Ühe muutujaga arvutuses on funktsiooni äärmuste leidmine üsna lihtne. Kriitiliste punktide leidmiseks määrate tuletise väärtuseks 0 ja kasutate teist tuletise testi, et otsustada, kas need punktid on maksimumid või miinimumid. Kui töötame suletud domeenidega, peame kontrollima ka võimalike globaalsete maksimumide ja miinimumide piire. Kuna mitme muutujaga arvutuses on tegemist rohkem kui ühe muutujaga, peame leidma viisi selle idee üldistamiseks.
1
Mõelge allolevale funktsioonile. f{displaystyle f} on kahe muutuja x{displaystyle x} ja y kahekordselt diferentseeruv funktsioon.{displaystyle y.} Selles artiklis soovime leida f{displaystyle f} maksimaalse ja minimaalse väärtuse. domeenil |x|≤1, |y|≤2.{displaystyle |x|leq 1, |y|leq 2.} See on ristkülikukujuline domeen, mille piirid hõlmavad domeen.f(x,y)=x3+x2y−2y3+6y{displaystyle f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-2y^{3}+6y}
2
Arvutage f{displaystyle f} gradient ja määrake iga komponendi väärtuseks 0. Tuletage meelde, et kahes mõõtmes on gradient ∇f=(∂f∂x,∂f∂y).{displaystyle nabla f= left({frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}}right).}∂f∂x=3×2+2xy=0{ displaystyle {frac {partial f}{partial x}}=3x^{2}+2xy=0}∂f∂y=x2−6y2+6=0{displaystyle {frac {partial f} {partial y}}=x^{2}-6y^{2}+6=0}
3
Kriitiliste punktide saamiseks lahendage x{displaystyle x} ja y{displaystyle y}. Üldiselt peame selleks töötama mõlema gradiendi komponendiga. Alustame x väärtuste leidmiseks esimesest komponendist.{displaystyle x.} Saame kohe välja arvutada x,{displaystyle x,}, mis annab meile x=0.{displaystyle x=0.} Sulgudes olev kogus võib olla ka 0, kuid see saab ainult x{displaystyle x} kui y.{displaystyle y.}3×2+2xy=0x( 3x+2y)=0x=0{displaystyle {begin{aligned}3x^{2}+2xy&=0\x(3x+2y)&=0\x&=0end{aligned}}}3x +2y=0x=−23y{displaystyle {begin{aligned}3&x+2y=0\&x=-{frac {2}{3}}yend{aligned}}}Järgmisena liigume teine komponent, et leida kahele x väärtusele vastavad y{displaystyle y} väärtused.{displaystyle x.}x=0:{displaystyle x=0:}6=6y2y=±1{displaystyle { begin{aligned}6&=6y^{2}\y&=pm 1end{aligned}}}x=−23y:{displaystyle x=-{frac {2}{3}}y: }49y2−6y2+6=0(6−49)y2=6y2=2725y=±335{displaystyle {begin{aligned}{frac {4}{9}}y^{2}-6y^{ 2}+6&=0\left(6-{frac {4}{9}}right)y^{2}&=6\y^{2}&={frac {27}{ 25}}\y&=p m {frac {3{sqrt {3}}}{5}}end{aligned}}}Leidsime y jaoks kõik võimalikud väärtused.{displaystyle y.} Asendame y{displaystyle y} ainult väärtusega väärtused, mille saime kasutades seost x=−23y,{displaystyle x=-{frac {2}{3}}y,} saame x=∓235{displaystyle x=mp {frac {2{sqrt {3}}}{5}}} (pange tähele märke). Seetõttu on neli kriitilist punkti (0,±1), (∓235,±335).{displaystyle (0,pm 1), left(mp {frac {2{sqrt {3}}}{5}},pm {frac {3{sqrt {3}}}{5} }right).} Need on siiski ainult ekstreemsuse kandidaadid.
4
Kriitiliste punktide omaduste määramiseks kasutage Hesse maatriksit. See maatriks on teise tuletise ruutmaatriks. Kahes mõõtmes on maatriks järgmine.H=(∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂y∂x∂2f∂y∂2f∂y2 partial ^{2}f}{partial x^{2}}}&{dfrac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}\{dfrac {partial ^{ 2}f}{partial ypartial x}}&{dfrac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}end{pmatrix}}}
5
Arvutage f{displaystyle f} teised osatuletised ja asendage tulemused väärtusega H{displaystyle H}. Pange tähele, et Clairaut’ teoreem garanteerib segaosade pendeldamise (pidevate funktsioonide korral), seega on kahes dimensioonis Hessi diagonaalivälised elemendid samad. Vaadake nõuandeid veel ühe põhjuse kohta, miks see tõsi peab olema.∂2f∂x2=6x+2y{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}=6x+2y }∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x=2x{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}={frac {partial ^ {2}f}{partial ypartial x}}=2x}∂2f∂y2=−12y{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}} }=-12y}H=(6x+2y2x2x−12y){displaystyle H={begin{pmatrix}6x+2y&2x\2x&-12yend{pmatrix}}}
6
Kontrollige H{displaystyle H} determinanti. Kui detH>0{displaystyle det H>0}, siis on punkt kas maksimum või miinimum. Intuitiivsest vaatenurgast on mõlema komponendi teisel osatuletisel sama märk. Teisest küljest, kui detH<0{displaystyle det H<0}, siis on punkt sadul. Komponentide teisel osatuletisel on vastandmärgid, seega ei ole punkt ekstreemum. Lõpuks, kui detH=0{displaystyle det H=0} (määramatu), siis on teine tuletistest ebaselge ja punkt võib olla ükskõik milline kolmest. Vaadake näpunäiteid selle kohta, miks see nii on. Asendame (0,±1){displaystyle (0,pm 1)} kriitilised punktid. Kuna meid huvitab ainult determinandi märk, mitte elementide endi väärtused, on selgelt näha, et mõlemad punktid annavad negatiivse determinandi. See tähendab, et (0,±1){displaystyle (0,pm 1)} on mõlemad sadulapunktid. Me ei pea nende kahe punkti jaoks kaugemale minema.|±200∓12|<0{displaystyle {begin{vmatrix}pm 2&0\0&mp 12end{vmatrix}}<0}Nüüd teeme kontrollige (∓235,±335){displaystyle left(mp {frac {2{sqrt {3}}}{5}},pm {frac {3{sqrt {3} }}{5}}right)} punkti.|âˆ'635âˆ'435âˆ'435âˆ'3635|=35(216âˆ'16)>0{displaystyle {begin{aligned}{begin{vmatrix}-{ frac {6{sqrt {3}}}{5}}&-{sqrt {4{sqrt {3}}}{5}}\-{frac {4{sqrt {3}}} {5}}&-{frac {36{sqrt {3}}}{5}}end{vmatrix}}&={frac {sqrt {3}}{5}}(216-16) \&>0end{aligned}}}|6354354353635|=35(216−16)>0{displaystyle {begin{aligned}{begin{vmatrix}{frac {6{sqrt {3} }}{5}}&{frac {4{sqrt {3}}}{5}}\{frac {4{sqrt {3}}}{5}}&{frac {36{ sqrt {3}}}{5}}end{vmatrix}}&={frac {sqrt {3}}{5}}(216-16)\&>0end{joondatud}}} Mõlemal punktil on positiivsed hesselased.
7
Kontrollige H{displaystyle H} jälge. Ekstreemsete kandidaatide puhul peame ikkagi välja selgitama, kas punktid on maksimumid või miinimumid. Sel juhul kontrollime jälge – H{displaystyle H} diagonaalelementide summat. Kui trâ¡H>0,{displaystyle operaatorinimi {tr} H>0,}, on punkt kohalik miinimum. Kui trâ¡H<0,{displaystyle operaatorinimi {tr} H<0,}, siis on punkt kohalik maksimum. Ülalt on selgelt näha, et trâ¡H(âˆ'235,335)<0,{ displaystyle operaatorinimi {tr} Hleft(-{frac {2{sqrt {3}}}{5}},{frac {3{sqrt {3}}}{5}}right) <0,} ja seetõttu (âˆ'235,335){displaystyle left(-{frac {2{sqrt {3}}}{5}},{frac {3{sqrt {3}}} {5}}right)} on kohalik maksimum. Samamoodi trâ¡H(235,âˆ'335)>0,{displaystyle operaatorinimi {tr} Hleft({frac {2{sqrt { 3}}}{5}},-{frac {3{sqrt {3}}}{5}}right)>0,} nii (235,−335){displaystyle left({ frac {2{sqrt {3}}}{5}},-{frac {3{sqrt {3}}}{5}}right)} on kohalik miinimum.
8
Kontrollige piire, kui leiate äärmusi suletud domeenist. Avatud domeenide puhul pole see samm vajalik. Kuna aga meie domeen on suletud, võib piiridel esineda äärmusi. Kuigi sellest saab ühe muutujaga äärmustest, on see isegi kõige lihtsamat tüüpi domeenide – ristkülikukujulise domeeni – jaoks tüütu ja keerulisemate domeenide puhul võib see muutuda üsna keeruliseks. Põhjus on selles, et peame võtma neli tuletist, mis vastavad ristküliku mõlemale küljele, määrama need kõik 0-ks ja lahendama muutujad. Kontrollime kõigepealt ristküliku paremat külge, mis vastab väärtusele (1,y).{ displaystyle (1,y).}f(1,y)=−2y3+7y+1dfdy=−6y2+7=0{displaystyle {begin{aligned}f(1,y)&=-2y^ {3}+7a+1\{frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} y}}&=-6a^{2}+7=0end{joonitud}}}y= ±76{displaystyle y=pm {sqrt {frac {7}{6}}}}Kriitilised punktid on seega (1,±76).{displaystyle left(1,pm { sqrt {frac {7}{6}}}right).} Tehes ühe muutuja teise tuletise teste mõlemas punktis, leiame, et (1,76){displaystyle left(1,{sqrt { frac {7}{6}}}right)} on kohalik maksimum ja (1,−76){displaystyle left(1,-{sqrt {frac {7}{6}}} right)} on kohalik miinimum. Ülejäänud kolm külge on tehtud samal viisil. Seda tehes tasandame allpool olevad kriitilised punktid. Pange tähele, et peate loobuma kõigist väljaspool domeeni leitud punktidest.(0,2),{displaystyle (0,2),} kohalik miinimum(−1,76),{displaystyle left(-1,{sqrt {frac {7}{6}}}right),} kohalik maksimum(−1,−76),{displaystyle left(-1,-{sqrt {frac {7}{6} }}right),} kohalik miinimum(0,−2),{displaystyle (0,-2),} kohalik maksimum
9
Kontrollige nurki, kui leiate suletud domeenist globaalse äärmuse. Arvestada tuleb ka ristkülikukujulise piiri nelja nurgaga, nagu ka domeeni kahe otspunktiga ühe muutujaga arvutuses. Kõik domeeni sees ja domeeni piiril olevad äärmused, millele on lisatud neli nurka, peavad olema ühendatud funktsiooniga, et määrata globaalne äärmus. Allpool loetleme globaalse maksimumi ja miinimumi asukohad. Nende väärtused on vastavalt f≈±6,041, {displaystyle fapprox pm 6,041}. Pange tähele, et kumbki neist globaalsetest äärmustest ei asunud domeeni sees, vaid piiridel, mis näitab suletud ja avatud domeenide tuvastamise tähtsust. Globaalne maksimum: (1,76){displaystyle left(1,{sqrt { frac {7}{6}}}right)}Üldine miinimum: (−1,−76){displaystyle left(-1,-{sqrt {frac {7}{6}}} right)}Ülal on visualiseeritud funktsioon, millega me töötasime. Näeme selgelt punasega tähistatud sadulapunktide ja globaalsete äärmuste asukohti, samuti kriitilisi punkte domeeni sees ja piiridel.