Ratsionaalne avaldis on murdosa, mille lugejas või nimetajas on üks või mitu muutujat. Ratsionaalne võrrand on mis tahes võrrand, mis sisaldab vähemalt ühte ratsionaalset avaldist. Nagu tavalised algebralised võrrandid, lahendatakse ka ratsionaalvõrrandid, sooritades samad toimingud võrrandi mõlemale poolele, kuni muutuja on isoleeritud võrdusmärgi ühel küljel. Kaks spetsiaalset tehnikat, ristkorrutamine ja väikseimate ühisnimetajate leidmine, on muutujate eraldamiseks ja ratsionaalsete võrrandite lahendamiseks äärmiselt kasulikud.
1
Vajadusel korraldage võrrand ümber, et saada võrdusmärgi mõlemal küljel üks murd. Ristkorrutamine on kiire ja lihtne viis ratsionaalsete võrrandite lahendamiseks. Kahjuks töötab see meetod ainult selliste ratsionaalsete võrrandite puhul, mis sisaldavad võrdusmärgi mõlemal küljel täpselt ühte ratsionaalset avaldist või murdosa. Kui teie võrrand ei ole õiges ristkorrutamise vormis, peate võib-olla kasutama algebralisi tehteid, et viia selle liikmed õigetesse kohtadesse. Näiteks võrrand (x + 3)/4 – x/(-2) = 0 saab hõlpsasti ümber korraldada ristkorrutiseks, lisades võrrandi mõlemale poolele x/(-2), jättes teile (x + 3)/4 = x/(-2). Pidage meeles, et kümnend- ja täisarvud saab teha murdudeks, andes neile nimetaja 1. Näiteks (x + 3)/4 – 2,5 = 5 saab ümber kirjutada kujul (x + 3)/4 = 7,5/1, mis muudab selle sobivaks kandidaadiks ristkorrutamine. Mõnda ratsionaalvõrrandit ei saa lihtsalt taandada vormiks, kus võrdusmärgi mõlemal küljel on üks murd või ratsionaalne võrrand. Sellistel juhtudel kasutage madalaima ühisnimetaja lähenemisviisi.
2
Ristkorrutamine. Ristkorrutamine tähendab lihtsalt ühe murdosa lugeja korrutamist teise nimetajaga ja vastupidi. Korrutage võrdusmärgist vasakul oleva murru lugeja parempoolse murru nimetajaga. Korrake parempoolse murru lugejaga ja vasakpoolse murru nimetajaga. Ristkorrutamine töötab algebraliste põhiprintsiipide järgi. Ratsionaalväljendeid ja muid murde saab muuta mittemurdudeks, korrutades need nimetajatega. Ristkorrutamine on põhimõtteliselt mugav otsetee võrrandi mõlema poole korrutamiseks mõlema murdosa nimetajaga. Ei usu seda? Proovige – pärast lihtsustamist saate samad tulemused.
3
Määrake kaks toodet üksteisega võrdseks. Pärast ristkorrutamist on teil kaks toodet. Määrake need kaks liiget üksteisega võrdseks ja lihtsustage, et saada võrrandi kumbki pool selle kõige lihtsamates tingimustes. Näiteks kui teie algne ratsionaalne avaldis oli (x+3)/4 = x/(-2), siis pärast ristkorrutamist, teie uus võrrand on -2(x+3) = 4x. Soovi korral võib selle kirjutada ka kujul -2x – 6 = 4x.
4
Lahendage oma muutuja. Võrrandis oleva muutuja lahendamiseks kasutage algebralisi tehteid. Pidage meeles, et kui x on võrdusmärgi mõlemal küljel, peate mõlemale poolele x terminit liitma või lahutama, et saada x terminit ainult võrdusmärgi ühel küljel. Meie näites saame jagada võrdusmärgi mõlemad pooled. võrrand võrrandiga -2, mis annab meile x+3 = -2x. Lahutades x mõlemalt poolt, saame 3 = -3x. Lõpuks, jagades mõlemad pooled -3-ga, saame -1 = x, mille saame ümber kirjutada kujul x = -1. Leidsime x, lahendades meie ratsionaalse võrrandi.
5
Tea, millal on asjakohane leida madalaim ühisnimetaja. Madalaimaid ühisnimetajaid (LCD-sid) saab kasutada ratsionaalsete võrrandite lihtsustamiseks, mis võimaldab lahendada nende muutujaid. Vedelkristallekraani leidmine on hea mõte, kui teie ratsionaalset võrrandit ei ole lihtne kirjutada kujul, millel on võrdusmärgi mõlemal küljel üks (ja ainult üks) murdosa või ratsionaalne avaldis. Kolme või enama liikmega ratsionaalsete võrrandite lahendamiseks on LCD-ekraanid kasulikud tööriistad. Kuid ainult kahe liikmega ratsionaalsete võrrandite lahendamisel võib ristkorrutamine olla kiirem.
6
Uurige iga murru nimetajat. Määrake väikseim arv, milleks iga nimetaja ühtlaselt jaguneb. See on teie võrrandi LCD-ekraan. Mõnikord on väikseim ühisnimetaja – see tähendab väikseim arv, mille teguriks on kõik olemasolevad nimetajad – ilmne. Näiteks kui teie avaldis on x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, ei ole raske näha, et väikseim arv, mille tegur on 3, 2 ja 6, on tegelikult 6. Sageli ratsionaalse võrrandi vedelkristallekraan pole aga kohe ilmne. Sellistel juhtudel proovige uurida suurema nimetaja kordajaid, kuni leiate ühe, mis sisaldab tegurina kõiki väiksemaid nimetajaid. Sageli on LCD-ekraan kahe nimetaja kordne. Näiteks võrrandis x/8 + 2/6 = (x – 3)/9 on vedelkristallekraan 8*9 = 72. Kui üks või mitu teie murdude nimetajat sisaldavad muutujat, on see protsess rohkem kaasatud, aga mitte võimatu. Sellistel juhtudel on LCD avaldis (sisaldab muutujaid), mille kõik nimetajad jagavad, mitte üks arv. Näiteks võrrandis 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) on vedelkristallekraan 3x(x-1), kuna iga nimetaja jaguneb sellesse ühtlaselt – jagades selle (x-1) annab 3x, jagades selle 3x-ga, annab (x-1) ja jagades selle x-ga annab 3(x-1).
7
Korrutage ratsionaalses võrrandis iga murd 1-ga. Iga liikme korrutamine 1-ga võib tunduda mõttetu. Siiski on nipp. 1 võib defineerida kui suvalist arvu enda kohal – näiteks 2/2 ja 3/3 on samuti sobivad viisid “1” kirjutamiseks. See meetod kasutab seda alternatiivset määratlust. Korrutage oma ratsionaalvõrrandis iga murd 1-ga, kirjutades iga kord 1 arvu või liikmena, mis korrutab iga nimetajaga, et anda LCD-ekraan endast üle. Meie põhinäites korrutaksime x/3 2/2-ga, et saada 2x/ 6 ja korrutage 1/2 3/3-ga, et saada 3/6. 3x +1/6 nimetajaks on juba 6, LCD, nii et saame selle kas korrutada 1/1-ga või jätta selle rahule. Meie näites, kus meie murdude nimetajates on muutujad, on protsess veidi keerulisem. Kuna meie LCD on 3x(x-1), korrutame iga ratsionaalse avaldise liikmega, millega see korrutab, et saada 3x(x-1). Korrutaksime 5/(x-1)-ga (3x)/(3x), saades 5(3x)/(3x)(x-1), korrutaksime 1/x arvuga 3(x-1)/3(x-1) ), et saada 3(x-1)/3x(x-1) ja 2/(3x) korrutada (x-1)/(x-1), et saada 2(x-1)/3x(x-1) ).
8
Lihtsustage ja lahendage x jaoks. Nüüd, kui teie ratsionaalses võrrandis on igal liikmel sama nimetaja, saate nimetajad võrrandist eemaldada ja lugejad lahendada. Lihtsalt korrutage võrrandi mõlemad pooled, et saada lugejad ise. Seejärel kasutage algebralisi tehteid, et saada x (või mis tahes muu muutuja, mida lahendate) üksi võrdusmärgi ühel küljel. Meie põhinäites saame pärast iga liikme korrutamist 1 alternatiivsete vormidega 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Kaks murdosa saab liita, kui neil on sama nimetaja, nii et saame seda võrrandit lihtsustada kujul (2x+3)/6 = (3x+1)/6 ilma selle väärtust muutmata. Nimetajate tühistamiseks korrutage mõlemad pooled 6-ga, mis jätab meile 2x+3 = 3x+1. Lahutage mõlemalt küljelt 1, et saada 2x+2 = 3x, ja lahutage mõlemalt poolt 2x, et saada 2 = x, mille saab kirjutada kujul x = 2. Meie näites, kus nimetajates on muutujad, on meie võrrand pärast iga liikme korrutamist “1” on 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Iga liikme korrutamine meie LCD-ekraaniga võimaldab meil nimetajad tühistada, andes meile 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). See toimib 15x = 3x – 3 + 2x -2, mis lihtsustab 15x = x – 5-ni. Lahutades x mõlemalt poolt, saadakse 14x = -5, mis lõpuks lihtsustab x = -5/14.