Kompleksarvud saab kirjutada polaarsel kujul z=reiθ,{displaystyle z=re^{itheta },} kus r{displaystyle r} on kompleksarvu suurus ja θ{displaystyle theta } on argument või faas. De Moivre’i valemi laienduse tuletamine polaarkoordinaatides zn=rneinθ{displaystyle z^{n}=r^{n}e^{intheta }} muutub Euleri valemi abil väga lihtsaks, kuna eksponentsiaalid on palju lihtsamad töötamiseks kui trigonomeetriliste funktsioonidega. Saame seda laiendada ka kompleksarvu z juurte leidmisele.{displaystyle z.} Olgu ζ=z1/m{displaystyle zeta =z^{1/m}} z mth juur.{displaystyle z.} Siis näeme, et ζm=z{displaystyle zeta ^{m}=z} ja ζ=r1/meiθ/m.{displaystyle zeta = r^{1/m}e^{itheta /m}.}Selles artiklis töötame erijuhtumiga, kus ζm=1.{displaystyle zeta ^{m}=1.} teisisõnu, me leiame numbreid, mis võrdub 1-ga, kui neid tõsta astmeni m. Neid nimetatakse ühtsuse juurteks.
1
Leidke ühtsuse kolmas juur. Ühtsuse juurte leidmine tähendab seda, et me leiame kõik arvud komplekstasandil nii, et kolmandale astmele tõstmisel saadakse 1. Kui arvestame võrrandit x3−1=0, siis {displaystyle x^{3}-1=0 ,} teame, et üks nullidest on 1. Kuid algebra põhiteoreemist teame, et igal polünoomil astmega n{displaystyle n} on n{displaystyle n} kompleksjuurt. Kuna tegemist on kuupvõrrandiga, on seal kolm juurt ja kaks neist asuvad komplekstasandil. Nende kahe järelejäänud juure leidmisel ei saa me enam piirduda ainult reaalarvudega.z3=1{displaystyle z^{3}=1}
2
Seostage z{displaystyle z} selle juurtega. Teame, et kompleksarvu saab kirjutada kujul z=reiθ.{displaystyle z=re^{itheta }.} Kuid tuletage polaarkoordinaatide põhjal meelde, et polaarsusega kirjutatud arvud vorm ei ole üheselt määratletud. Kui lisate arvu 2Ï€{displaystyle 2pi } mis tahes kordse, saate samuti sama arvu. Allpool tähendavad sümbolid k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} }, et k{displaystyle k} on suvaline täisarv.z=rei(θ+2Ï€k),  k∈Z{displaystyle z=re ^{i(theta +2pi k)}, kin mathbb {Z} }Tõstke z{displaystyle z} ühe kolmandiku astmeni. Kuna me tahame vältida funktsiooni muutmist mitmeväärtuslikuks, peame piirama argumendi domeeni väärtusega θ:[0,2Ï€).{displaystyle theta :[0,2pi ).} Seetõttu k=0, 1,2.{displaystyle k=0,1,2.} Üldiselt leitakse m-ndad juured, asendades k=0,1,⋯,m−1.{displaystyle k=0,1, cdots ,m-1.}z1/3=r1/3ei(θ+2Ï€k3){displaystyle z^{1/3}=r^{1/3}e^{ileft({frac {theta +2pi k}{3}}right)}}
3
Asendage r{displaystyle r} ja θ{displaystyle theta } sobivad väärtused. Kuna leiame ühtsuse juured, siis r=1{displaystyle r=1} ja θ=0.{displaystyle theta =0.} Teisisõnu, kõik juured asuvad ühikuringil.11/3 =ei2Ï€k/3=cosâ¡2Ï€k3+isinâ¡¡2Ï€k3, k=0,1,2{displaystyle 1^{1/3}=e^{i2pi k/3} =cos {frac {2pi k}{3}}+isin {frac {2pi k}{3}}, k=0,1,2}
4
Hinda. Kui juured on joonistatud komplekstasandile, moodustavad nad võrdkülgse kolmnurga, kus üks tippudest on punktis z=1.{displaystyle z=1.} Lisaks tulevad kompleksjuured konjugeeritud paaridena.11/3 =1,−12+32i,−12−32i{displaystyle 1^{1/3}=1,-{frac {1}{2}}+{frac {sqrt {3}}{ 2}}i,-{frac {1}{2}}-{frac {sqrt {3}}{2}}i}
5
Kujutage ette ühtsuse juuri. Ülaltoodud graafik on funktsiooni z3−1.{displaystyle z^{3}-1.} Heledus algab mustast ja muutub helitugevuse suurenedes heledamaks. Toon algab punasest ja läheb üle värviratta, mis vastab nurgale vahemikus 0{displaystyle 0} kuni 2Ï€.{displaystyle 2pi .} (täpsemalt iga Ï€/3,{displaystyle pi /3,} värv muutub punasest, kollasest, rohelisest, tsüaanist, sinisest, magentast uuesti punaseks.)Tõlgendamise lähtepunktina näeme, et reaalteljel kaardistab funktsioon lähtekoha väärtusega -1 . Seda tähistatakse graafikul tsüaaniga, nagu eiÏ€=−1,{displaystyle e^{ipi }=-1,} ja vasakule suurenev heledus tähendab, et funktsioon muutub järjest väiksemaks. Vahepeal on tegelik telg x>1,{displaystyle x>1,} puhul punane ja muutub samuti heledamaks. Näeme selgelt nulle kolme musta punktina, mis moodustavad võrdkülgse kolmnurga.
6
Leidke ühtsuse viies juur. Nagu ka kolmandate juurte puhul, teame, et võrrandil x5−1=0{displaystyle x^{5}-1=0} on reaalides üks juur, 1. Algebra põhiteoreemi kohaselt on veel neli juurt ja need juured peavad olema keerulised.
7
Seostage z{displaystyle z} selle juurtega.z1/5=r1/5ei(θ+2πk5){displaystyle z^{1/5}=r^{1/5}e^{ileft ({frac {theta +2pi k}{5}}right)}}
8
Asendage r{displaystyle r} ja θ{displaystyle theta } sobivad väärtused ning hinnake. Hea on jätta vastused polaarsel kujul. Nagu ülalt näha, moodustavad funktsiooni z5−1{displaystyle z^{5}-1} nullid korrapärase viisnurga ja kompleksjuured konjugeeritud paare, täpselt nagu ühtsuse kolmandate juurte puhul.11/5 =ei2Ï€k/5, k=0,1,2,3,4=1,ei2Ï€/5,ei4Ï€/5,ei6Ï€/5,ei8Ï€/5{displaystyle {begin{align} 1^{1/5}&=e^{i2pi k/5}, k=0,1,2,3,4\&=1,e^{i2pi /5},e^ {i4pi /5},e^{i6pi /5},e^{i8pi /5}end{joondatud}}}