Aritmeetiline jada on igasugune arvude loend, mis erinevad üksteisest konstantse summa võrra. Näiteks paarisarvude loend 0,2,4,6,8{displaystyle 0,2,4,6,8}… on aritmeetiline jada, kuna loendi ühe arvu erinevus järgmine on alati 2. Kui teate, et töötate aritmeetilise jadaga, võidakse teil paluda leida antud loendist järgmine termin. Samuti võidakse teil paluda täita lünk, kus mõni termin puudub. Lõpuks võiksite teada näiteks 100. terminit, ilma kõiki 100 terminit välja kirjutamata. Mõned lihtsad sammud aitavad teil mõnda neist teha.
1
Leidke jada ühine erinevus. Kui teile esitatakse arvude loend, võidakse teile öelda, et loend on aritmeetiline jada, või peate võib-olla selle ise välja mõtlema. Esimene samm on mõlemal juhul sama. Valige loendist kaks esimest järjestikust terminit. Teisest liikmest lahutage esimene liige. Tulemuseks on teie jada üldine erinevus. Oletame näiteks, et teil on loend 1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}…. Lahutage 4−1{ displaystyle 4-1}, et leida 3 ühise erinevuse. Oletame, et teil on loend mõistetest, mis vähenevad, näiteks 25,21,17,13{displaystyle 25,21,17,13}…. Vahe leidmiseks lahutate ikkagi esimese liikme teisest. Sel juhul annab see teile 21−25=−4{displaystyle 21-25=-4}. Negatiivne tulemus tähendab, et teie loend väheneb vasakult paremale lugedes. Peaksite alati kontrollima, et erinevuse märk ühtiks suunaga, kuhu numbrid näivad liikuvat.
2
Kontrollige, kas ühine erinevus on ühtlane. Ainult kahe esimese termini ühise erinevuse leidmine ei taga, et loend on aritmeetiline jada. Peate veenduma, et erinevus on kogu loendi jaoks ühtlane. Kontrolli erinevust, lahutades loendist kaks erinevat järjestikust liiget. Kui tulemus on ühe või kahe teise terminipaari puhul ühtlane, on teil tõenäoliselt aritmeetiline jada. Sama näitega töötades 1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13} … valige loendist teine ja kolmas termin. Lahutage 7−4{displaystyle 7-4} ja avastate, et erinevus on endiselt 3. Kinnitamiseks kontrollige veel ühte näidet ja lahutage 13−10{displaystyle 13-10} ning avastate, et erinevus on järjepidev 3. Võite olla üsna kindel, et töötate aritmeetilise jadaga. Võimalik, et arvude loend näib olevat aritmeetiline jada, mis põhineb paaril esimesel liikmel, kuid pärast seda ebaõnnestub. Näiteks vaadake loendit 1,2,3,6,9{displaystyle 1,2,3,6,9}…. Esimese ja teise termini erinevus on 1 ning teise ja kolmanda termini erinevus on samuti 1. Kolmanda ja neljanda termini erinevus on aga 3. Kuna erinevus ei ole kogu loendi jaoks ühine, siis see ei ole aritmeetiline jada.
3
Lisage viimasele antud terminile ühine erinevus. Aritmeetilise jada järgmise liikme leidmine pärast seda, kui teate, et üldine erinevus on lihtne. Lihtsalt lisage tavaline erinevus loendi viimasele terminile ja saate järgmise numbri. Näiteks näites 1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13} …, et leida loendist järgmine arv, lisage viimasele antud terminile ühine erinevus 3. 13+3{displaystyle 13+3} lisamine annab tulemuseks 16, mis on järgmine termin. Saate jätkata 3 lisamist, et muuta oma loend nii pikaks kui soovite. Näiteks oleks loendis 1,4,7,10,13,16,19,22,25{displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}…. Saate seda teha nii kaua, kui soovite.
4
Veenduge, et alustate aritmeetilise jadaga. Mõnel juhul võib teil olla numbrite loend, mille keskel on puudu termin. Alustage nagu varemgi, kontrollides, et loend oleks aritmeetiline jada. Valige kaks järjestikust terminit ja leidke nendevaheline erinevus. Seejärel kontrollige seda loendis kahe teise järjestikuse terminiga. Kui erinevused on samad, võite eeldada, et töötate aritmeetilise jadaga ja jätkata. Oletame näiteks, et teil on loend 0,4{displaystyle 0,4},___,12,16,20{displaystyle 12,16,20}…. Alustuseks lahutage 4−0{displaystyle 4-0}, et leida erinevus 4. Võrrelge seda kahe teise järjestikuse terminiga, näiteks 16−12{displaystyle 16-12}. Vahe on jälle 4. Võite jätkata.
5
Lisage terminile enne tühikut levinud erinevus. See sarnaneb termini lisamisega jada lõppu. Otsige üles termin, mis eelneb teie jadas vahetult tühikule. See on viimane number, mida teate. Lisage sellele terminile oma üldine erinevus, et leida number, mis peaks tühiku täitma. Meie töönäites on 0,4{displaystyle 0,4},____,12 ,16,20{displaystyle 12,16,20}…, tühikule eelnev termin on 4 ja meie ühine erinevus selle loendi puhul on samuti 4. Nii et lisage 4+4{displaystyle 4+4}, et saada 8, mis peaks olema tühjal kohal olev number.
6
Lahutage tühikule järgnevast terminist ühine erinevus. Et olla kindel, et teil on õige vastus, kontrollige teisest küljest. Aritmeetiline jada peaks olema mõlemas suunas järjepidev. Kui liigute vasakult paremale ja lisate 4, siis vastupidises suunas paremalt vasakule liikudes teeksite vastupidist ja lahutaksite 4. Töönäites 0,4{displaystyle 0,4},___, 12,16,20{displaystyle 12,16,20}…, tühikule vahetult järgnev termin on 12. Lahutage sellest terminist ühine erinevus 4, et leida 12−4=8{displaystyle 12-4= 8}. Tulemus 8 peaks täitma tühja koha.
7
Võrrelge oma tulemusi. Kaks tulemust, mille saate alt üles liitmisel või ülalt alla lahutamisel, peaksid ühtima. Kui nad seda teevad, siis olete leidnud puuduva termini väärtuse. Kui nad seda ei tee, peate oma tööd kontrollima. Teil ei pruugi olla tõest aritmeetilist jada. Töönäites andsid kaks tulemust 4+4{displaystyle 4+4} ja 12−4{displaystyle 12-4} mõlemad lahenduse 8. Seetõttu on puudu termin selles aritmeetilises jadas on 8. Täielik jada on 0,4,8,12,16,20{displaystyle 0,4,8,12,16,20}….
8
Tuvastage jada esimene liige. Mitte iga jada ei alga numbritega 0 või 1. Vaadake olemasolevate numbrite loendit ja leidke esimene liige. See on teie lähtepunkt, mida saab muutujate abil tähistada kui a(1). Aritmeetiliste jadadega töötamisel kasutatakse muutujat a(1) jada esimese liikme tähistamiseks. Muidugi võite valida mis tahes muutuja, mis teile meeldib ja tulemused peaksid olema samad. Näiteks jada 3,8,13,18{displaystyle 3,8,13,18}… korral on esimene termin on 3{displaystyle 3}, mida saab algebraliselt tähistada kui a(1).
9
Määratlege oma ühine erinevus kui d. Leidke järjestuse ühine erinevus nagu varem. Selles töönäites on tavaline erinevus 8−3{displaystyle 8-3}, mis on 5. Sarnaste teiste terminite kontrollimine annab sama tulemuse. Märgime selle ühise erinevuse algebralise muutujaga d.
10
Kasutage selgesõnalist valemit. Eksplitsiitne valem on algebraline võrrand, mida saate kasutada aritmeetilise jada mis tahes termini leidmiseks, ilma et peaksite täielikku loendit välja kirjutama. Algebralise jada selge valem on a(n)=a(1)+(n−1)d{displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}. Termin a(n) ) saab lugeda kui “a n-ndat liiget,†kus n tähistab loendis olevat arvu, mida soovite leida, ja a(n) on selle arvu tegelik väärtus. Näiteks kui teil palutakse leida 100. üksus aritmeetilises jadas, siis n on 100. Pange tähele, et selles näites on n 100, kuid a(n) on 100. liikme väärtus, mitte arv 100 ise.
11
Probleemi lahendamiseks sisestage oma andmed. Vajaliku termini leidmiseks sisestage oma jada selgesõnalist valemit kasutades teave, mida teate. Näiteks töönäites 3,8,13,18{displaystyle 3,8,13,18}†¦, me teame, et a(1) on esimene liige 3 ja ühine erinevus d on 5. Oletame, et teil palutakse leida selle jada 100. liige. Siis n = 100 ja (n-1) = 99. Täielik selge valem koos andmetega on siis a(100)=3+(99)(5){displaystyle a(100)=3+(99)(5)}. See lihtsustab 498-ni, mis on selle jada 100. liige.
12
Muude muutujate lahendamiseks korraldage selge valem ümber. Kasutades selgesõnalist valemit ja mõnda põhialgebrat, leiate aritmeetilise jada kohta mitu teavet. Algsel kujul a(n)=a(1)+(n−1)d{displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d} on selge valem mõeldud lahendama an ja annab teile jada n-nda liikme. Siiski saate seda valemit algebraliselt manipuleerida ja lahendada mis tahes muutuja. Oletame näiteks, et teil on arvude loendi lõpp, kuid peate teadma, mis oli jada algus. Saate valemit ümber korraldada, et saada a(1)=a(n)âˆ'(n−1)d{displaystyle a(1)=a(n)-(n-1)d}Kui teate algust aritmeetilise jada punkt ja selle lõpp-punkt, kuid peate teadma, mitu liiget loendis on, saate eksplitsiitse valemi ümber korraldada, et lahendada n. See oleks n=a(n)−a(1)d+1{displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}. Kui teil on vaja üle vaadata algebra põhireeglid selle tulemuse loomiseks, vaadake Algebra õppimine või Algebraavaldiste lihtsustamine.
13
Leidke jada esimene liige. Võib-olla teate, et aritmeetilise jada 50. liige on 300 ja teate, et liikmed on kasvanud 7 võrra (“üldine erinevus”), kuid soovite teada saada, mis oli jada esimene liige. Kasutage muudetud selgesõnaline valem, mis lahendab vastuse leidmiseks a1. Kasutage võrrandit a(1)=(n−1)d−a(n){displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)} , ja sisestage teave, mida teate. Kuna teate, et 50. liige on 300, siis n=50, n-1=49 ja a(n)=300. Samuti antakse teile teada, et ühine erinevus d on 7. Seetõttu muutub valem a(1)=(49)(7)−300{displaystyle a(1)=(49)(7)-300}. See on 343−300=43{ displaystyle 343-300=43}. Jada, mille olete alustanud 43-st ja loendanud 7-ni. Seetõttu näeb see välja nagu 43,50,57,64,71,78–293,300.
14
Leidke jada pikkus. Oletame, et teate kõike aritmeetilise jada algusest ja lõpust, kuid peate välja selgitama, kui pikk see on. Kasutage muudetud valemit n=a(n)−a(1)d+1{displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}. Oletame, et teate, et etteantud aritmeetiline jada algab 100-st ja suureneb 13 võrra. Samuti öeldakse teile, et lõplik liige on 2856. Jada pikkuse leidmiseks kasutage termineid a1=100, d=13 ja a(n)=2856. Sisestage need terminid valemisse, et saada n=2856−10013+1{displaystyle n={frac {2856-100}{13}}+1}. Kui teete selle välja, saate n=275613+1{displaystyle n={frac {2756}{13}}+1}, mis võrdub 212+1, mis on 213. Selles jadas on 213 terminit. See näidisjada näeks välja nagu 100, 113, 126, 139–2843, 2856.