Maatriksi A{displaystyle A} nullruum on vektorite kogum, mis rahuldab homogeenset võrrandit Ax=0.{displaystyle Amathbf {x} =0.} Erinevalt veeruruumist Colâ¡A,{ displaystyle operaatorinimi {Col} A,} ei ole kohe selge, milline on seos A{displaystyle A} ja Nulâ¡A veergude vahel.{displaystyle operaatorinimi {Nul} A.}Igal maatriksil on triviaalne nullruum – nullvektor. See artikkel näitab, kuidas leida mittetriviaalseid tühikuid.
1
Vaatleme maatriksit A{displaystyle A}, mille mõõtmed on m×n{displaystyle mtimes n}. Allpool on teie maatriks 3–5.{displaystyle 3times 5.}A=(−36−11−71−223−12−458−4){displaystyle A={begin{pmatrix}-3&6& -1&1&-7\1&-2&2&3&-1\2&-4&5&8&-4end{pmatrix}}}
2
Rea-redutseerimine vähendatud rida-ešeloni vormiks (RREF). Suurte maatriksite puhul saate tavaliselt kasutada kalkulaatorit. Võtke arvesse, et siinne ridade vähendamine ei muuda maatriksi suurendamist, kuna suurendamine on 0.(1−20−130012−200000){displaystyle {begin{pmatrix}1&-2&0&-1&3\0&0\1&2&-2 0&0&0&0&0end{pmatrix}}}Näeme selgelt, et pöördepunktid – juhtivad koefitsiendid – asuvad veergudes 1 ja 3. See tähendab, et x1{displaystyle x_{1}} ja x3{displaystyle x_{3}} on nende identifitseerivad võrrandid. Tulemuseks on see, et x2,x4,x5{displaystyle x_{2},x_{4},x_{5}} on kõik vabad muutujad.
3
Kirjutage RREF-maatriks välja võrrandi kujul.x1−2×2−x4+3×5=0x3+2×4−2×5=0{displaystyle {begin{aligned}x_{1}-2x_{2}-x_{4}+3x_{ 5}&=0\x_{3}+2x_{4}-2x_{5}&=0end{joondatud}}}
4
Parameetristage vabad muutujad ümber ja lahendage. Olgu x2=r,x4=s,x5=t.{displaystyle x_{2}=r,x_{4}=s,x_{5}=t.} Seejärel x1=2r+ s−3t{displaystyle x_{1}=2r+s-3t} ja x3=−2s+2t.{displaystyle x_{3}=-2s+2t.}x=(2r+s−3tr−2s +2tst){displaystyle mathbf {x} ={begin{pmatrix}2r+s-3t\r\-2s+2t\s\tend{pmatrix}}}
5
Kirjutage lahendus ümber vektorite lineaarse kombinatsioonina. Kaalud on vabad muutujad. Kuna need võivad olla mis tahes, saate lahenduse kirjutada vahemikuna.Nulâ¡A=Spanâ¡{(21000),(10−210),(−30201)}{displaystyle operaatorinimi {Nul} A= operaatorinimi {Span} left{{begin{pmatrix}2\1\0\0\0end{pmatrix}},{begin{pmatrix}1\0\-2 1\0end{pmatrix}},{begin{pmatrix}-3\0\2\0\1end{pmatrix}}right}}See nullruum on väidetavalt dimensioon 3, sest selles komplektis on kolm baasvektorit ja see on iga vektori kirjete arvu R5, {displaystyle mathbb {R} ^{5},} alamhulk. Pange tähele, et baasvektorid ei neil on algul palju ühist A{displaystyle A} ridadega, kuid kiire kontrollimine, võttes A{displaystyle A} mis tahes rea sisekorrutise Nulâ¡A{ mis tahes baasvektoriga displaystyle operaatorinimi {Nul} A} kinnitab, et need on ortogonaalsed.