Arvutuses on käändepunkt kõvera punkt, kus kalle muudab märki. Seda kasutatakse mitmesugustes teadusharudes, sealhulgas inseneriteaduses, majanduses ja statistikas, et määrata kindlaks andmete põhilised nihked. Kui mäletate, mis on nõgusus ja kuidas see käänet mõjutab, saate mõne lihtsa võrrandi abil leida kõvera käändepunktid.
1
Eristage nõgusat üles ja allapoole. Käändepunktide mõistmiseks peate neil kahel vahet tegema. Neid on nende nimede põhjal lihtne eristada. Nõgusa allapoole funktsioon on funktsioon, mille puhul ükski joonelõik, mis ühendab graafiku kahte punkti, ei lähe kunagi graafikust kõrgemale. Intuitiivselt on graafik mäekujuline. Nõgus üles funktsioon seevastu on funktsioon, kus ükski graafiku kahte punkti ühendav sirglõik ei jää kunagi graafikust allapoole. See on U-kujuline. Ülaltoodud graafikul on punane kõver ülespoole nõgus, roheline aga allapoole nõgus. Funktsioonidel on üldiselt nii üles- kui ka nõgusad intervallid. Käändepunktid eksisteerivad siis, kui funktsioon muudab nõgusust.
2
Tuvastage funktsiooni juured. Funktsiooni juur on punkt, kus funktsioon võrdub nulliga. Ülaltoodud graafikul näeme, et rohelise parabooli juured on x=−1{displaystyle x=-1} ja x=3.{displaystyle x=3.} Need on punktid, kus funktsioon lõikub x-teljega.Funktsioonil võib olla ka rohkem kui 1 juur.
3
Leia kääne, kus funktsioon muudab nõgusust. Kas mäletate, kuidas on erinevus üles- ja allapoole nõgusatel? Piirkonda, kus nõgusad lülituvad, nimetatakse pöördepunktiks, mida proovite leida. Seda punkti on graafikul lihtne näha.
4
Eristada. Enne käändepunkti leidmist peate leidma oma funktsiooni tuletised. Põhifunktsioonide tuletised on leitavad suvalisest arvutustekstist; enne keerulisemate ülesannete juurde asumist peate need selgeks õppima. Esimesed tuletised on tähistatud kui f′(x){displaystyle f^{prime }(x)} või dfdx.{displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}} .}Ütleme, et peate leidma alloleva funktsiooni käändepunkti.f(x)=x3+2x−1{displaystyle f(x)=x^{3}+2x-1}Kasutage võimsusreeglit.f†²(x)=3×3−1+2×1−1=3×2+2{displaystyle {begin{aligned}f^{prime }(x)&=3x^{3-1}+2x^{1-1 }\&=3x^{2}+2end{joondatud}}}
5
Tee uuesti vahet. Teine tuletis on tuletise tuletis ja seda tähistatakse kui f′′(x){displaystyle f^{prime prime }(x)} või d2fdx2.{displaystyle {frac {mathrm { d} ^{2}f}{mathrm {d} x^{2}}}.}f′′(x)=(2)(3)x2−1=6x{displaystyle {begin{ joondatud}f^{prime prime }(x)&=(2)(3)x^{2-1}\&=6xend{joondatud}}}
6
Seadke teine tuletis 0-ks ja lahendage saadud võrrand. Teie vastus on võimalik käändepunkt. 6x=0x=0{displaystyle {begin{aligned}6x&=0\x&=0end{aligned}}}
7
Kontrollige, kas teine tuletis muudab märki kandidaatpunktis. Kui teise tuletise märk muutub kandidaadi käändepunkti läbimisel, siis on olemas käändepunkt. Kui märk ei muutu, siis pöördepunkti ei ole. Pidage meeles, et otsite märgimuutusi, mitte ei hinda väärtust. Keerulisemates väljendites võib asendamine olla ebasoovitav, kuid tähelepanelik tähelepanu märkidele annab vastuse sageli palju kiiremini. Näiteks selle asemel, et numbreid kohe hinnata, võiksime vaadata teatud termineid ja hinnata need positiivseteks või negatiivseteks. Meie näites f′′(x)=6x.{displaystyle f^{prime prime }(x)=6x.} Seejärel annab negatiivse x{displaystyle x} ühendamine negatiivse f′′(x), {displaystyle f^{prime prime }(x),} ja ühendab positiivse x{displaystyle x} annab positiivse f′′(x).{displaystyle f^{prime prime }(x).} Seetõttu on x=0{displaystyle x=0} käändepunkt funktsiooni f(x)=x3+2x−1.{displaystyle f(x)=x^{3}+2x-1.} Meie valitud väärtuste jaoks polnud vaja tegelikult hinnata.
8
Asendage see tagasi algse funktsiooniga.f(0)=(0)3+2(0)−1=−1.{displaystyle f(0)=(0)^{3}+2(0) -1=-1.}
9
Hinnake funktsiooni käändepunkti leidmiseks. Käändepunkti koordinaat on tähistatud kui (x,f(x)).{displaystyle (x,f(x)).} Sel juhul (0,−1),{displaystyle (0,- 1),} nagu ülal näidatud. Seetõttu on need arvud pöördepunktiks.
10
Kontrollige kandidaate. Sageli, kui x=0,{displaystyle x=0,} on lihtne eeldada, et käändepunkte pole. Kui aga x=0,{displaystyle x=0,} on siiski käändepunkt. Pidage meeles, et 0 saab joonistada, nii et kui saate vastuseks 0, tähendab see, et on olemas 1 käändepunkt. Näiteks kui saate vastuse, kus x=0,{displaystyle x=0,}, testiksite alamintervalle graafiku abil (−lõpmatus,0){displaystyle (-lõpmatus,0)} ja (0,lõpmatus){displaystyle (0,lõpmatus)}. Seetõttu on pöördepunkt 0-s.
11
Kaasake punktid, kus tuletis on määratlemata. Käändepunkti lahendamisel tuleb otsida juhtumeid, mil teine tuletis on 0 ja teine tuletis on määramata. Kui otsite ainult neid, kus teine tuletis on 0, on tõenäoline, et saate vale vastuse. Näiteks kui teile anti ülesanne leida, kas h(x)=x2+4x{displaystyle h (x)=x^{2}+4x}-l on käändepunkt, võiks kaaluda h′′{displaystyle h^{prime prime }}, MITTE h′{displaystyle h^{ esmane }}. Selle põhjuseks on asjaolu, et h′′{displaystyle h^{prime prime }} on teine tuletis, samas kui h′{displaystyle h^{prime }} on suhteline miinimumpunkt (mida te ei ole otsin siit).
12
Analüüsige teist tuletist, mitte esimest. Käändepunktide leidmisel peaksite alati kaaluma teist tuletist. Kui kaalute esimest, annab teie vastus teile selle asemel äärmuspunktid. Näiteks kui teie võimalikud käändepunktid on x=−1{displaystyle x=-1} ja x=7, {displaystyle x=7, } testiksite x väärtusi punktides (−lõpmatus,−1),(−1,7),{displaystyle (-lõpmatus,-1),(-1,7),} ja (7,lõpmatus) ).{displaystyle (7,lõpmatus).} See näitab, et teie teisel tuletisel on käändepunktid nii x=−1{displaystyle x=-1} KUI ka x=7.{displaystyle x=7. }
13
Minge jaotisse “Plots”. Enamiku teaduslike kalkulaatorite puhul tuleb vajutada teemandile või teisele nupule ja seejärel klõpsata F1. See peaks viima teid Y-graafikutele, kuhu saate sisestada kuni 7 väärtust. See kehtib nii TI-84 kui TI-89, kuid see ei pruugi vanematel mudelitel olla täpselt sama.
14
Sisestage funktsioon sisse y1. Tühjendage kõik ülejäänud funktsioonid, mis teil y-diagrammidel olid, ja seejärel sisestage funktsioon pärast võrdusmärki oma kalkulaatorisse. Ärge unustage jätta funktsiooniga seotud sulud alles, et teie vastus oleks õige. Näiteks võib funktsioon olla y1=x3−9/2×2−12x+3{displaystyle y1=x^{3}-9/2x^{2 }-12x+3}
15
Klõpsake “graafikul”. Enamiku kalkulaatorite puhul on see “teemant” või “sekund” ja seejärel F3. Kui peate kalkulaatori akent kohandama, vajutage “teemant” või “teine”. seejärel F2, seejärel valige “standardne suum”. Ärge muretsege, kui teie ekraan ei näita veel kogu graafikut, saate seda kohandada.
16
Reguleerige akent, kuni näete kogu graafikut. Graafikaakna avamisel ei pruugi te näha kogu graafiku kõverat. Kui see nii on, klõpsake nuppu “teemant” või “teine” ja avage suumimiseks uuesti F2. Saate oma minimaalset ja maksimaalset telge suurendada ja vähendada, et välja selgitada, kuhu teie graafik aknas mahub. Peate võib-olla paar korda tagasi minema ja seda kohandama, kuna võib olla raske aru saada, kus teie graafik täpselt asub.
17
Klõpsake “Matemaatika”, seejärel “Kääne”. Vajutage nuppu “teemant” või “teine”, seejärel valige F5, et avada “Matemaatika”. Valige rippmenüüst suvand, mis ütleb ” Kääne. Arvasite ära, kuidas öelda oma kalkulaatorile käändepunktide arvutamine.
18
Asetage kursor käände alumisele ja ülemisele piirile. Kalkulaator annab teile teate “Madalamaks?” Liigutage kalkulaatori nooli, kuni kursor on käändepunktist vasakul (peate teadma, kus see graafikul asub). kalkulaator küsib “Ülemine?” Liigutage kursorit nii, et see oleks pöördepunktist paremal, seejärel vajutage “Enter”. Nii saate oma kalkulaatoril arvata, kus pöördepunkt asub Nüüd on teil vastus!