Ratsionaalfunktsioon on võrrand, mis on kujul y = N(x)/D(x), kus N ja D on polünoomid. Katse visandada käsitsi täpset graafikut võib olla põhjalik ülevaade paljudest kõige olulisematest keskkooli matemaatikateemadest alates algebrast kuni diferentsiaalarvutuseni. Vaatleme järgmist näidet: y = (2×2 – 6x + 5)/(4x + 2).
1
Leidke y lõikepunkt. Seadke lihtsalt x = 0. Kõik peale konstantide kaovad, jättes y = 5/2. Väljendades seda koordinaatpaarina, on (0, 5/2) punkt graafikul. Joonistage see punkt graafikule.
2
Leidke horisontaalne asümptoot. Jagage nimetaja pikalt lugejaks, et määrata y käitumine x suurte absoluutväärtuste korral. Selles näites näitab jagamine, et y = (1/2)x – (7/4) + 17/(8x + 4). x suurte positiivsete või negatiivsete väärtuste korral läheneb 17/(8x + 4) nullile ja graafik läheneb sirgele y = (1/2)x – (7/4). Joonistage see joon katkendliku või kergelt tõmmatud joonega. Kui lugeja aste on nimetaja astmest väiksem, pole jagamist vaja ja asümptoot on y = 0. Kui deg(N) = deg( D), asümptoot on horisontaaljoon juhtkoefitsientide suhtega.Kui deg(N) = deg(D) + 1, on asümptoodiks joon, mille kalle on juhtkoefitsientide suhe.Kui deg(N) > deg(D) + 1, siis suurte |x| väärtuste korral läheb y kiiresti positiivse või negatiivse lõpmatusse ruut-, kuup- või kõrgema astme polünoomina. Sel juhul ei tasu ilmselt jagamise jagatise täpset graafikut koostada.
3
Leia nullid. Ratsionaalfunktsioonil on null, kui selle lugeja on null, seega määrake N(x) = 0. Näites 2×2 – 6x + 5 = 0. Selle ruutfunktsiooni diskriminant on b2 – 4ac = 62 – 4*2*5 = 36 – 40 = -4. Kuna diskriminant on negatiivne, pole N(x) ja järelikult ka f(x) tegelikke juuri. Graafik ei ristu kunagi x-teljega. Kui leiti mõni null, lisage need punktid graafikule.
4
Leidke vertikaalsed asümptoodid. Vertikaalne asümptoot tekib siis, kui nimetaja on null. Seadistus 4x + 2 = 0 annab vertikaalse joone x = -1/2. Joonistage iga vertikaalne asümptoot heleda või katkendliku joonega. Kui mingi x väärtus teeb nii N(x) = 0 kui ka D(x) = 0, siis võib seal olla vertikaalne asümptoot, aga ei pruugi olla. See on haruldane, kuid vaadake näpunäiteid, kuidas sellega toime tulla, kui see juhtub.
5
Vaadake 2. etapis ülejäänud jaotust. Millal on see positiivne, negatiivne või null? Näites on jäägi lugejaks 17, mis on alati positiivne. Nimetaja 4x + 2 on vertikaalsest asümptoodist paremal positiivne ja vasakul negatiivne. See tähendab, et graafik läheneb lineaarsele asümptoodile ülaltoodud x suurte positiivsete väärtuste korral ja altpoolt x suurte negatiivsete väärtuste korral. Kuna 17/(8x + 4) ei saa kunagi olla null, ei ristu see graafik kunagi sirgega y = (1/2)x – (7/4). Ärge lisage graafikule praegu midagi, kuid märkige need järeldused hilisemaks.
6
Leidke kohalik äärmus. Lokaalne ekstreemum võib esineda alati, kui N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. Näites N'(x) = 4x – 6 ja D'(x) = 4. N'(x)D(x) – N(x)D'(x) = (4x – 6) (4x + 2) – (2×2 – 6x + 5)*4 = 0. Laiendamine, terminite kombineerimine ja jagamine 4 lehe võrra x2 + x – 4 = 0. Ruutvalem näitab juure x = 3/2 ja x = -5/2 lähedal. (Need erinevad täpsetest väärtustest umbes 0,06 võrra, kuid meie graafik ei ole piisavalt täpne, et selle detailsuse pärast muretseda. Korraliku ratsionaalse lähenduse valimine muudab järgmise sammu lihtsamaks.)
7
Leidke iga kohaliku ekstreemumi y-väärtused. Vastavate y-väärtuste leidmiseks ühendage eelmise sammu x-väärtused tagasi algsesse ratsionaalsesse funktsiooni. Näites f(3/2) = 1/16 ja f(-5/2) = -65/16. Lisage need punktid (3/2, 1/16) ja (-5/2, -65/16) graafikule. Kuna tegime eelmises etapis ligikaudse hinnangu, ei ole need täpsed miinimumid ja maksimumid, kuid on tõenäoliselt lähedased. (Me teame, et (3/2, 1/16) on väga lähedal kohalikule miinimumile. Alates 3. sammust teame, et y on alati positiivne, kui x > -1/2 ja leidsime nii väikese väärtuse kui 1/16, nii et vähemalt sel juhul on viga tõenäoliselt väiksem kui joone paksus.)
8
Ühendage punktid ja sirutage graafik sujuvalt teadaolevatest punktidest asümptootideni, jälgides, et lähenete neile õigest suunast. Ärge ristage x-telge, välja arvatud punktides, mis on juba 3. sammus leitud. Ärge ületage horisontaalset või lineaarset asümptooti, välja arvatud punktides, mis on juba 5. sammus leitud. Ärge muutke ülespoole kaldut allapoole, välja arvatud juhul, kui eelmises etapis leitud äärmus.