Kõrgema astme polünoomi lahendamisel on sama eesmärk kui ruutarvul või lihtsal algebraavaldisel: koefitsieerige see nii palju kui võimalik, seejärel kasutage tegureid, et leida lahendused polünoomile, kus y = 0. Polünoomide lahendamiseks x3-ga on palju lähenemisviise. {displaystyle x^{3}} termin või kõrgem. Võimalik, et peate kasutama mitut, enne kui leiate oma probleemile sobiva.
1
Arvestage kõigist terminitest välja ühised tegurid. Kui polünoomi igal liikmel on ühine tegur, arvutage see probleemi lihtsustamiseks välja. See ei ole kõigi polünoomide puhul võimalik, kuid see on hea viis kõigepealt kontrollida. Näide 1: lahendage x polünoomi 2×3+12×2+16x=0{displaystyle 2x^{3}+12x^{2}+16x= 0}.Iga termin jagub 2x, seega arvutage see välja:(2x)(x2)+(2x)(6x)+(2x)(8)=0{displaystyle (2x)(x^{2}) +(2x)(6x)+(2x)(8)=0}=(2x)(x2+6x+8){displaystyle =(2x)(x^{2}+6x+8)}Nüüd lahendage ruutvõrrand ruutvalemi või faktoringu abil:(2x)(x+4)(x+2)=0{displaystyle (2x)(x+4)(x+2)=0}Lahendused on 2x = 0 , x+4=0 ja x+2=0. Lahendused on x=0, x=-4 ja x=-2.
2
Tuvastage polünoomid, mis toimivad ruutmärgina. Tõenäoliselt teate juba, kuidas lahendada teise astme polünoome kujul ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}. Mõnda kõrgema astme polünoomi saate lahendada samal viisil, kui need on kujul ax2n+bxn+c{displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c}. Siin on paar näidet: Näide 2: 3×4+4×2−4=0{displaystyle 3x^{4}+4x^{2}-4=0}Olgu a=x2{displaystyle a=x^{2}} :3a2+4a−4=0{displaystyle 3a^{2}+4a-4=0}Lahendage ruutsuurus mis tahes meetodiga:(3a−2)(a+2)=0{displaystyle (3a-2) (a+2)=0} nii et a = -2 või a = 2/3Asenda x2{displaystyle x^{2}}: x2=−2{displaystyle x^{2}=-2} või x2=2/3{displaystyle x^{2}=2/3}x = ±√(2/3). Teisel võrrandil x2=−2{displaystyle x^{2}=-2} pole tegelikku lahendust. (Kompleksarvude kasutamisel lahendage x = ±i√2). Näide 3: x5+7×3−9x=0{displaystyle x^{5}+7x^{3}-9x=0} ei järgi seda mustrit, kuid pange tähele, et saate arvestada x:(x)(x4+7×2−9)=0{displaystyle (x)(x^{4}+7x^{2}-9)=0}Nüüd saate ravida x4 +7×2−9{displaystyle x^{4}+7x^{2}-9} ruutmärgina, nagu on näidatud näites 2.
3
Kuubikute koefitsientide summad või erinevused. Neid erijuhtumeid on raske arvesse võtta, kuid neil on omadused, mis muudavad probleemi palju lihtsamaks: Kuubikute summa: polünoom kujul a3+b3{displaystyle a^{3}+b^{3}} faktoriks (a+ b)(a2−ab+b2){displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}. Kuubikute erinevus: polünoom kujul a3−b3{displaystyle a ^{3}-b^{3}} tegurit (a−b)(a2+ab+b2){displaystyle (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}. Pange tähele, et tulemuse ruutosa ei ole faktoritav. Pange tähele, et x6{displaystyle x^{6}}, x9{displaystyle x^{9}} ja x mis tahes astmele, mis jagub 3-ga, sobivad kõik nende mustritega.
4
Teiste tegurite leidmiseks otsige mustreid. Polünoomidel, mis ei näe välja nagu ülaltoodud näidetes, ei pruugi olla ilmseid tegureid. Kuid enne allolevate meetodite proovimist proovige otsida kaheliikmelist tegurit (nt “x+3”). Terminite rühmitamine erinevatesse järjekordadesse ja osa polünoomist välja arvutamine võib aidata teil seda leida. See ei ole alati teostatav, seega ärge kulutage liiga palju aega proovimisele, kui ükski ühine tegur ei tundu tõenäoline. Näide 4: −3×3−x2+6x+2=0{displaystyle -3x^{3}-x^ {2}+6x+2=0}Sellel pole ilmset tegurit, kuid võite arvesse võtta kahte esimest terminit ja vaadata, mis juhtub:(−x2)(3x+1)+6x+2=0{displaystyle (- x^{2})(3x+1)+6x+2=0}Korrutage nüüd kaks viimast liiget (6x+2), et saavutada ühine tegur:(−x2)(3x+1)+(2) (3x+1)=0{displaystyle (-x^{2})(3x+1)+(2)(3x+1)=0}Nüüd kirjutage see ümber, kasutades ühistegurit 3x+1:(3x+ 1)(−x2+2)=0{displaystyle (3x+1)(-x^{2}+2)=0}
5
Proovige tuvastada polünoomi üks juur. Sünteetiline jagamine on kasulik viis kõrget järku polünoomide arvessevõtmiseks, kuid see töötab ainult siis, kui teate üht juurtest (või “nullidest”). Võimalik, et saate selle leida ülalkirjeldatud faktooringu abil või probleem võib seda pakkuda. Kui jah, jätke sünteetilise jagamise juhiste juurde. Kui te juurt ei tea, jätkake järgmise sammuga ja proovige seda leida. Polünoomi juur on x väärtus, mille puhul y = 0. Juure c teadmine annab teile ka polünoomi teguri (x – c).
6
Loetlege konstantse liikme tegurid. “Ratsionaalsete juurte” test on viis võimalike juurväärtuste ära arvamiseks. Alustuseks loetlege kõik konstandi (muutujata termin) tegurid. Näide: polünoomil 2×3+x2−12x+9{displaystyle 2x^{3}+x^{2}-12x+9} on konstantne liige 9. Selle tegurid on 1, 3 ja 9.
7
Loetlege juhtiva koefitsiendi tegurid. See on polünoomi esimese liikme koefitsient, kui see on järjestatud kõrgeima astme liikmest madalaima. Loetlege kõik selle arvu tegurid eraldi real.Näide (jätkub): 2×3+x2−12x+9{displaystyle 2x^{3}+x^{2}-12x+9} esikoefitsient on 2. Selle tegurid on 1 ja 2.
8
Otsige üles võimalikud juured. Kui polünoomil on ratsionaalne juur (mida tal ei pruugi olla), peab see olema võrdne ± (konstandi tegur)/(juhtkoefitsiendi koefitsient). Sellel kujul saab algpolünoomi teguris (x-c) esineda ainult arv c.Näide (jätkub): selle polünoomi kõik ratsionaalsed juured on kujul (1, 3 või 9), mis on jagatud (1 või 2) ). Võimalused hõlmavad ± 1/1, ± 1/2, ± 3/1, ± 3/2, ± 9/1 või ± 9/2. Ärge unustage “±”: kõik need võimalused võivad olla positiivsed või negatiivsed.
9
Katsetage juuri, kuni leiate sobiva. Ükski neist pole garanteeritud juurteks, seega peate neid testima algse polünoomiga.Näide: (1/1=1) on võimalik juur. Kui see osutub tegelikuks juureks, peaks selle ühendamine polünoomiga andma tulemuseks null.2(1)3+(1)2−12(1)+9=2+1−12+9=0{displaystyle 2(1)^{3}+(1)^{2}-12(1)+9=2+1-12+9=0}, seega kinnitatakse, et 1 on juur. See tähendab, et polünoomil on tegur (x-1). Kui ükski võimalustest ei tööta, ei ole polünoomil ratsionaalseid juuri ja seda ei saa faktoreerida.
10
Seadistage sünteetilise jagamise probleem. Sünteetiline jagamine on viis leida kõik polünoomi tegurid, kui sa juba tead üht neist. Selle seadistamiseks kirjutage polünoomi juur. Tõmmake sellest paremale vertikaaljoon, seejärel kirjutage oma polünoomi koefitsiendid järjestatuna kõrgeimast astmest madalaimani. (Te ei pea kirjutama termineid endid, vaid ainult koefitsiente.) Märkus. Võimalik, et peate sisestama termineid, mille koefitsient on null. Näiteks kirjutage polünoom x3+2x{displaystyle x^{3}+2x} ümber kujule x3+0x2+2x+0{displaystyle x^{3}+0x^{2}+2x+0}. Näide ( järg): Ülaltoodud ratsionaalsete juurte test näitas meile, et polünoomil 2×3+x2−12x+9{displaystyle 2x^{3}+x^{2}-12x+9} on juur 1. Kirjutage juur 1, järgneb vertikaaljoon, millele järgneb polünoomi koefitsiendid:(1|21−129){displaystyle {begin{pmatrix}1|&2&1&-12&9end{pmatrix}}}
11
Kandke esimene koefitsient alla. Kopeerige esimene koefitsient vastusereale. Hilisemate arvutuste jaoks jätke kahe numbri vahele tühi rida.Näide (jätkub): viige 2 alla vastusereale:(1|21−1292){displaystyle {begin{pmatrix}1|&2&1&-12&9 \&2end{pmatrix}}}
12
Korrutage see arv juurega. Kirjutage vastus otse järgmise liikme alla, kuid mitte vastusereale.Näide (jätkub): korrutage 2 juurega 1, et saada uuesti 2. Kirjutage see 2 järgmisse veergu, kuid vastuserea asemel teisele reale:(1|21−12922){displaystyle {begin{pmatrix}1|&2&1&-12&9\&&2\&2end{pmatrix }}}
13
Vastuse järgmise osa saamiseks lisage veeru sisu kokku. Teine koefitsiendi veerg sisaldab nüüd kahte numbrit. Summeerige need kokku ja kirjutage tulemus otse nende alla olevale vastusereale.Näide (jätkub): 1 + 2 = 3(1|21−129223){displaystyle {begin{pmatrix}1|&2&1&-12&9\&&2 \&2&3end{pmatrix}}}
14
Korrutage tulemus juurega. Nii nagu varemgi, korrutage vastusereal viimane arv juurega. Kirjutage oma vastus järgmise koefitsiendi alla. Näide (jätkub): 1 x 3 = 3:(1|21−1292323){displaystyle {begin{pmatrix}1|&2&1&-12&9\&&2&3\&2&3end{ pmatrix}}}
15
Leidke järgmise veeru summa. Nagu varemgi, liidage kaks numbrit veerus ja kirjutage tulemus vastuse reale.Näide (jätkub): -12 + 3 = -9:(1|21−1292323−9){displaystyle {begin{ pmatrix}1|&2&1&-12&9\&&2&3\&2&3&-9end{pmatrix}}}
16
Korrake seda protsessi, kuni jõuate viimase veeruni. Teie vastuserea viimane number on alati null. Kui saate mõne muu tulemuse, kontrollige oma töös vigu.Näide (jätkub): korrutage -9 juurega 1, kirjutage vastus viimase veeru alla, seejärel kinnitage, et viimase veeru summa on null:(1| 21−12923−923−90){displaystyle {begin{pmatrix}1|&2&1&-12&9\&&2&3&-9\&2&3&-9&0end{pmatrix}}}
17
Teise teguri leidmiseks kasutage vastuserida. Nüüd olete polünoomi jaganud terminiga (x – c), kus c on teie tegur. Vastuse rida näitab teile vastuse iga termini koefitsienti. Iga liikme x-osal on astendaja, mis on ühe võrra madalam kui algsel liikmel otse selle kohal.Näide (jätkub): vastuserida on 2 3 -9 0, kuid võite lõplikku nulli ignoreerida.Alates algse liikme esimesest liikmest polünoom sisaldab x3{displaystyle x^{3}}, on teie vastuse esimene liige ühe kraadi võrra madalam: x2{displaystyle x^{2}}. Seetõttu on esimene termin 2×2{displaystyle 2x^{2}}Korrake seda protsessi, et saada vastus 2×2+3x−9{displaystyle 2x^{2}+3x-9}. Olete nüüd arvestanud 2×3+x2− 12x+9{displaystyle 2x^{3}+x^{2}-12x+9} sisse (x−1)(2×2+3x−9){displaystyle (x-1)(2x^{2}+ 3x-9)}.
18
Vajadusel korrake. Võimalik, et saate oma vastuse väiksemateks osadeks jagada, kasutades sama sünteetilise jagamise meetodit. Siiski võite probleemi lahendamiseks kasutada kiiremat meetodit. Näiteks kui teil on ruutväljend, saate selle ruutvalemi abil faktoreerida. Pidage meeles, et sünteetilise jagamise meetodi käivitamiseks peate juba teadma üht juurt. Selle saamiseks kasutage uuesti ratsionaalsete juurte testi. Kui ükski ratsionaalse juure võimalustest ei kontrollita, ei saa avaldist faktoreerida.Näide (jätkub) Olete leidnud tegurid (x−1)(2×2+3x−9){displaystyle (x-1)(2x^ {2}+3x-9)}, kuid teist tegurit saab veelgi jaotada. Proovige ruutvõrrandit, traditsioonilist faktooringut või sünteetilist jagamist. Lõplik vastus on (x−1)(x+3)(2x−3){displaystyle (x-1)(x+3)(2x-3)} , seega on polünoomi juured x = 1, x = -3 ja x = 3/2.