Mõne matemaatilise jada valemi leidmisel on tavaline vaheetapp n-nda liikme leidmiseks mitte n-i funktsioonina, vaid jada varasemate liikmete järgi. Näiteks kuigi oleks tore, kui Fibonacci jada n-nda liikme jaoks oleks suletud vormi funktsioon, on teil mõnikord ainult kordusseos, nimelt see, et Fibonacci jada iga liige on kahe eelmise liikme summa. See artikkel tutvustab mitmeid meetodeid suletud vormi valemi tuletamiseks kordumisest.
1
Vaatleme aritmeetilist jada, näiteks 5, 8, 11, 14, 17, 20, ….
2
Kuna iga termin on eelmisest 3 võrra suurem, saab seda väljendada korduvusena, nagu näidatud.
3
Arvestage, et iga vormi an = an-1 + d kordumine on aritmeetiline jada.
4
Kirjutage aritmeetilise jada suletud vormis valem, võib-olla tundmatutega, nagu näidatud.
5
Lahendage kõik tundmatud, sõltuvalt sellest, kuidas jada lähtestati. Sel juhul, kuna 5 oli 0. liige, on valem an = 5 + 3n. Kui soovite selle asemel, et esimene liige oleks 5, saaksite = 2 + 3n.
6
Mõelge geomeetrilisele jadale nagu 3, 6, 12, 24, 48, ….
7
Kuna iga termin on kaks korda suurem kui eelmine, saab seda väljendada korduvusena, nagu näidatud.
8
Arvestage, et iga vormi an = r * an-1 kordumine on geomeetriline jada.
9
Kirjutage geomeetrilise jada suletud vormis valem, võib-olla tundmatutega, nagu näidatud.
10
Lahendage kõik tundmatud, sõltuvalt sellest, kuidas jada lähtestati. Sel juhul, kuna 3 oli 0. liige, on valem an = 3*2n. Kui soovite selle asemel, et esimene liige oleks 3, saaksite = 3*2(n-1).
11
Vaatleme rekursiooniga an = an-1 + n2 – 6n antud jada 5, 0, -8, -17, -25, -30, ….
12
Igal näidatud kujul rekursioonil, kus p(n) on mis tahes polünoom n-s, on polünoomi suletud vormi valem, mille aste on p astmest üks kõrgem.
13
Kirjutage vajaliku astme polünoomi üldkuju. Selles näites on p ruut, seega vajame jada an esindamiseks kuupmeetrit.
14
Kuna üldkuubil on neli tundmatut koefitsienti, on saadud süsteemi lahendamiseks vaja jada nelja liiget. Suvaline neli sobib, seega kasutame termineid 0, 1, 2 ja 3. Korduse käitamine tagurpidi, et leida -1. liige, võib mõningaid arvutusi lihtsamaks teha, kuid see pole vajalik.
15
Lahendage saadud kraadi võrrandite süsteem kraadides (p) = 2 tundmatutes või sobitage Lagrange’i polünoom kraadiga (p) + 2 tuntud punktiga. Kui null liige oli üks mõistetest, mida kasutasite lahendamiseks koefitsientide jaoks saate polünoomi konstantse liikme tasuta ja saate kohe taandada süsteemi deg(p)+1 võrranditeks kraadides(p)+1 tundmatutes, nagu näidatud.
16
Esitage suletud valem teadaolevate kordajatega polünoomina.
17
See on esimene meetod, mis suudab lahendada sissejuhatuses oleva Fibonacci jada, kuid meetod lahendab kõik kordused, kus n-s liige on eelneva k liikme lineaarne kombinatsioon. Nii et proovime seda erineva näitega, mille esimesed liikmed on 1, 4, 13, 46, 157, ….
18
Kirjutage kordumise iseloomulik polünoom. See leitakse, asendades iga a korduses xn-ga ja jagades x(n-k)-ga, jättes järele k-astme monionpolünoomi ja nullist erineva konstantse liikme.
19
Lahendage iseloomulik polünoom. Sel juhul on tunnusel aste 2, nii et saame selle juurte leidmiseks kasutada ruutvalemit.
20
Iga näidatud vormi avaldis rahuldab rekursiooni. ci on mis tahes konstandid ja eksponentide alused on ülaltoodud tunnuse juured. Seda saab kontrollida induktsiooniga. Kui tunnusel on mitu juurt, muudetakse seda sammu veidi. Kui r on kordsuse m juur, kasutage lihtsalt (c1rn) asemel (c1rn + c2nrn + c3n2rn + … + cmnm-1rn). Näiteks jada, mis algab 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, … rahuldab rekursiivset seost an = 6an-1 – 12an-2 + 8an-3. Iseloomuliku polünoomi kolmikjuur on 2 ja suletud vormi valem an = 5*2n – 7*n*2n + 2*n2*2n.
21
Leia ci, mis vastab määratud algtingimustele. Nagu polünoomi näite puhul, tehakse seda algliikmetest lineaarse võrrandisüsteemi loomisega. Kuna selles näites on kaks tundmatut, vajame kahte terminit. Kõik kaks sobivad, seega võtke 0 ja 1, et vältida irratsionaalarvu tõstmist suure astmeni.
22
Lahendage saadud võrrandisüsteem.
23
Sisestage saadud konstandid lahendusena üldvalemisse.
24
Vaatleme näidatud rekursiooniga antud jada 2, 5, 14, 41, 122 …. Seda ei saa lahendada ühegi ülaltoodud meetodi abil, kuid valemi saab leida genereerivate funktsioonide abil.
25
Kirjutage jada genereeriv funktsioon. Genereeriv funktsioon on lihtsalt formaalne astmerida, kus xn koefitsient on jada n-s liige.
26
Manipuleerige genereerimisfunktsiooni, nagu näidatud. Selle sammu eesmärk on leida võrrand, mis võimaldab meil lahendada genereeriva funktsiooni A(x). Eemaldage esialgne termin. Rakenda ülejäänud terminitele kordusseos. Jagage summa. Konstantsete terminite eraldamine. Kasutage A(x) definitsiooni. Kasutage geomeetrilise jada summa valemit.
27
Leia genereeriv funktsioon A(x).
28
Leia xn koefitsient punktis A(x). Selle tegemiseks kasutatavad meetodid varieeruvad sõltuvalt sellest, kuidas A(x) täpselt välja näeb, kuid osaliste murdude meetod koos geomeetrilise jada genereeriva funktsiooni tundmisega töötab siin nii, nagu näidatud.
29
Kirjutage a valem, tuvastades xn-i koefitsiendi A(x)-s.