Poissoni võrrand on oluline osaline diferentsiaalvõrrand, millel on laialdased rakendused füüsikas ja inseneriteaduses. See artikkel käsitleb elektrostaatilisi potentsiaale, kuigi siin kirjeldatud tehnikaid saab rakendada üldiselt. Üks viis selle võrrandi lahendamiseks on teha Fourier’ teisendusi (FT), mis seovad muutujaid nii positsiooniruumis x{displaystyle mathbf {x} } ja ruumis k{displaystyle mathbf {k} }. See muudab võrrandi integratsiooniprobleemiks, mida on suhteliselt lihtsam lahendada.
1
Alustage Poissoni võrrandiga. Tuletame meelde, et elektrivälja E{displaystyle mathbf {E} } saab kirjutada skalaarpotentsiaalina E=−∇ϕ.{displaystyle mathbf {E} =-nabla phi .} Me saab seejärel kasutada Gaussi seadust, et saada Poissoni võrrand, nagu näha elektrostaatikas.∇2Ï•=−Ïϵ0{displaystyle nabla ^{2}phi =-{frac {rho }{epsilon _{ 0}}}}Selles võrrandis on sageli nii, et me teame laengu tihedust Ï,{displaystyle rho ,}, mida nimetatakse lähtefunktsiooniks, ja soovime teada potentsiaalset Ï•.{displaystyle phi . } Seetõttu peame leidma võimaluse selle võrrandi ümberpööramiseks.
2
Kirjutage välja potentsiaali ja laengutiheduse FT-d ja pöörd-FT-d. Kuna tegemist on kolme dimensiooniga, reguleeritakse FT-sid vastavalt, normaliseerimise eesmärgil konstantse teguriga. Piirid erinevad olenevalt kokkuleppest, kuhu seada potentsiaali väärtuseks 0. Kuigi me ei kirjuta piire selgesõnaliselt enne integraalide hindamist, määrame lõpmatuse potentsiaali väärtuseks 0, nii et integreerime üle kogu ruumi.Ï• ~(k)=1(2Ï€)3/2∫ϕ(x)e−ikâ‹…xd3xÏ•(x)=1(2Ï€)3/2∫ϕ~(k)eikâ‹…xd3k{ displaystyle {begin{aligned}{tilde {phi }}(mathbf {k} )&={frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int phi ( mathbf {x} )e^{-imathbf {k} cdot mathbf {x} }mathrm {d} ^{3}mathbf {x} \phi (mathbf {x} )& ={frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int {tilde {phi }}(mathbf {k} )e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }mathrm {d} ^{3}mathbf {k} end{joonitud}}}Ï~(k)=1(2Ï€)3/2∫Ï(x)e−ikâ ‹…xd3xÏ(x)=1(2Ï€)3/2∫Ï~(k)eikâ‹…xd3k{displaystyle {begin{aligned}{tilde {rho }}(mathbf {k} )&={frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int rho (mathbf {x} )e^{-imathbf {k} cdot mathbf {x } }mathrm {d} ^{3}mathbf {x} \rho (mathbf {x} )&={frac {1}{(2pi )^{3/2}}} int {tilde {rho }}(mathbf {k} )e^{ imathbf {k} cdot mathbf {x} }mathrm {d} ^{3}mathbf {k} end{joondatud}}}
3
Seostage Ï•~(k){displaystyle {tilde {phi }}(mathbf {k} )} parameetriga Ï~(k){displaystyle {tilde {rho }}(mathbf {k} )}. Tulemus seob potentsiaali ja laengutiheduse ruumis k{displaystyle mathbf {k} } ja nagu selgub, on seos algebraline, mis on tunduvalt lihtsam. Võtke Ï•(x) Laplacian. {displaystyle phi (mathbf {x} ).} Siin saame eristada integraali all, kuna integraali võetakse k, {displaystyle mathbf {k} ,} ja x{displaystyle mathbf { suhtes x} } on sõltumatu muutuja.∇2Ï•(x)=1(2Ï€)3/2∫−k2eikâ‹…xÏ•~(k)d3k=Ï(x)ϵ0{displaystyle nabla ^ {2}phi (mathbf {x} )={frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int -k^{2}e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }{tilde {phi }}(mathbf {k} )mathrm {d} ^{3}mathbf {k} ={frac {rho (mathbf {x} )}{epsilon _{0}}}}FT laengutihedus, nii et see kirjutatakse ka ruumi k{displaystyle mathbf {k} }.Ï(x)ϵ0=1(2Ï€)3/2∠«Ï~(k)ϵ0eikâ‹…xd3k{displaystyle {frac {rho (mathbf {x} )}{epsilon _{0}}}={frac {1}{(2pi ) ^{3/2}}}int {frac {{tilde {rho }}(mathbf {k} )}{epsilon _{0}}}e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }mathrm {d} ^{3}mathbf {k} }Otseses võrdluses näeme, et allolev seos kehtib.k2Ï•~(k)=Ï~(k)ϵ0{ displaystyle k^{2}{tilde {phi }}(mathbf {k} )={frac {{tilde {rho }}(mathbf {k} )}{epsilon _{0} }}}Kui meile antaks laengutihedus ruumis k{displaystyle mathbf {k} } ja tahaksime leida samas ruumis potentsiaali, oleks see väga lihtne. Siiski oleme huvitatud nende suuruste leidmisest ruumist x{displaystyle mathbf {x} }. Seetõttu peame teist korda ümber kujundama.
4
Kirjutage Ï•(x){displaystyle phi (mathbf {x} )} kujul Ï(x){displaystyle rho (mathbf {x} )}. Pöörake FT laengutihedust ja lihtsustage saadud avaldist. 2. real olevate näivate muutujate algsümbolid näitavad, et me võtame eraldi integraali.Ï•(x)=1(2Ï€)3/2∫eikâ‹…xÏ~(k)k2ϵ0d3k=1(2Ï€) 3/2∫eikâ‹…xd3kk2ϵ0[1(2Ï€)3/2∫e−ikâ‹…x′Ï(x′)d3x′]=1(2Ï€)3∫eikâ‹…(x− x′)k2d3k∫Ï(x′)ϵ0d3x′{displaystyle {begin{aligned}phi (mathbf {x} )&={frac {1}{(2pi )^{ 3/2}}}int e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }{frac {{tilde {rho }}(mathbf {k} )}{k^{2 }epsilon _{0}}}mathrm {d} ^{3}mathbf {k} \&={frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int e ^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }{frac {mathrm {d} ^{3}mathbf {k} }{k^{2}epsilon _{0}}} vasakule[{frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int e^{-imathbf {k} cdot mathbf {x} ^{prime }}rho ( mathbf {x} ^{prime })mathrm {d} ^{3}mathbf {x} ^{prime }right]\&={frac {1}{(2pi )^ {3}}}int {frac {e^{imathbf {k} cdot (mathbf {x} -mathbf {x} ^{prime })}}{k^{2}}} mathrm {d} ^{3}mathbf {k} int {frac {rho (mathbf {x} ^{prime })}{epsilon _{0}}}mathrm {d} ^ {3}mathbf {x} ^{prime }end{joonitud}}}
5
Hinnake ruumiintegraali k{displaystyle mathbf {k} }. Lihtsam on minna üle sfäärilistele koordinaatidele (kasutame füüsiku kokkulepet). 5. real tuvastame, et sinâ¡a=eia−e−ia2i{displaystyle sin {a}={frac {e^{ia}-e^{-ia}}{2i}}} Eulerist valem ja real 7 tunneme ära integraali ∫0∞sinâ¡¡aada=Ï€2.{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin a}{a}}mathrm {d} a={frac {pi }{2}}.}1(2Ï€)3∫−∞∞eikâ‹…(x−x′)k2d3k= 1(2Ï€)3∫02Ï€dÏ •âˆ«0∞k2dk∫0Ï€sin⡡θdθeik|x−x′|cosâ¡Î¸k2= 1(2Ï€)2∫0∞dk∫0Ρ¡¡¸deik∫0ÎÎΡ¡Î¸dθeik| x−x′|cosâ¡Î¸, u=cos⡡θ= 1(2Ï€)2∫0∞dk∫−11dueik|x−x′|u= 1(2Ï)2 «0∞dk1ik|x−x′|(eik|x−x′|−e−ik|x−x′|)= 12Ï€2∫0∞dk1k|x−x′|sinâ¡(kâ¡ |x−x′|), v=k|x−x′|= 12Ï€2|x−x′|∫0∞dvsinâ¡¡vv= 14Ï€|x−x′|{ displaystyle {begin{aligned}&{frac {1}{(2pi )^{3}}}int _{-infty }^{infty }{frac {e^{imathbf {k} cdot (mathbf {x} -mathbf {x} ^{prime })}}{k^{2}}}mathrm {d} ^{3}mathbf {k} \= &{frac {1}{(2pi )^{3}}}int _{0}^{2pi }mathrm {d} phi int _{0}^{infty } k^{2}mathrm {d} kint _{0}^{pi }sin theta m athrm {d} theta {frac {e^{ik|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |cos theta }}{k^{2}}}\= &{frac {1}{(2pi )^{2}}}int _{0}^{infty }mathrm {d} kint _{0}^{pi }sin teeta mathrm {d} theta e^{ik|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |cos theta }, u=cos theta \= &{ frac {1}{(2pi )^{2}}}int _{0}^{infty }mathrm {d} kint _{-1}^{1}mathrm {d} ue ^{ik|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |u}\= &{frac {1}{(2pi )^{2}}}int _{ 0}^{infty }mathrm {d} k{frac {1}{ik|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |}}(e^{ik|mathbf { x} -mathbf {x^{prime }} |}-e^{-ik|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |})\= &{frac { 1}{2pi ^{2}}}int _{0}^{infty }mathrm {d} k{frac {1}{k|mathbf {x} -mathbf {x^{ prime }} |}}sin {(k|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |)}, v=k|mathbf {x} -mathbf {x^{ prime }} |\= &{frac {1}{2pi ^{2}|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |}}int _{0} ^{infty }mathrm {d} v{frac {sin v}{v}}\= &{frac {1}{4pi |mathbf {x} -mathbf {x^ {prime }} |}}end{joondatud}}}
6
Asendage võrrand potentsiaaliga Ï•(x){displaystyle phi (mathbf {x} )}. See on Poissoni võrrandi üldlahendus kuni laengutiheduseni, kus Ï•(∞)=0.{displaystyle phi (infty )=0.} Selle võrrandi üldlahendust ei saa kirjutada suletud kujul. Seega valime integraalvormi, kus vastava potentsiaali leidmiseks integreerime teadaoleva laengutiheduse üle kogu ruumi, kuigi keerulisemate laengujaotuste integreerimine muutub üsna ebapraktiliseks.Ï•(x)=14πϵ0∫Ï( x′)|x−x′|d3x′{displaystyle phi (mathbf {x} )={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}int {frac {rho ({mathbf {x^{prime }} })}{|mathbf {x} -mathbf {x^{prime }} |}}mathrm {d} ^{3}mathbf {x^{prime }} }