Lineaaralgebras on maatriksvõrrandid väga sarnased tavaliste algebraliste võrranditega, kuna me manipuleerime võrrandiga muutuja eraldamiseks tehteid kasutades. Kuid maatriksite omadused piiravad mõnda neist tehtetest, seega peame tagama, et iga tehe oleks õigustatud. Maatriksi kõige olulisem omadus maatriksvõrrandite käsitlemisel on maatriksi pööratavus. Seetõttu alustame asjakohaste teoreemide ülevaatamisega.
1
Lahendage allolev maatriksvõrrand. Eeldame, et kõik maatriksid on ruutmaatriksid. (A−AX)−1=X−1B{displaystyle (A-AX)^{-1}=X^{-1}B}
2
Analüüsige pööratavuse võrrandit. Kuna A−AX{displaystyle A-AX} on pööratav, on seda ka A(I−X).{displaystyle A(I-X).} Siis on nii A{displaystyle A} kui ka I−X{displaystyle I-X} ümberpööratav. Lisaks on X−1B{displaystyle X^{-1}B} ümberpööratav, sest kui võtame mõlema poole pöördväärtuse, siis A−AX=(X−1B)−1{displaystyle A-AX=(X^ {-1}B)^{-1}} on täpselt määratletud, kuna A−AX{displaystyle A-AX} on pööratav. Siis X−1B{displaystyle X^{-1}B} pöördväärtus on ümberpööratav ja sama on ka X−1B.{displaystyle X^{-1}B.} Lõpuks saame järeldada, et B{displaystyle B} on pööratav.
3
Eraldage X{displaystyle X}. Jääb üle teha standardsed algebralised manipulatsioonid, jälgides, et maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne. Seetõttu on oluline toimingute tegemise järjekord. Näiteks 5. real on X{displaystyle X} faktoritegur selle poolest oluline, et see peab asuma paremal pool.X(A−AX)−1=BX=B(A−AX)X=BA− BAXBAX+X=BA(I+BA)X=BAX=(I+BA)−1BA{displaystyle {begin{aligned}X(A-AX)^{-1}&=B\X&=B (A-AX)\X&=BA-BAX\BAX+X&=BA\(I+BA)X&=BA\X&=(I+BA)^{-1}BAlõpp{joondatud}} }Pange tähele, et viimasel real pidime eeldama, et I+BA{displaystyle I+BA} on ümberpööratav. See on selliste võrrandite puhul vältimatu. Teatud avaldiste puhul saame järeldada pöördumatust, kuid lahenduse defineerimiseks tuleb eeldada teisi.
4
Lahendage alltoodud ülesanne. Oletame, et M=(ABCD),{displaystyle M={begin{pmatrix}A&B\C&Dend{pmatrix}},} kus A,B,C,{kuvastiil A, ,B,,C,} ja D{displaystyle D} on ruutmaatriksid ning A{displaystyle A} ja D{displaystyle D} on pööratavad. Otsige üles M−1.{displaystyle M^{-1}.}
5
Oletame, et M−1{displaystyle M^{-1}} saab kirjutada järgmiselt. Seejärel peame leidma E,F,G,{displaystyle E,,F,,G,} ja H{displaystyle H} ühikutes A,B,C,{displaystyle A,,B ,,C,} ja D.{displaystyle D.}M−1=(EFGH){displaystyle M^{-1}={begin{pmatrix}E&F\G&Hend{pmatrix}}}Seejärel , (ABCD)(EFGH)=(I00I).{displaystyle {begin{pmatrix}A&B\C&Dend{pmatrix}}{begin{pmatrix}E&F\G&Hend{pmatrix}}={ begin{pmatrix}I&0\0&Iend{pmatrix}}.}
6
Nelja võrrandi saamiseks korrutage maatriks välja.{AE+BG=IAF+BH=0CE+DG=0CF+DH=I{displaystyle {begin{cases}AE+BG&=I\AF+BH&=0\ CE+DG&=0\CF+DH&=Iend{cases}}}
7
Lahendage võrrandisüsteem.AF=−BHF=−A−1BH{displaystyle {begin{aligned}AF&=-BH\F&=-A^{-1}BHend{aligned}}}∠‘CA−1BH+DH=I(D−CA−1B)H=IH=(D−CA−1B)−1F=−A−1B(D−CA−1B)−1{kuvastiil { algus{joondatud}-CA^{-1}BH+DH&=I\(D-CA^{-1}B)H&=I\H&=(D-CA^{-1}B)^{- 1}\F&=-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}end{joonitud}}}CE=−DGG=−D−1CE{ kuvastiil {begin{aligned}CE&=-DG\G&=-D^{-1}CEend{aligned}}}AE−BD−1CE=I(A−BD−1C)E=IE=(A∠‘BD−1C)−1G=−D−1C(A−BD−1C)−1{displaystyle {begin{aligned}AE-BD^{-1}CE&=I\(A-BD) ^{-1}C)E&=I\E&=(A-BD^{-1}C)^{-1}\G&=-D^{-1}C(A-BD^{-1 }C)^{-1}end{joondatud}}}
8
Jõua lahenduseni. Ülaltoodud maatriksid on elemendid M−1.{displaystyle M^{-1}.}((A−BD−1C)−1−A−1B(D−CA−1B)−1−D∠‘1C(A−BD−1C)−1(D−CA−1B)−1){displaystyle {begin{pmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&- A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\-D^{-1}C(A-BD^{-1}C)^{-1}& (D-CA^{-1}B)^{-1}end{pmatrix}}}