Kvantmehaanikas on kastis olev osake kontseptuaalselt lihtne probleem positsiooniruumis, mis illustreerib osakeste kvantolemust, lubades ainult diskreetseid energiaväärtusi. Selles ülesandes alustame Schrödingeri võrrandist, leiame energia omaväärtused ja jätkame normaliseerimistingimuste kehtestamisega, et tuletada nende energiatasemetega seotud omafunktsioonid.
1
Alustage ajast sõltumatust Schrödingeri võrrandist. Schrödingeri võrrand on üks kvantmehaanika põhivõrranditest, mis kirjeldab, kuidas kvantseisundid ajas arenevad. Ajast sõltumatu võrrand on omaväärtusvõrrand ja seega eksisteerivad lahendustena ainult teatud energia omaväärtused.H^|ψ(x)⟩=E|ψ(x)⟩{displaystyle {hat {H}} |psi (x)rangle =E|psi (x)rangle }
2
Asendage Schrödingeri võrrandis vaba osakese Hamiltoni. Ühemõõtmelise osakese kasti stsenaariumi korral on Hamiltoni värss antud järgmise avaldise abil. See on klassikalisest mehaanikast tuttav kui kineetilise ja potentsiaalse energia summa, kuid kvantmehaanikas eeldame, et asend ja impulss on operaatorid.H^=p^22m+V(x){displaystyle {hat {H} }={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)}Asendiruumis annab impulsi operaator p^=−iâ„ddx.{ displaystyle {hat {p}}=-ihbar {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}.}H^=−â„22md2dx2+V(x){ displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2} }}+V(x)}Vahepeal laseme V(x)=0{displaystyle V(x)=0} kasti sees ja V(x)=∞{displaystyle V(x)=infty } kõikjal muidu. Kuna meid huvitavas piirkonnas on V(x)=0{displaystyle V(x)=0}, võime nüüd selle võrrandi kirjutada konstantsete koefitsientidega lineaarse diferentsiaalvõrrandina.−â„22md2ψdx2=Eψ{ displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {mathrm {d} ^{2}psi }{mathrm {d} x^{2}}}=E psi }Terminite ümberkorraldamisel ja konstandi määratlemisel k2=2mEâ„2,{displaystyle k^{2}={frac {2mE}{hbar ^{2}}},} jõuame järgmise võrrandini.d2ψdx2+ k2ψ=0{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}psi }{mathrm {d} x^{2}}}+k^{2}psi =0}
3
Lahendage ülaltoodud võrrand. See võrrand on klassikalisest mehaanikast tuttav kui lihtsat harmoonilist liikumist kirjeldav võrrand. Diferentsiaalvõrrandite teooria ütleb, et ülaltoodud võrrandi üldlahendus on järgmisel kujul, kus A{displaystyle A} ja B{displaystyle B} on suvalised komplekskonstandid ja L{displaystyle L} on kasti laius. Arvutuste lihtsuse huvides valime koordinaadid nii, et kasti üks ots asub x=0{displaystyle x=0}.ψ(x)=Asinâ¡kx+Bcosâ¡kx,0