Algebraliste avaldiste lihtsustamise õppimine on algebra põhiosaks valdamise põhiosa ja äärmiselt väärtuslik tööriist, mida matemaatikud saavad kasutada. Lihtsustamine võimaldab matemaatikul muuta keerulise, pika ja/või ebamugava väljendi lihtsamaks või mugavamaks, mis on samaväärne. Põhilisi lihtsustamisoskusi on üsna lihtne omandada – isegi matemaatikat põlgavatel. Järgides mõnda lihtsat sammu, on võimalik lihtsustada paljusid kõige levinumaid algebraavaldiste tüüpe ilma eriliste matemaatikateadmisteta. Alustamiseks vaadake 1. sammu allpool!
1
Defineerige “sarnased terminid” nende muutujate ja võimsuste järgi. Algebras on “sarnastel terminitel” sama muutujate konfiguratsioon, mis on tõstetud samadele astmetele. Teisisõnu, selleks, et kaks terminit oleks “nagu”, peavad neil olema samad muutujad või muutujad või üldse mitte ükski ja iga muutuja peab olema tõstetud sama astmeni või üldse mitte. Muutujate järjekord termini sees ei oma tähtsust. Näiteks 3×2 ja 4×2 on nagu terminid, kuna igaüks sisaldab muutujat x, mis on tõstetud teise astmeni. Kuid x ja x2 ei ole sarnased terminid, kuna iga liikme x on tõstetud erineva astmeni. Samamoodi ei ole -3yx ja 5xz terminid sarnased, kuna igal terminil on erinev muutujate komplekt.
2
Tegur, kirjutades numbrid kahe teguri korrutisena. Faktooring on kontseptsioon, mille kohaselt esitatakse antud arv kahe teguri korrutisena. Arvudel võib olla rohkem kui üks tegurite kogum – näiteks arvu 12 saab moodustada 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, seega võime öelda, et 1, 2, 3, 4, 6 , ja 12 on kõik 12 tegurid. Teine mõtteviis on see, et arvu tegurid on arvud, millega see on võrdselt jagatav. Näiteks kui tahame koefitsienti 20, võiksime selle kirjutada kui 4 × 5. Pange tähele, et muutujaid saab ka faktoristada – näiteks 20x saab kirjutada kui 4(5x). Algarve ei saa faktoristada, kuna need jaguvad võrdselt iseenda ja 1-ga.
3
Kasutage akronüümi PEMDAS, et meeles pidada toimingute järjekorda. Mõnikord ei tähenda avaldise lihtsustamine midagi muud kui avaldises olevate toimingute sooritamist seni, kuni enam teha ei saa. Sellistel juhtudel on oluline meeles pidada toimingute järjekorda, et ei tekiks aritmeetilisi vigu. Lühend PEMDAS võib aidata teil meeles pidada toimingute järjekorda – tähed vastavad toimingutüüpidele, mida peaksite tegema, järjekorras. Kui samas ülesandes on korrutamine ja jagamine, peate selle punkti jõudes need toimingud sooritama vasakult paremale. Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta. Ülaltoodud pilt annab vale vastuse. Viimases etapis vasakult paremale liitmine ja lahutamine ei toiminud. See tegi esmalt lisamise. See peaks näitama 25-20 = 5 ja seejärel 5 + 6 = 11. SuludExponentsMultiplication DivisionLisalahumine
4
Kirjutage oma võrrand. Lihtsamaid algebralisi võrrandeid, mis sisaldavad vaid mõnda muutuvat liiget täisarvu koefitsientidega ning ilma murdude, radikaalide jmsta, saab sageli lahendada vaid mõne sammuga. Nagu enamiku matemaatikaülesannete puhul, on võrrandi lihtsustamise esimene samm selle väljakirjutamine! Näidisülesandena vaatleme järgmiste sammude jaoks avaldist 1 + 2x – 3 + 4x.
5
Tuvastage sarnased terminid. Järgmisena otsige võrrandist sarnaseid termineid. Pidage meeles, et sarnastel terminitel on nii sama(d) muutuja(d) kui ka astendaja(d). Näiteks tuvastame sarnased terminid meie võrrandis 1 + 2x – 3 + 4x. Mõlemal 2x ja 4x on sama muutuja, mis on tõstetud samale astendajale (sel juhul ei tõsteta x-e üldse ühelegi eksponendile). Lisaks on 1 ja -3 sarnased terminid, kuna kummalgi pole muutujaid. Seega on meie võrrandis 2x ja 4x ning 1 ja -3 sarnased terminid.
6
Kombineeri sarnaseid termineid. Nüüd, kui olete sarnased terminid tuvastanud, saate neid võrrandi lihtsustamiseks kombineerida. Liitke terminid kokku (või lahutage negatiivsete terminite korral), et taandada iga samade muutujate ja astendajatega terminite komplekt üheks ainsuse liikmeks.Lisame sarnased terminid meie näites.2x + 4x = 6×1 + -3 = -2
7
Looge oma lihtsustatud terminitest lihtsustatud avaldis. Pärast sarnaste terminite kombineerimist koostage oma uuest väiksemast terminite hulgast avaldis. Peaksite saama lihtsama avaldise, millel on algse avaldise iga erineva muutujate ja eksponentide komplekti jaoks üks liige. See uus avaldis on võrdne esimesega. Meie näites on meie lihtsustatud terminid 6x ja -2, seega on meie uus avaldis 6x – 2. See lihtsustatud avaldis on võrdne originaaliga (1 + 2x – 3 + 4x), kuid on lühem ja lihtsam hallata. Seda on ka lihtsam arvesse võtta, mis, nagu allpool näeme, on veel üks oluline lihtsustamisoskus.
8
Sarnaste terminite kombineerimisel järgige tööjärjekorda. Ülimalt lihtsates väljendites, nagu ülaltoodud näiteprobleemides käsitletu, on sarnaste terminite tuvastamine lihtne. Kuid keerukamates väljendites, nagu need, mis sisaldavad termineid sulgudes, murdudes ja radikaalides, ei pruugi sarnased kombineeritavad terminid kohe märgata. Sellistel juhtudel järgige tehte järjekorda, tehes vastavalt vajadusele tehteid oma avaldises olevatele terminitele, kuni järele jäävad ainult liitmise ja lahutamise toimingud. Näiteks vaatleme võrrandit 5(3x-1) + x((2x)/(2 )) + 8 – 3x. Oleks vale identifitseerida 3x ja 2x kohe sarnaste terminitena ja neid kombineerida, sest avaldis olevad sulud nõuavad, et me peaksime esmalt tegema muud toimingud. Esmalt sooritame avaldises aritmeetilised toimingud vastavalt toimingute järjekorrale, et saada kasutatavad terminid. Vt allpool:5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 – 3x15x – 5 + x(x) + 8 – 3x15x – 5 + x2 + 8 – 3x. Kuna nüüd on jäänud ainult liitmine ja lahutamine, saame kombineerida sarnaseid termineid.x2 + (15x – 3x) + (8 – 5)x2 + 12x + 3
9
Tuvastage avaldise suurim ühine tegur. Faktooring on viis avaldiste lihtsustamiseks, eemaldades tegurid, mis on ühised kõigi avaldise terminite puhul. Alustuseks leidke suurim ühistegur, mida kõik avaldise terminid jagavad – teisisõnu suurim arv, millega kõik avaldise liikmed on võrdselt jagatavad. Kasutame võrrandit 9×2 + 27x – 3. Pange tähele, et iga selles võrrandis olev liige jagub 3-ga. Kuna kõik liikmed ei jagu võrdselt ühegi suurema arvuga, võime öelda, et 3 on meie avaldise suurim ühine tegur.
10
Jagage avaldises olevad terminid suurima ühisteguriga. Järgmiseks jagage võrrandis iga liige äsja leitud suurima ühisteguriga. Saadud liikmetel on väiksemad koefitsiendid kui algsel avaldisel. Korrigeerime võrrandit selle suurima ühisteguriga 3. Selleks jagame iga liikme 3,9×2/3 = 3x227x/3 = 9x-3/ 3 = -1 Seega on meie uus avaldis 3×2 + 9x – 1.
11
Esitage oma väljendit suurima ühisteguri ja ülejäänud terminite korrutisena. Teie uus väljend ei võrdu teie vanaga, seega pole täpne öelda, et see on lihtsustatud. Et meie uus avaldis oleks võrdne vanaga, peame arvestama asjaoluga, et see on jagatud suurima ühisteguriga. Lisage oma uus avaldis sulgudesse ja määrake sulgudes oleva avaldise koefitsiendiks algse võrrandi suurim ühistegur. Näidisavaldise 3×2 + 9x – 1 puhul paneme avaldise sulgudesse ja korrutame suurima ühisteguriga algsest võrrandist, et saada 3(3×2 + 9x – 1). See võrrand on võrdne originaaliga, 9×2 + 27x – 3.
12
Murdude lihtsustamiseks kasutage faktooringut. Võib-olla mõtlete nüüd, miks on faktooring kasulik, kui pärast suurima ühisteguri eemaldamist tuleb uus avaldis sellega uuesti korrutada. Tegelikult võimaldab faktooring matemaatikul avaldise lihtsustamiseks teha mitmesuguseid trikke. Üks lihtsamaid neist hõlmab ära asjaolu, et murdosa lugeja ja nimetaja korrutamine sama arvuga annab samaväärse murdosa. Vt allpool: Oletame, et meie algne näidisavaldis 9×2 + 27x – 3 on suurema murru lugeja, mille nimetajas on 3. See murdosa näeks välja selline: (9×2 + 27x – 3)/3. Selle murdosa lihtsustamiseks saame kasutada faktooringut. Asendame lugejas oleva avaldise algse avaldise faktoritatud vormiga: (3(3×2 + 9x – 1))/3Pange tähele, et nüüd jagavad nii lugeja kui ka nimetaja koefitsienti 3 Jagades lugeja ja nimetaja 3-ga, saame: (3×2 + 9x – 1)/1. Kuna iga murd, mille nimetajas on “1”, on võrdne lugejas olevate liikmetega, võime öelda, et meie algne murd on lihtsustatud 3×2 + 9x – 1-ni.
13
Lihtsustage murde, jagades need ühisteguritega. Nagu eespool märgitud, kui avaldise lugeja ja nimetaja jagavad tegureid, saab need tegurid murdosast täielikult eemaldada. Mõnikord nõuab see lugeja, nimetaja või mõlema faktoriseerimist (nagu ülaltoodud näiteprobleemi puhul), samal ajal kui muul ajal on jagatud tegurid kohe nähtavad. Pange tähele, et lihtsustatud avaldise saamiseks on võimalik lugejaliikmeid nimetaja avaldisega ükshaaval jagada. Vaatame näidet, mis ei nõua tingimata venitatud faktooringut. Murru (5×2 + 10x + 20)/10 puhul võib-olla tahame jagada iga liige lugejas nimetaja 10-ga, kuigi koefitsient “5” 5×2-s ei ole suurem kui 10 ja seega võib teguriks ei ole 10. Nii saame ((5×2)/10) + x + 2. Soovi korral võime esimese liikme ümber kirjutada kujul (1/2)x2, et saada (1/2) x2 + x + 2.
14
Kasutage radikaalide lihtsustamiseks ruuttegureid. Ruutjuuremärgi all olevaid avaldisi nimetatakse radikaalavaldisteks. Neid saab lihtsustada, tuvastades ruuttegurid (tegurid, mis ise on täisarvu ruudud) ja tehes nende jaoks ruutjuure toimingu eraldi, et eemaldada need ruutjuure märgi alt. Võtame lihtsa näite – √(90). Kui arvame, et arv 90 on selle kahe teguri, 9 ja 10, korrutis, saame võtta ruutjuure 9-st, et saada täisarv 3 ja eemaldada see radikaalist. Teisisõnu:√(90)√(9 × 10)(√(9) × √(10))3 × √(10)3√(10)
15
Kahe eksponentsiaalse liikme korrutamisel lisage eksponendid; jagamisel lahutada. Mõned algebraavaldised nõuavad eksponentsiaalsete liikmete korrutamist või jagamist. Iga eksponentsiaalse liikme arvutamise ja käsitsi korrutamise või jagamise asemel lihtsalt lisage korrutamisel eksponendid ja aja säästmiseks lahutage jagamisel. Seda kontseptsiooni saab kasutada ka muutujate avaldiste lihtsustamiseks. Vaatleme näiteks avaldist 6×3 × 8×4 + (x17/x15). Iga kord, kui on vaja astendajatega korrutada või jagada, lahutame või liidame vastavalt astendajad, et kiiresti leida lihtsustatud liige. Vaadake altpoolt:6×3 × 8×4 + (x17/x15)(6 × 8)x3 + 4 + (x17 – 15)48×7 + x2 Selle toimimise põhjuste selgitamiseks vaadake altpoolt: eksponentsiaalsete liikmete korrutamine on sisuliselt nagu pikkade stringide korrutamine mitteeksponentsiaalsetest terminitest. Näiteks kuna x3 = x × x × x ja x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × — x × x × x × x) või x8. Samamoodi on eksponentsiaalsete liikmete jagamine nagu pikkade mitteeksponentsiaalsete liikmete jagamine. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Kuna iga liiget lugejas saab tühistada nimetaja vastava liikmega, jääb lugejasse kaks x-i ja alla mitte ühtegi, mis annab meile vastuseks x2