Fourier’ analüüsis on Fourier’ jada meetod funktsiooni esitamiseks trigonomeetriliste funktsioonide kaudu. Fourier’ seeriad on signaalianalüüsis ja osadiferentsiaalvõrrandite uurimisel äärmiselt silmapaistvad, kus need esinevad Laplace’i võrrandi ja lainevõrrandi lahendustes.
1
Dekomponeerige järgmine funktsioon selle Fourier’ seeria järgi. Üldiselt võime leida lõpliku intervalli mis tahes (tükikaupa pideva – vt näpunäiteid) funktsiooni Fourier’ seeria. Kui funktsioon on perioodiline, võimaldab funktsiooni käitumine selles intervallis leida funktsiooni Fourier’ jada kogu domeenis.f(x)=x2−2x+1: [−1,1]{ displaystyle f(x)=x^{2}-2x+1: [-1,1]}
2
Tuvastage funktsiooni paaris ja paaritu osa. Iga funktsiooni saab laotada paaris- ja paaritu funktsioonide lineaarseks kombinatsiooniks. Fourier’ baas on meie jaoks mugav selle poolest, et see seeria juba eraldab need komponendid. Seetõttu, jälgides hoolikalt, millised funktsiooni osad on paaris ja millised paaritud, saame integraalid teha eraldi, teades, millised terminid kaovad ja millised mitte. Meie funktsiooni jaoks on x2+1{displaystyle x^{2}+1 } on paaris ja −2x{displaystyle -2x} on paaritu. See tähendab, et bn=0{displaystyle b_{n}=0} x2+1{displaystyle x^{2}+1} ja an=0{displaystyle a_{n}=0} −2x korral. {displaystyle -2x.}
3
Hinnake konstantset tähte. Konstantne liige a0{displaystyle a_{0}} on tegelikult koosinuste cosâ¡0Ï€xL=1{displaystyle cos {frac {0pi x}{L}}=1} liige. Pange tähele, et −2x{displaystyle -2x} ei panusta integraali, kuna iga konstantne funktsioon on paaris.a0=∫−11(x2+1)dx=83{displaystyle a_{0}=int _ {-1}^{1}(x^{2}+1)mathrm {d} x={frac {8}{3}}}
4
Hinnake Fourier’ koefitsiente. Siin saame hinnata osade kaupa integreerimise teel. Kasulik on mõista, et cosâ¡nÏ€=(−1)n{displaystyle cos npi =(-1)^{n}} ja sinâ¡¡nÏ€=0.{displaystyle sin npi =0.} Samuti väärib märkimist, et trigonomeetrilise funktsiooni integraal ühe perioodi jooksul kaob.an=∫−11(x2+1)cosâ¡nÏ€xdx=4(−1)nn2Ï 2 €{displaystyle a_{n}=int _{-1}^{1}(x^{2}+1)cos npi xmathrm {d} x={frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}pi ^{2}}}}bn=∫−11−2xsinâ¡nÏ€xdx=4(−1)nnÏ€{displaystyle b_{ n}=int _{-1}^{1}-2xsin npi xmathrm {d} x={frac {4(-1)^{n}}{npi }}}
5
Kirjutage funktsioon välja selle Fourier’ rea järgi. See seeria koondub intervallile (−1,1).{displaystyle (-1,1).} Kuna funktsioon ei ole perioodiline, ei kehti seeria kogu intervallile, vaid pigem mis tahes interjööri naabruses punkt (punktipõhine lähenemine erinevalt ühtlasest konvergentsist).x2−2x+1=43+−n=1∞[4(−1)nn2Ï€2cosâ¡nÏ€x+4(−1)nnÏ€ sinâ¡¡nÏ€x]{displaystyle x^{2}-2x+1={frac {4}{3}}+sum _{n=1}^{infty }left[{frac {4(-1)^{n}}{n^{2}pi ^{2}}}cos npi x+{frac {4(-1)^{n}}{npi } }sin npi xright]}Pilt näitab Fourier’ seeriat kuni n=3, {displaystyle n=3,} n=15, {displaystyle n=15,} ja n=100.{ displaystyle n=100.} Siin on selgelt näha konvergentsi, samuti piiride läheduses olevaid ületamist, mis ei paista kaduvat kõrgemal n.{displaystyle n.} See on Gibbsi fenomen, mis tuleneb seeria suutmatus ühtlustada ettenähtud intervallile.