Arvutamine on peamiselt asjade muutumise matemaatiline uuring. Üks konkreetne probleemitüüp on määrata, kuidas kahe seotud üksuse määrad samal ajal muutuvad. Seotud tariifide probleemi lahendamise võtmed on muutuvate muutujate tuvastamine ja seejärel valemi määramine, mis ühendab need muutujad üksteisega. Kui see on tehtud, leiate valemi tuletise ja saate arvutada vajalikud määrad.
1
Lugege kogu probleem hoolikalt läbi. Seotud määraprobleemid tekivad tavaliselt nn “tekstülesannetena”. Ükskõik, kas teete määratud kodutööd või lahendate oma töö jaoks tõelist probleemi, peate mõistma, mida küsitakse. Enne kui midagi tegema hakkate, lugege täielik probleem. Kui te sellest aru ei saa, varundage ja lugege uuesti. Sellel graafikul on järgmine probleem: “Sfäärilisse õhupalli pumbatakse õhku kiirusega 5 kuupsentimeetrit minutis. Määrake õhupalli raadiuse suurenemise kiirus, kui õhupalli läbimõõt on 20 cm. Seda ülesannet lugedes peaksite mõistma, et õhupall on kera, seega peate tegelema õhupalli ruumalaga. sfäär. Samuti peaksite mõistma, et teile on antud diameeter, nii et peaksite mõtlema, kuidas see ka lahendust mõjutab. Probleemi diagrammi joonistamine võib sageli olla kasulik. Sel juhul peate eeldama, et õhupall on täiuslik sfäär, mida saate kujutada diagrammil ringiga. Märkige raadius kaugusena keskpunktist ringini.
2
Tehke kindlaks, mida teil palutakse lahendada. Kõik seotud tariifide probleemid koosnevad kahest või enamast muutuvast elemendist, aga ka suvalisest arvust konstantsetest terminitest, mis mõjutavad vastust. Peate probleemi lugema ja tuvastama, mida teil palutakse lahendada. Samuti on kasulik tuvastada, milline teave on probleemis, mis ei ole vastuse osaks. Ülaltoodud ülesande puhul peaksite mõistma, et konkreetne küsimus puudutab õhupalli raadiuse muutumise kiirust. Pange tähele, et teile antakse teavet õhupalli läbimõõdu, mitte raadiuse kohta. Seda tuleb probleemi kallal töötades kohandada. Peaksite nägema, et teile antakse teavet ka õhupalli siseneva õhu kohta, mis muudab õhupalli helitugevust.
3
Loetlege funktsioonid ja muutujad. Kui olete probleemist aru saanud, peaksite kirja panema nii teabe, mida teate, kui ka teabe, mida te ei tea. Määrake iga jaoks muutujad ja kirjutage need üles. Olge selles etapis võimalikult selgesõnaline, et te ei riskiks end hiljem segadusse ajada. Kõik ülesandes antud määrad tuleks väljendada tuletisinstrumentidena aja suhtes. Pange tähele, et tuletist saab väljendada sümboolselt, kasutades “prime†tähistust, nagu r′{displaystyle r^{prime }} või selgesõnalisemat drdt{displaystyle {frac {dr}{dt}}} Need mõlemad näitavad raadiuse tuletist ajast. Selles ülesandes peaksite tuvastama järgmised üksused: dVdt=5cm3/min{displaystyle {frac {dV}{dt}}=5cm^{3}/min} d=20cm.{displaystyle d=20cm.}drdt={displaystyle {frac {dr}{dt}}=}tundmatu raadiuse muutumise kiirus, mis tuleb lahendada Pange tähele, et teile antud andmed õhupalli suuruse kohta on selle läbimõõt. Kuid ette planeerides peaksite meeles pidama, et sfääri ruumala valem kasutab raadiust. Seetõttu peaksite tuvastama ka selle muutuja: r=10cm.{displaystyle r=10cm.} (Raadius on pool läbimõõdust.)
4
Määrake muutujaid seostav funktsioon. Kõige keerulisem ja kõige olulisem samm seotud tariifide probleemi lahendamisel on määrata kindlaks, millist valemit peate kasutama, mis seostab teie olemasolevaid andmeid. Selles ülesandes teate sfääri läbimõõtu ja raadiust ning teil on teavet sfääri ruumala kohta. Seetõttu peaks teie vajalik valem olema sfääri ruumala valem.V=43Ï€r3{displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}}
5
Eristage aja järgi. Peaksite aru saama, et valem ise kujutab endast helitugevust raadiuse suhtes. Selle ülesande puhul antakse teile aga ruumala (sissepumbatava õhu) muutumise kiirus ja küsitakse raadiuse muutumise kiirust. Muutuse kiirus määratakse võrrandi esimese tuletise abil.dVdt=4Ï€r2drdt{displaystyle {frac {dV}{dt}}=4pi r^{2}{frac {dr}{dt} }}
6
Asendage teadaolevad andmed. Vaadake tagasi oma varasemaid märkusi, kus kirjutasite üles erinevate funktsioonide ja muutujate väärtused. Sisestage need andmed tuletisfunktsiooni, millega töötate. Kui teete seda, peaksite leidma, et probleemisse jääb üks muutuja. See on see, mida proovite lahendada. Selle ülesande puhul teate helitugevuse muutumise kiirust ja raadiust. Ainus teadmata on raadiuse muutumise kiirus, mis peaks olema teie lahendus.dVdt=4Ï€r2drdt{displaystyle {frac {dV}{dt}}=4pi r^{2}{frac {dr }{dt}}}5=4π∗102drdt{displaystyle 5=4pi *10^{2}{frac {dr}{dt}}}5=400Ï€drdt{displaystyle 5=400 pi {frac {dr}{dt}}}5400Ï€=drdt{displaystyle {frac {5}{400pi }}={frac {dr}{dt}}}180Ï€=drdt{displaystyle {frac {1}{80pi }}={frac {dr}{dt}}}
7
Tõlgenda oma tulemust. Vaadake oma töö üle ja veenduge, et vastasite küsimusele nii, nagu küsiti, ja kas teie tulemus on esitatud andmete põhjal mõistlik. Sel juhul on teie lahenduseks drdt{displaystyle {frac {dr}{dt} }}, mis on raadiuse muutumise kiirus. Seda küsitigi. Seejärel väljendage oma numbriline vastus selle ühikutega, et esitada ülesande lõplik vastus:drdt=180Ï€{displaystyle {frac {dr}{dt}}={frac {1}{80pi }}} sentimeetrit minutis.
8
Lugege ja mõistate probleemi. Esimene samm on probleemi hoolikalt läbi lugeda ja küsitavat tõlgendada. Mõelge järgmisele probleemile: pesapalli teemant on 90 ruutjalga. Jooksja jookseb esimesest baasist teise baasi kiirusega 25 jalga sekundis. Kui kiiresti ta eemaldub koduplaadist, kui ta on esimesest baasist 30 jala kaugusel? Saate selle probleemi diagrammi joonistada, joonistades pesapalli teemanti kujutava ruudu. Märgistage ruudu üks nurk kui “Koduplaat”.
9
Tehke kindlaks, mida teil palutakse lahendada. Sellisel juhul küsib küsimus jooksja kiirust. Kiirus on distantsi muutumise kiirus, seega peaksite mõistma, et teilt küsitakse koduplaadi ja jooksja vahemaa tuletist. Olukorrale mõeldes peaksite ette kujutama täisnurkset kolmnurka, mis kujutab pesapalli teemanti. Kolmnurga üks jalg on põhitee põhiplaadist esimese aluseni, mis on 90 jalga. Teine jalg on põhitee esimesest alusest aluse juurde. jooksja, mida saate määrata pikkusega r{displaystyle r}. Teil palutakse probleem lahendada, kui see vahemaa on 30 jalga. Selle distantsi muutumise kiirus drdt{displaystyle {frac {dr}{dt}}} on jooksja kiirus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on sirgjoone pikkus koduplaadist jooksjani (üle pesapalli teemandi keskosa). Nimetage seda kaugust d{displaystyle d}. Seda kaugust teile ei öelda, kuid saate selle arvutada Pythagorase teoreemi järgi. Kui kaks jalga on 90 ja 30, siis hüpotenuus d{displaystyle d} on 902+302{displaystyle {sqrt {90^{2}+30^{2}}}}. Seega d=3010{displaystyle d=30{sqrt {10}}}. Tegelik küsimus on selle vahemaa muutumise kiiruses ehk selles, kui kiiresti jooksja koduplaadilt eemaldub. See on tuletis dddt{displaystyle {frac {dd}{dt}}}.
10
Leidke valem, mis seob kõiki termineid. Sel juhul saab pesapalli teemanti kujutada täisnurkse kolmnurgaga, seega peaksite kohe mõtlema Pythagorase teoreemile a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2} }. Teie ülesanne on tõlkida a,b,c{displaystyle a,b,c} oma probleemi terminiteks. Esimene etapp, a{displaystyle a}, on kaugus kodust esimeseni, 90 jalga. teine etapp, b{displaystyle b}, on vahemaa esimesest jooksjast. Kasutage muutujat r{displaystyle r}. Teil palutakse ülesanne lahendada kohe, kui r=30{displaystyle r=30}. Hüpotenuus c{displaystyle c} on kaugus kodust jooksjani d{displaystyle d}. Kirjutage välja uus võrrand: d2=902+r2{displaystyle d^{2}=90^{2}+r^{2}}
11
Leidke valemi tuletis. Vahemaadelt muutuste (kiiruse) määradele liikumiseks vajate valemi tuletist. Võtke võrrandi mõlema poole tuletis aja (t) suhtes.2ddddt=2rdrdt{displaystyle 2d{frac {dd}{dt}}=2r{frac {dr}{dt}}}Pange tähele, et konstantne liige, 902{displaystyle 90^{2}}, langeb tuletise kasutamisel võrrandist välja.
12
Lahendage soovitud määr. Sisestage tuletisvalemi abil väärtused, mida teate, ja lihtsustage lahenduse leidmist.2ddddt=2rdrdt{displaystyle 2d{frac {dd}{dt}}=2r{frac {dr}{dt}}}2∠—3010dddt=2∗30∗25{displaystyle 2*30{sqrt {10}}{frac {dd}{dt}}=2*30*25}dddt=2∗30∗252∗3010{displaystyle {frac {dd}{dt}}={frac {2*30*25}{2*30{sqrt {10}}}}}dddt=2510{displaystyle {frac {dd}{dt} }={frac {25}{sqrt {10}}}}
13
Tõlgenda oma tulemust. Hüpotenuusi muutumise kiirus ehk jooksja koduplaadilt eemaldumise kiirus on 2510{displaystyle {frac {25}{sqrt {10}}}} jalga sekundis. Teisendades selle arusaadavamaks kiiruseks, liigub jooksja sel hetkel koduplaadist eemale umbes 7,9 jalga sekundis.
14
Lugege ja mõistate probleemi. Mõelge järgmisele probleemile: vesi voolab 8 kuupjalga minutis 4 jala raadiusega silindrisse. Kui kiiresti veetase tõuseb? Joonistage see olukord silindri visandamise teel. Tee selle keskele horisontaaljoon, mis tähistab vee kõrgust.
15
Tehke kindlaks, mida teil palutakse lahendada. Teile öeldakse, et vesi täidab silindrit, mis tähendab, et mõõdate mingil viisil silindri mahtu. Teilt küsitakse vee kõrguse muutumise kiirust.Kui vesi täidab silindri, suureneb vee maht, mida võite nimetada V{displaystyle V}. Kasvukiirus, dVdt{ displaystyle {frac {dV}{dt}}} on vee vooluhulk ehk 8 kuupjalga minutis. Vee kõrgust h{displaystyle h} ei ole antud. Muutuse kiirus kõrgus, dhdt{displaystyle {frac {dh}{dt}}}, on probleemi lahendus. Teile öeldakse ka, et silindri r{displaystyle r} raadius on 4 jalga.
16
Leidke valem teabe ühendamiseks, mida teate ja mida peate lahendama. Sel juhul töötate silindriga, selle mahu, kõrguse ja raadiusega. Neid termineid seostav valem on: V=Ï€r2h{displaystyle V=pi r^{2}h}
17
Muutuste määrade leidmiseks leidke valemi tuletis. Kasutades seda võrrandit, võtke iga poole tuletis aja t{displaystyle t} suhtes, et saada võrrand, mis hõlmab muutuste määrasid: V=Ï€r2h{displaystyle V=pi r^{2}h}dVdt= Ï€r2dhdt{displaystyle {frac {dV}{dt}}=pi r^{2}{frac {dh}{dt}}}
18
Probleemi lahendamiseks sisestage teadaolevad väärtused. Te teate ruumala muutumise kiirust ja teate silindri raadiust. Sisestage need ja lihtsustage veetaseme tõusu kiiruse leidmiseks:dVdt=Ï€r2dhdt{displaystyle {frac {dV}{dt}}=pi r^{2}{frac {dh}{dt}} }8=Ï€(42)dhdt{displaystyle 8=pi (4^{2}){frac {dh}{dt}}}8=16Ï€dhdt{displaystyle 8=16pi {frac {dh}{dt}}}816Ï€=dhdt{displaystyle {frac {8}{16pi }}={frac {dh}{dt}}}12Ï€=dhdt{displaystyle {frac { 1}{2pi }}={frac {dh}{dt}}}
19
Tõlgenda oma tulemust. Kuna vesi voolab silindrisse kiirusega 8 kuupjalga minutis, on kõrguse muutumise kiirus 12Ï€{displaystyle {frac {1}{2pi }}} jalga minutis. Teisendades selle arusaadavamaks kiiruseks, on see umbes 0,16 jalga minutis ehk peaaegu 2 tolli minutis.