abil lihtsam mõista. Proovime lihtsustada ülalmainitud kompleksmurdu (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))). Murdliikmed selles kompleksmurrus on (1)/(x+3) ja (1)/(x-5). Nende kahe murru ühisnimetaja on nende nimetajate korrutis: (x+3)(x-5).
7
Korrutage kompleksmurru lugeja äsja leitud LCD-ekraaniga. Järgmiseks peame korrutama oma keerulises murdos olevad terminid selle murdosaliikmete LCD-ga. Teisisõnu, me korrutame kogu kompleksse murdosa (LCD)/(LCD). Saame seda teha vabalt, sest (LCD)/(LCD) võrdub 1-ga. Esiteks korrutage lugeja ise. Meie näites korrutaksime oma kompleksmurru (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))), ((x+3) (x-5))/((x+3) (x-5)) . Peame korrutama kompleksmurru lugeja ja nimetajaga, korrutades iga liikme väärtusega (x+3)(x-5). Esiteks korrutame lugeja: ((1)/(x+3)) + x – 10) × (x+3)(x-5)= (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5) ) – 10((x+3)(x-5))= (x-5) + (x(x2 – 2x – 15)) – (10 (x2 – 2x – 15))= (x-5) + (x3 – 2×2 – 15x) – (10×2 – 20x – 150) = (x-5) + x3 – 12×2 + 5x + 150 = x3 – 12×2 + 6x + 145
8
Korrutage kompleksmurru nimetaja LCD-ekraaniga, nagu tegite lugejaga. Jätkake kompleksmurru korrutamist LCD-ga, mille leidsite nimetaja juurde minnes. Korrutage läbi, korrutades iga liikme LCD-ga. Meie kompleksmurru nimetaja ((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5) )), on x +4 +((1)/(x-5)). Korrutame selle leitud LCD-ga (x+3)(x-5).(x +4 +((1)/(x – 5))) × (x+3)(x-5) )= x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5). = x(x2 – 2x – 15) + 4 (x2 – 2x – 15) + ((x+3) (x-5))/(x-5) = x3 – 2×2 – 15x + 4×2 – 8x – 60 + (x+3)= x3 + 2×2 – 23x – 60 + (x+3) = x3 + 2×2 – 22x – 57
9
Moodustage äsja leitud lugejast ja nimetajast uus, lihtsustatud murd. Pärast murdarvu korrutamist (LCD)/(LCD) avaldisega ja lihtsustamist sarnaste terminite kombineerimisega peaks teile jääma lihtne murd, mis ei sisalda murdosa termineid. Nagu olete võib-olla märganud, korrutades LCD-ekraaniga algse kompleksmurru murdosa liikmed, tühistatakse nende murdude nimetajad, jättes teie vastuse lugejasse ja nimetajasse muutujad ja täisarvud, kuid mitte murdu. ülaltoodud lugeja ja nimetaja abil saame moodustada murru, mis on võrdne meie esialgse kompleksmurruga, kuid mis ei sisalda murdosa. Saadud lugeja oli x3 – 12×2 + 6x + 145 ja nimetaja oli x3 + 2×2 – 22x – 57, seega meie uus murd on (x3 – 12×2 + 6x + 145)/(x3 + 2×2 – 22x – 57)