Maatriksi determinanti kasutatakse sageli arvutustes, lineaaralgebras ja täiustatud geomeetrias. Maatriksi determinandi leidmine võib alguses segadust tekitada, kuid see muutub lihtsamaks, kui teete seda paar korda.
1
Kirjutage oma 3 x 3 maatriks. Alustame 3 x 3 maatriksiga A ja proovime leida selle determinandi |A|. Siin on üldine maatriksi tähistus, mida me kasutame, ja meie näidismaatriks: M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){displaystyle M={begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&5&3\2&4&7\4&6&2end{pmatrix }}}
2
Valige üks rida või veerg. See on teie võrdlusrida või -veerg. Saate sama vastuse olenemata sellest, kumma valite. Praegu valige lihtsalt esimene rida. Hiljem anname nõu, kuidas valida arvutamiseks kõige lihtsam variant. Valime oma näitemaatriksi A esimese rea. Tõmmake ring ümber 1 5 3. Üldiselt tehke ring a11 a12 a13.
3
Kriipsutage maha oma esimese elemendi rida ja veerg. Vaadake rida või veergu, mille ümber tõstsite, ja valige esimene element. Joonistage joon läbi selle rea ja veeru. Teile peaks jääma neli numbrit. Käsitleme neid 2 x 2 maatriksina. Meie näites on meie võrdlusrida 1 5 3. Esimene element on reas 1 ja veerus 1. Tõmmake rida 1 ja veerg 1 maha. Kirjutage ülejäänud elemendid järgmiselt 2 x 2 maatriks: 1 5 3 2 4 1 4 6 2
4
Leidke maatriksi 2 x 2 determinant. Pidage meeles, et maatriksil (abcd){displaystyle {begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}} on ad determinant – bc. Võib-olla olete seda õppinud, tõmmates 2 x 2 maatriksile X-i. Korrutage kaks arvu, mis on ühendatud X-i -ga. Seejärel lahutage kahe /-ga ühendatud arvu korrutis. Kasutage seda valemit, et arvutada just leitud maatriksi determinant. Meie näites on maatriksi determinant (4762) {displaystyle {begin{pmatrix}4&7\6&2end{pmatrix}}} = 4 * 2 – 7 * 6 = -34. Seda determinanti nimetatakse algses maatriksis valitud elemendi minooriks. Sel juhul leidsime just a11 alaealise.
5
Korrutage vastus valitud elemendiga. Pidage meeles, et valisite oma võrdlusreast (või veerust) elemendi, kui otsustasite, milline rida ja veerg läbi kriipsutada. Korrutage see element determinandiga, mille just arvutasite maatriksi 2×2 jaoks. Meie näites valisime a11, mille väärtus oli 1. Korrutage see -34-ga (2×2 determinant), et saada 1*-34 = -34 .
6
Määrake oma vastuse märk. Järgmisena korrutate oma vastuse kas 1-ga või -1-ga, et saada valitud elemendi kofaktor. Kasutatav oleneb sellest, kuhu element 3×3 maatriksis paigutati. Jäta see lihtne märgidiagramm meelde, et jälgida, milline element mille põhjustab:+ – +- + -+ – +Kuna valisime a11, mis on märgitud +, korrutame arvu +1-ga. (Teisisõnu jätke see rahule.) Vastus on endiselt -34. Teise võimalusena leiate märgi valemiga (-1)i+j, kus i ja j on elemendi rida ja veerg.
7
Korrake seda protsessi oma võrdlusrea või -veeru teise elemendi puhul. Naaske algse 3×3 maatriksi juurde, mille rida või veerg varem ringi tegi. Korrake sama protsessi selle elemendiga: kriipsutage selle elemendi rida ja veerg läbi. Meie puhul valige element a12 (väärtusega 5). Tõmmake maha esimene rida (1 5 3) ja teine veerg (546){displaystyle {begin{pmatrix}5\4\6end{pmatrix}}}. Käsitlege ülejäänud elemente 2×2 maatriksina. Meie näites on maatriks (2742){displaystyle {begin{pmatrix}2&7\4&2end{pmatrix}}}Leia selle 2×2 maatriksi determinant. Kasutage valemit ad – bc. (2*2 – 7*4 = -24) Korrutage 3×3 maatriksi valitud elemendiga. -24 * 5 = -120 Määrake, kas korrutada -1-ga. Kasutage märgidiagrammi või valemit (-1)ij. Valisime elemendi a12, mis on – märgitabelil. Peame muutma oma vastuse märki: (-1)*(-120) = 120.
8
Korrake seda kolmanda elemendiga. Teil on vaja leida veel üks kofaktor. Arvutage i oma võrdlusrea või -veeru kolmanda liikme jaoks. Siin on kiire ülevaade a13 kofaktori arvutamiseks meie näites: tõmmake rida 1 ja veerg 3 läbi, et saada (2446){displaystyle {begin{pmatrix}2&4\4&6end{pmatrix}}} Selle determinant on 2*6 – 4*4 = -4. Korrutage elemendiga a13: -4 * 3 = -12. Element a13 on märgitabelil +, seega on vastus -12.
9
Lisage oma kolm tulemust kokku. See on viimane samm. Olete arvutanud kolm kofaktorit, ühe iga elemendi jaoks ühes reas või veerus. Lisage need kokku ja olete leidnud 3×3 maatriksi determinandi. Meie näites on determinant -34 + 120 + -12 = 74.
10
Valige viide, kus on kõige rohkem nulle. Pidage meeles, et saate võrdluseks valida mis tahes rea või veeru. Saate sama vastuse olenemata sellest, millise valite. Kui valite nullidega rea või veeru, peate arvutama ainult nullist erineva elemendi kofaktori. Siin on põhjus: oletame, et valite 2. rea elementidega a21, a22 ja a23. Selle probleemi lahendamiseks vaatleme kolme erinevat 2×2 maatriksit. Nimetagem neid A21, A22 ja A23. 3×3 maatriksi determinant on a21|A21| – a22|A22| + a23|A23|.Kui terminid a22 ja a23 on mõlemad 0, muutub meie valem a21|A21| – 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| – 0 + 0 = a21|A21|. Nüüd peame arvutama ainult ühe elemendi kofaktori.
11
Maatriksi lihtsustamiseks kasutage ridade lisamist. Kui võtta ühe rea väärtused ja lisada need teisele reale, siis maatriksi determinant ei muutu. Sama kehtib ka veergude kohta. Saate seda teha korduvalt või korrutada väärtused konstandiga enne liitmist, et saada maatriksis võimalikult palju nulle. See võib säästa palju aega. Oletame näiteks, et teil on 3 x 3 maatriks: (9−1231075−2){displaystyle {begin{pmatrix}9&-1&2\3&1&0\7&5&-2end {pmatrix}}}Asendis a11 oleva 9 tühistamiseks saame teise rea korrutada -3-ga ja liita tulemuse esimesele. Uus esimene rida on [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]. Uus maatriks on (0−4231075−2){displaystyle {begin{pmatrix}0&-4&2 \3&1&0\7&5&-2end{pmatrix}}} Proovige kasutada sama nippi veergude puhul, et muuta ka a12 0-ks.
12
Õppige kolmnurkmaatriksite otseteed. Nendel erijuhtudel on determinant lihtsalt põhidiagonaali piki elementide korrutis, alates a11-st üleval vasakul kuni a33-ni all paremal. Me räägime ikka veel 3×3 maatriksitest, kuid “kolmnurksetel” maatriksitel on nullist erineva väärtuste mustrid: Ülemine kolmnurkmaatriks: kõik nullist erinevad elemendid on põhidiagonaalil või sellest kõrgemal. Kõik allpool olev on null.Alumine kolmnurkmaatriks: kõik nullist erinevad elemendid on põhidiagonaalil või selle all.Diagonaalmaatriks: kõik nullist erinevad elemendid on põhidiagonaalil. (Ülaltoodu alamhulk.)