Kas saite oma õpetajalt kodutöö, mis puudutas trigonomeetriliste võrrandite lahendamist? Kas te võib-olla ei pööranud trigonomeetriliste küsimuste tunnis klassis täit tähelepanu? Kas sa üldse tead, mida “trigonomeetriline” tähendab? Kui vastasid neile küsimustele jaatavalt, siis pole põhjust muretseda, sest see Selgitatud õpetab sulle trigonomeetrilisi võrrandeid lahendama.
1
Teadke lahendamise kontseptsiooni. Trigvõrrandi lahendamiseks teisendage see üheks või mitmeks põhiliseks trigvõrandiks. Trigvõrrandi lahendamise tulemusel lahendatakse lõpuks 4 tüüpi põhilised trigvõrrandid.
2
Oskab lahendada põhilisi trigvõrrandeid. Põhilisi trigvõrrandeid on 4 tüüpi:sin x = a ; cos x = atan x = a ; cot x = aPõhiliste trigvõrrandite lahendamine toimub, uurides kaare x erinevaid asukohti trigeringil ja kasutades trigude teisendustabelit (või kalkulaatorit). Et teada saada, kuidas neid põhilisi trigvõrrandeid ja sarnaseid lahendada, vaadake raamatut pealkirjaga “Trigonomeetria: trigonomeetria võrrandite ja võrratuste lahendamine” (Amazon E-book 2010). Näide 1. Lahenda sin x = 0,866. Teisendustabel (ehk kalkulaator) annab vastuse: x = Pi/3. Käivitusring annab teise kaare (2Pi/3), millel on sama patuväärtus (0,866). Trigering annab ka lõpmatuse vastuseid, mida nimetatakse laiendatud vastusteks.x1 = Pi/3 + 2k.Pi ja x2 = 2Pi/3. (Vastused perioodi (0, 2Pi) piires)x1 = Pi/3 + 2k Pi ja x2 = 2Pi/3 + 2k Pi. (Laiendatud vastused).Näide 2. Lahenda: cos x = -1/2. Kalkulaatorid annavad x = 2 Pi/3. Käivitusring annab veel x = -2Pi/3.x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi ja x2 = -2Pi/3. (Vastused perioodi (0, 2Pi) piires)x1 = 2Pi/3 + 2k Pi ja x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi. (Laiendatud vastused)Näide 3. Lahenda: tan (x – Pi/4) = 0.x = Pi/4 ; (Vastus)x = Pi/4 + k Pi; ( Laiendatud vastus)Näide 4. Lahenda võrevoodi 2x = 1,732. Kalkulaatorid ja trigering annabx = Pi/12 ; (Vastus)x = Pi/12 + k Pi ; (Laiendatud vastused)
3
Õppige teisendusi, mida kasutatakse trigvõrrandite lahendamisel. Antud trigvõrrandi põhilisteks trigvõrranditeks teisendamiseks kasutage tavalisi algebralisi teisendusi (faktoreerimine, ühistegur, polünoomide identiteedid…), trig-funktsioonide määratlusi ja omadusi ning trig-identiteete. Neid on umbes 31, nende hulgas 14 viimast trig-identiteeti, 19-st 31-ni, nimetatakse teisendusidentiteetideks, kuna neid kasutatakse trigvõrrandite teisendamiseks. Vaata ülalmainitud raamatut.Näide 5: Trigvõrrandi: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 saab trig-identiteetide abil teisendada põhiliste trigvõrrandite korrutiseks: 4cos x*sin (3x/2)*cos ( x/2) = 0. Lahendatavad põhilised trigvõrrandid on: cos x = 0Â ; sin (3x/2) = 0Â; ja cos (x/2) = 0.
4
Leidke kaared, mille trigfunktsioonid on teada. Enne trigvõrrandite lahendamise õppimist peate teadma, kuidas kiiresti leida kaared, mille trigfunktsioonid on teada. Kaarte (või nurkade) teisendusväärtused antakse trig-tabelite või kalkulaatorite abil.Näide: Pärast lahendamist saame cos x = 0,732. Kalkulaatorid annavad lahenduse kaare x = 42,95 kraadi. Trigühiku ring annab teisi lahenduskaare, millel on sama cos väärtus.
5
Joonistage lahenduskaared trigühiku ringil. Saate joonistada graafiku, et illustreerida trigühiku ringil olevaid lahenduskaare. Nende lahenduskaarte lõpp-punktid moodustavad trigerringil korrapärased hulknurgad. Näideteks: Lahenduskaarte x = Pi/3 + k.Pi/2 lõpp-punktid moodustavad trigühiku ringil ruudu. Lahenduskaared x = Pi/4 + k.Pi/3 on esindatud punktide tippudega. korrapärane kuusnurk trigeriüksuse ringil.
6
Õppige trigvõrrandi lahendamise lähenemisviise. Kui antud trigvõrrand sisaldab ainult ühte trig-funktsiooni, lahendage see trig-võrrandina. Kui antud võrrand sisaldab kahte või enamat trigfunktsiooni, on lahendamisel kaks lähenemist, olenevalt teisendusvõimalusest.A. Lähenemisviis 1. Teisendage antud trigvõrrand korrutiseks kujul: f(x).g(x) = 0 või f(x).g(x).h(x) = 0, milles f(x) , g(x) ja h(x) on trig põhivõrrandid.Näide 6. Lahenda: 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2Pi)Lahendus. Asendage võrrandis sin 2x, kasutades identiteeti: sin 2x = 2*sin x*cos x.cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*( sin x + 1) = 0. Järgmisena lahendage 2 põhilised trigifunktsioonid: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.Näide 7. Lahenda: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi) Lahendus: teisendage see korrutiseks, triguide identiteetide abil: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Järgmisena lahendage 2 põhilist trigvõrrandit: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.Näide 8. Lahendage: sin x - sin 3x = sest 2x. (0 < x < 2Pi) Lahendus: teisendage see korrutiseks, kasutades trigude identiteete: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Seejärel lahendage 2 trigi põhivõrrandit: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0.B. Lähenemisviis 2. Teisendage antud trigvõrrand trigvõrandiks, millel on muutujana ainult üks kordumatu trigfunktsioon. Sobiva muutuja valimiseks on mõned näpunäited. Tavalised valitavad muutujad on: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t ja tan (x/2) = t.Näide 9. Lahenda: 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2Pi).Lahendus. Asendage võrrandis (cos^2 x) väärtusega (1 - sin^2 x), seejärel lihtsustage võrrandit: 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Kutsuge sin x = t. Võrrandist saab: 5t^2 - 4t - 9 = 0. See on ruutvõrrand, millel on 2 reaaljuurt: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Teine t2 lükatakse tagasi, kuna > 1. Järgmisena lahendage: t = sin = -1 –> x = 3Pi/2.Näide 10. Lahendage: tan x + 2 tan^2 x = cot x + 2. Lahendus. Kõne tan x = t. Teisendage antud võrrand võrrandiks, mille muutujaks on t: (2t + 1)(t^2 – 1) = 0. Lahendage sellest korrutisest t, seejärel lahendage x jaoks trig põhivõrrand tan x = t.
7
Lahendage eritüüpi trigvõrrandid. On mõned eritüüpi trigvõrrandid, mis nõuavad teatud teisendusi. Näited:a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c ;a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
8
Õppige trig-funktsioonide perioodilisi omadusi. Kõik trig-funktsioonid on perioodilised, mis tähendab, et pärast ühe perioodi pikkust pööramist jõuavad nad tagasi sama väärtuseni. Näited: Funktsiooni f(x) = sin x periood on 2Pi. Funktsiooni f(x) = tan x periood on Pi. Funktsiooni f(x) = sin 2x periood on Pi. Funktsiooni f(x) = cos (x/2) on perioodiks 4Pi. Kui periood on ülesandes/testis määratud, peate selle perioodi jooksul leidma ainult lahenduskaare(d) x. MÄRKUS. Trigvõrrandi lahendamine on keeruline töö, mis sageli toob kaasa vigu ja vigu. Seetõttu tuleks vastuseid hoolikalt kontrollida. Pärast lahendamist saate vastuseid kontrollida, kasutades graafikakalkulaatorit, et joonistada antud trigvõrrand R(x) = 0 otse. Vastused (reaaljuured) esitatakse kümnendkohtades. Näiteks Pi on antud väärtusega 3,14