Iga funktsioon sisaldab kahte tüüpi muutujaid: sõltumatud muutujad ja sõltuvad muutujad, mille väärtused sõna otseses mõttes “sõltuvad” sõltumatutest muutujatest. Näiteks funktsioonis y = f(x) = 2x + y on x sõltumatu ja y sõltuv (teisisõnu, y on x-i funktsioon). Antud sõltumatu muutuja x kehtivaid väärtusi nimetatakse ühiselt “domeeniks”. Antud sõltuva muutuja y kehtivaid väärtusi nimetatakse ühiselt “vahemikuks”. ½
1
Määrake funktsiooni tüüp, millega töötate. Funktsiooni domeeniks on kõik x-väärtused (horisontaaltelg), mis annavad teile kehtiva y-väärtuse väljundi. Funktsiooni võrrand võib olla ruut-, murdosa või sisaldada juuri. Funktsiooni domeeni arvutamiseks peate esmalt hindama võrrandis olevaid termineid. Ruutfunktsiooni kuju on ax2 + bx + c: f(x) = 2×2 + 3x + 4Murdudega funktsioonide näited on järgmised: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x – 1) jne. Funktsioonide juurega on: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1) , f(x) = √-x jne.
2
Kirjutage domeen õigete märgetega. Funktsiooni domeeni kirjutamine hõlmab nii sulgude [,] kui ka sulgude (,) kasutamist. Kasutate sulgu, kui number on domeenis, ja sulgu, kui domeen numbrit ei sisalda. Täht U tähistab ühendust, mis ühendab domeeni osi, mis võivad olla vahega eraldatud. Näiteks domeen [-2, 10) U (10, 2] sisaldab -2 ja 2, kuid ei sisalda numbrit 10). .Kasutage alati sulgusid, kui kasutate lõpmatuse sümbolit ∞. Selle põhjuseks on asjaolu, et lõpmatus on mõiste, mitte arv.
3
Joonistage ruutvõrrandi graafik. Ruutvõrrandid moodustavad paraboolgraafiku, mis näitab üles või alla. Arvestades, et parabool jätkub x-teljel lõpmatult väljapoole, on enamiku ruutfunktsioonide valdkond kõik reaalarvud. Teisel viisil öeldes hõlmab ruutvõrrand kõiki arvurea x-väärtusi, muutes selle domeeniks R (kõigi reaalarvude sümbol). Funktsioonist aimu saamiseks valige suvaline x-väärtus ja ühendage see funktsiooniga. . Funktsiooni lahendamine selle x-väärtusega annab välja y-väärtuse. Need x- ja y-väärtused on funktsiooni graafiku koordinaadid (x, y). Joonistage see koordinaat ja korrake protsessi teise x-väärtusega. Mõne väärtuse joonistamine sellisel viisil peaks andma teile üldise ettekujutuse kujust ruutfunktsioonist.
4
Seadke nimetaja võrdseks nulliga, kui see on murdosa. Murruga töötades ei saa te kunagi nulliga jagada. Määrates nimetaja võrdseks nulliga ja lahendades x-i, saate arvutada väärtused, mis funktsioonist välja jäetakse. Näiteks: tuvastage funktsiooni f(x) = (x + 1)/(x – 1) domeen. .Selle funktsiooni nimetaja on (x – 1). Määra see võrdseks nulliga ja lahenda x: x – 1 = 0, x = 1. Kirjutage domeen: selle funktsiooni domeen ei saa sisaldada 1, kuid sisaldab kõik reaalarvud, välja arvatud 1; seetõttu on domeen (-∞, 1) U (1, ∞).(-∞, 1) U (1, ∞) võib lugeda kõigi reaalarvude hulgana, välja arvatud 1. Lõpmatuse sümbol ∞ tähistab kõik reaalarvud. Sel juhul on domeeni kaasatud kõik reaalarvud, mis on suuremad kui 1 ja väiksemad kui üks.
5
Kui juurfunktsioon on olemas, määrake radikaali sees olevad terminid nullist suuremaks või sellega võrdseks. Negatiivse arvu ruutjuurt ei saa võtta; seetõttu tuleb iga negatiivse arvuni viiv x-väärtus selle funktsiooni domeenist välja jätta.Näiteks: Määrake funktsiooni f(x) = √(x + 3) domeen. Radikaali sees olevad terminid on ( x + 3).Määrake need nullist suuremaks või sellega võrdseks: (x + 3) ≥ 0. Lahenda x: x ≥ -3.Selle funktsiooni domeen sisaldab kõiki reaalarve, mis on suuremad kui – või sellega võrdsed. 3; seetõttu on domeen [-3, ∞).
6
Veenduge, et teil on ruutfunktsioon. Ruutfunktsiooni kuju on ax2 + bx + c: f(x) = 2×2 + 3x + 4. Ruutfunktsiooni kujund graafikul on üles või alla suunatud parabool. Funktsiooni vahemiku arvutamiseks on erinevaid meetodeid, olenevalt tüübist, millega töötate. Lihtsaim viis muude funktsioonide (nt juur- ja murdosa funktsioonide) vahemiku tuvastamiseks on joonistada funktsiooni graafik graafikakalkulaatori abil. .
7
Leia funktsiooni tipu x-väärtus. Ruutfunktsiooni tipp on parabooli tipp. Pidage meeles, et ruutvõrrand on kujul ax2 + bx + c. X-koordinaadi leidmiseks kasutage võrrandit x = -b/2a. See võrrand on põhiruutfunktsiooni tuletis, mis kujutab võrrandit nullkaldega (graafiku tipus on funktsiooni kalle null). Näiteks leidke vahemik 3×2 + 6x -2. Arvutage x -tipu koordinaat: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
8
Arvutage funktsiooni tipu y-väärtus. Ühendage x-koordinaat funktsiooniga, et arvutada tippu vastav y-väärtus. See y-väärtus tähistab funktsiooni vahemiku serva. Arvutage y-koordinaat: y = 3×2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5. see funktsioon on (-1, -5).
9
Määrake parabooli suund, ühendades veel vähemalt ühe x-väärtuse. Valige mõni muu x-väärtus ja ühendage see vastava y-väärtuse arvutamiseks funktsiooniga. Kui y-väärtus on tipust kõrgemal, jätkab parabool +∞. Kui y-väärtus on tipust allpool, jätkab parabool -∞.Kasutage x-väärtust -2: y = 3×2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) â €“ 2 = 12 -12 -2 = -2. See annab koordinaadi (-2, -2). See koordinaat ütleb teile, et parabool jätkub tipust (-1, -5) kõrgemal; seetõttu hõlmab vahemik kõiki y-väärtusi, mis on suuremad kui -5. Selle funktsiooni vahemik on [-5, ∞)
10
Kirjutage vahemik õige tähistusega. Nagu domeen, on ka vahemik kirjutatud sama tähistusega. Kasutage sulgu, kui number on domeenis, ja kasutage sulgu, kui domeen numbrit ei sisalda. Täht U tähistab ühendust, mis ühendab domeeni osi, mis võivad olla vahega eraldatud. Näiteks vahemik [-2, 10) U (10, 2] sisaldab -2 ja 2, kuid ei sisalda numbrit 10 .Kasutage alati sulgusid, kui kasutate lõpmatuse sümbolit ∞.
11
Joonistage funktsiooni graafik. Sageli on funktsiooni vahemikku kõige lihtsam määrata lihtsalt selle graafiku abil. Paljude juurfunktsioonide vahemik on (-∞, 0] või [0, +∞), kuna külgsuunalise parabooli tipp asub horisontaalsel x-teljel. Sel juhul hõlmab funktsioon kõiki positiivseid y-väärtusi, kui parabool tõuseb, või kõiki negatiivseid y-väärtusi, kui parabool langeb. Murdfunktsioonidel on asümptoodid, mis määravad vahemiku. Mõned juurfunktsioonid algavad x-telje kohal või all. Sel juhul määrab vahemiku juurfunktsiooni alguspunkt. Kui parabool algab väärtusest y = -4 ja tõuseb üles, siis on vahemik [-4, +∞).Lihtsaim viis funktsiooni graafiku loomiseks on kasutada graafikuprogrammi või graafikakalkulaatorit.Kui teil graafikut pole kalkulaatori abil saate joonistada graafiku ligikaudse visandi, ühendades funktsiooni x-väärtused ja hankides vastavad y-väärtused. Joonistage need koordinaadid graafikule, et saada aimu graafiku kujust.
12
Leia funktsiooni miinimum. Kui olete funktsiooni graafiku koostanud, peaksite selgelt nägema graafiku madalaimat punkti. Kui selget miinimumi pole, siis tea, et mõned funktsioonid jätkavad punktiga -∞. Murdfunktsioon hõlmab kõiki punkte, välja arvatud asümptoodis olevad punktid. Neil on sageli sellised vahemikud nagu (-∞, 6) U (6, ∞).
13
Määrake funktsiooni maksimum. Jällegi, pärast graafiku koostamist peaksite suutma tuvastada funktsiooni maksimumpunkti. Mõned funktsioonid jätkavad +∞ ja seetõttu ei ole neil maksimumi.
14
Kirjutage vahemik õige tähistusega. Nagu domeen, on ka vahemik kirjutatud sama tähistusega. Kasutage sulgu, kui number on domeenis, ja kasutage sulgu, kui domeen numbrit ei sisalda. Täht U tähistab ühendust, mis ühendab domeeni osi, mis võivad olla vahega eraldatud. Näiteks vahemik [-2, 10) U (10, 2] sisaldab -2 ja 2, kuid ei sisalda numbrit 10). .Kasutage alati sulgusid, kui kasutate lõpmatuse sümbolit ∞.