On mitmeid matemaatilisi funktsioone, mis kasutavad tippe. Polüeedritel on tipud, võrratussüsteemidel võib olla üks tipp või mitu tippu ning paraboolidel või ruutvõrranditel võib olla ka tipp. Tipu leidmine erineb olenevalt olukorrast, kuid siin on, mida pead teadma iga stsenaariumi tippude leidmise kohta.
1
Õppige Euleri valemit. Euleri valem, nagu seda kasutatakse geomeetria ja graafikute puhul, väidab, et iga hulktahuka puhul, mis ei ristu ennast, on tahkude arv pluss tippude arv, millest on maha arvatud servade arv, alati võrdne kahega. võrrand, valem näeb välja selline: F + V – E = 2F viitab tahkude arvuleV viitab tippude arvule või nurgapunktidE viitab servade arvule
2
Tippude arvu leidmiseks korraldage valem ümber. Kui tead, mitu tahku ja servi polühedril on, saad Euleri valemi abil kiiresti tippude arvu kokku lugeda. Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt F ja lisage mõlemale poolele E, eraldades V ühelt poolt. V = 2 – F + E
3
Ühendage numbrid ja lahendage. Kõik, mida peate sel hetkel tegema, on ühendada külgede ja servade arv võrrandisse enne lisamist ja lahutamist nagu tavaliselt. Saadud vastus peaks ütlema teile tippude arvu ja lõpetama ülesande.Näide: polühedri jaoks, millel on 6 tahku ja 12 serva…V = 2 – F + EV = 2 – 6 + 12V = -4 + 12V = 8
4
Joonistage lineaarsete võrratuste süsteemi lahendused. Mõnel juhul võib süsteemi kõigi ebavõrdsuste lahenduste graafik visuaalselt näidata, kus asuvad mõned, kui mitte kõik, tipud. Kui aga seda ei juhtu, peate tipu leidma algebraliselt. Kui kasutate ebavõrdsete graafikute koostamiseks graafikakalkulaatorit, saate tavaliselt kerida tippudele ja leida nii koordinaadid.
5
Muutke võrratused võrranditeks. Võrratussüsteemi lahendamiseks peate võrratused ajutiselt muutma võrranditeks, mis võimaldab teil leida x-i ja y-i väärtusi.Näide: Võrratussüsteemi jaoks:y < xy > -x + 4Muutke ebavõrdsused:y = xy = -x + 4
6
Asendage üks muutuja teisega. Kuigi x-i ja y-i lahendamiseks on paar erinevat viisi, on asendamist sageli kõige lihtsam kasutada. Ühendage y väärtus ühest võrrandist teise võrrandisse, “asendades” y teises võrrandis täiendavate x väärtustega.Näide: Kui:y = xy = -x + 4Siis y = -x + 4 saab kirjutada järgmiselt: x = -x + 4
7
Lahendage esimene muutuja. Nüüd, kui teil on võrrandis ainult üks muutuja, saate selle muutuja x jaoks hõlpsasti lahendada, nagu iga teise võrrandi puhul: liites, lahutades, jagades ja korrutades.Näide: x = -x + 4x + x = -x + x + 42x = 42x / 2 = 4 / 2x = 2
8
Lahenda ülejäänud muutuja jaoks. Ühendage x-i uus väärtus ühte algsesse võrrandisse, et leida y väärtus.Näide: y = xy = 2
9
Määrake tipp. Tipp on lihtsalt koordinaat, mis koosneb teie uutest x ja y väärtustest.Näide: (2, 2)
10
Võrrandi kordamine. Kirjutage ruutvõrrand ümber selle faktoristatud kujul. Ruutvõrrandi arvutamiseks on mitu võimalust, kuid kui see on tehtud, peaksite jätma alles kaks sulgude komplekti, mis korrutatuna võrdub teie algse võrrandiga.Näide: (kasutades lagunemist)3×2 – 6x – 45Kogurdage ühistegur : 3 (x2 – 2x – 15) Korrutage a- ja c-liikmed: 1 * -15 = -15Leidke kaks arvu, mille korrutis on -15 ja summa, mis võrdub b väärtusega, -2: 3 * -5 = – 15; 3 – 5 = -2Asendage kaks väärtust võrrandis ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x – 5x – 15)Korrutage polünoom rühmitades: f(x) = 3 * (x + 3) * ( x – 5)
11
Leidke punkt, kus võrrand ristub x-teljega. Kui funktsioon x, f(x), võrdub 0-ga, ristub parabool x-teljega. See juhtub siis, kui kumbki tegurite kogum võrdub 0-ga.Näide: 3 * (x + 3) * (x – 5) = 0… +3 = 0… – 5 = 0… = -3. Ñ… = 5Seetõttu on juured: (-3, 0) ja (5, 0)
12
Arvutage keskpunkt. Võrrandi sümmeetriatelg asub otse võrrandi kahe juure vahel. Peate teadma sümmeetriatelge, kuna sellel asub tipp.Näide: x = 1; see väärtus jääb vahetult -3 ja 5 vahele
13
Ühendage x väärtus algsesse võrrandisse. Ühendage oma sümmeetriatelje x väärtus oma parabooli kummassegi võrrandisse. Y väärtus on teie tipu y väärtus. Näide: y = 3×2 – 6x – 45 = 3 (1) 2 – 6 (1) – 45 = -48
14
Kirjutage tipupunkt üles. Siinkohal peaksid teie viimased arvutatud x ja y väärtused andma teile teie tipu koordinaadid.Näide: (1, -48)
15
Kirjutage algne võrrand ümber selle tipu kujul. Võrrandi “tipu” vorm kirjutatakse järgmiselt: y = a(x – h)^2 + k ja tipu punkt on (h, k). Teie praegune ruutvõrrand tuleb sellele vormile ümber kirjutada ja selleks peate ruudu täitma.Näide: y = -x^2 – 8x – 15
16
Eraldage a väärtus. Arvutage esimese liikme koefitsient a võrrandi kahest esimesest liikmest. Jätke viimane termin c praegu rahule.Näide: -1 (x^2 + 8x) – 15
17
Leidke sulgude jaoks kolmas termin. Kolmas liige peab lõpetama sulgudes oleva hulga nii, et sulgudes olevad väärtused moodustaksid täiusliku ruudu. See uus liige on keskmise liikme koefitsiendi poole ruuduväärtus.Näide: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; seetõttu -1(x^2 + 8x + 16)Pidage meeles ka seda, et see, mida teete sisemusse, tuleb teha ka väljapoole:y = -1(x^2 + 8x + 16) – 15 + 16
18
Lihtsusta võrrandit. Kuna teie sulud moodustavad nüüd täiusliku ruudu, saate sulgudes oleva osa lihtsustada faktoripõhiseks vormiks. Samal ajal saate teha mis tahes liitmist või lahutamist, mis on vajalik sulgudest väljaspool olevatele väärtustele.Näide: y = -1(x + 4)^2 + 1
19
Selgitage välja, millised koordinaadid põhinevad tipuvõrrandil. Tuletame meelde, et võrrandi tipuvorm on y = a(x – h)^2 + k, kusjuures (h, k) tähistab tipu koordinaate. Nüüd on teil piisavalt teavet, et ühendada väärtused h- ja k-pesadesse ning täita ülesanne.k = 1h = -4Seetõttu võib selle võrrandi tipu leida: (-4, 1)
20
Otsi tipu x-koordinaadi leidmine. Kui teie parabooli võrrandi saab kirjutada kujul y = ax^2 + bx + c, saab tipu x leida valemiga x = -b / 2a. Lihtsalt ühendage oma võrrandi a ja b väärtused sellesse valemisse, et leida x.Näide: y = -x^2 – 8x – 15x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4x = -4
21
Ühendage see väärtus algsesse võrrandisse. Kui ühendate võrrandisse x väärtuse, saate y jaoks lahendada. See y väärtus on teie tipu y-koordinaat.Näide: y = -x^2 – 8x – 15 = -(-4)^2 – 8(-4) – 15 = -(16) – (-32) – 15 = -16 + 32 – 15 = 1 a = 1
22
Kirjutage üles oma tipu koordinaadid. Teie käsutuses olevad x- ja y-väärtused on teie tipupunkti koordinaadid.Näide: (-4, 1)