Kvantharmooniline ostsillaator on klassikalise lihtsa harmoonilise ostsillaatori kvantanaloog. Põhiseisulahendust kasutades võtame positsiooni ja impulsi ootusväärtused ning kontrollime nende abil määramatuse printsiipi.
1
Tuletage meelde Schrödingeri võrrandit. See osadiferentsiaalvõrrand on kvantmehaanika põhiline liikumisvõrrand, mis kirjeldab, kuidas kvantseisund ψ{displaystyle psi } ajas areneb. H^{displaystyle {hat {H}}} tähistab Hamiltoni energiaoperaatorit, mis kirjeldab süsteemi koguenergiat.iâ„∂ψ∂t=H^ψ{displaystyle ihbar {frac {partial psi }{partial t}}={hat {H}}psi }
2
Kirjutage harmoonilise ostsillaatori jaoks välja Hamiltoni. Kuigi asendi ja impulsi muutujad on asendatud neile vastavate operaatoritega, sarnaneb avaldis endiselt klassikalise harmoonilise ostsillaatori kineetilise ja potentsiaalse energiaga. Kuna töötame füüsilises ruumis, annab positsioonioperaator x^=x,{displaystyle {hat {x}}=x,}, impulsi operaator aga p^=−iâ„∂ ∂x.{displaystyle {hat {p}}=-ihbar {frac {partial }{partial x}}.}H^=p^22m+12mω2x^2{displaystyle { hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}{hat {x }}^{2}}
3
Kirjutage välja ajast sõltumatu Schrödingeri võrrand. Näeme, et Hamiltoni ei sõltu otseselt ajast, seega on võrrandi lahendid statsionaarsed olekud. Ajast sõltumatu Schrödingeri võrrand on omaväärtusvõrrand, seega tähendab selle lahendamine, et leiame energia omaväärtused ja neile vastavad omafunktsioonid – lainefunktsioonid. frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {mathrm {d} ^{2}psi }{mathrm {d} x^{2}}}+{frac {1}{ 2}}momega ^{2}x^{2}psi =Epsi }
4
Lahendage diferentsiaalvõrrand. Sellel diferentsiaalvõrrandil on muutuvad koefitsiendid ja seda ei ole lihtne elementaarsete meetoditega lahendada. Kuid pärast normaliseerimist saab põhiseisundi lahenduse kirjutada nii. Pidage meeles, et see lahendus kirjeldab ainult ühemõõtmelist ostsillaatorit.ψ(x)=(mωπâ„)1/4expâ¡¡(−mω2â„x2){displaystyle psi (x)= left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}exp left(-{frac {momega }{2hbar }}x^{ 2}right)}See on Gaussi funktsioon, mille keskpunkt on x=0.{displaystyle x=0.} Kasutame fakti, et see funktsioon on isegi meie arvutuste lihtsustamiseks järgmises osas.
5
Tuletage meelde määramatuse valem. Vaadeldava objekti, näiteks asukoha määramatus on matemaatiliselt standardhälve. See tähendab, et leiame keskmise väärtuse, võtame iga väärtuse ja lahutame keskmisest, ruudustame need väärtused ja keskmise ning võtame seejärel ruutjuure.σx=⟨x2⟩−⟨x⟩2{displaystyle sigma _ {x}={sqrt {langle x^{2}rangle -langle xrangle ^{2}}}}
6
Otsige üles ⟨x⟩{displaystyle langle xrangle }. Kuna funktsioon on paaris, saame sümmeetria põhjal järeldada, et ⟨x⟩=0.{displaystyle langle xrangle =0.}Kui seadistate hindamiseks vajaliku integraali, avastate, et integrand on paaritu funktsioon, sest paaritu funktsioon korda paaris funktsioon on paaritu.⟨x⟩=∫−∞∞x|ψ(x)|2dx{displaystyle langle xrangle =int _{-infty }^{ infty }x|psi (x)|^{2}mathrm {d} x}Üks paaritu funktsiooni omadus on see, et funktsiooni iga positiivse väärtuse jaoks on olemas doppelgänger – vastav negatiivne väärtus -, mis tühistab need. Kuna me hindame kõiki x{displaystyle x} väärtusi, teame, et integraali väärtus on 0, ilma et peaks tegelikult arvutusi tegema.
7
Arvutage ⟨x2⟩{displaystyle langle x^{2}rangle }. Kuna meie lahendus on kirjutatud pideva lainefunktsioonina, peame kasutama allolevat integraali. Integraal kirjeldab üle kogu ruumi integreeritud x2{displaystyle x^{2}} ootusväärtust.⟨x2⟩=∫−∞∞x2|ψ(x)|2dx{displaystyle langle x^{2} rangle =int _{-infty }^{infty }x^{2}|psi (x)|^{2}mathrm {d} x}
8
Asendage lainefunktsioon integraaliga ja lihtsustage. Teame, et lainefunktsioon on ühtlane. Paarisfunktsiooni ruut on sama hästi, nii et saame välja tõmmata teguri 2 ja muuta alumise piiri väärtuseks 0.⟨x2⟩=2(mωπâ„)1/2∫0∞x2expâ¡ (−mωâ„x2)dx{displaystyle langle x^{2}rangle =2left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/ 2}int _{0}^{infty }x^{2}exp left(-{frac {momega }{hbar }}x^{2}right)mathrm {d} x}
9
Hinda. Esmalt olgu α=mωâ„.{displaystyle alpha ={frac {momega }{hbar }}.} Järgmisena kasutame osade kaupa integreerimise asemel gammafunktsiooni.⟨ x2⟩=2(mωπâ„)1/2∫0∞x2e−αx2dx,  u=αx2=2(mωπâ„)1/2∫0âÆžuÎ’±e ±x,  x=uα=(mωπâ„)1/2α−3/2∫0∞u1/2e−udu=(mωπâ„)1/2(mω â„)−3/2Γ(32),  Γ(32)=Ï€2=â„mω1ππ2=â„2mω{displaystyle {begin{ joondatud }langle x^{2}rangle &=2left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{infty }x^{2}e^{-alpha x^{2}}mathrm {d} x, u=alpha x^{2}\&=2left({frac {m omega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{infty }{frac {u}{alpha }}e^{-u}mathrm {d } u{frac {1}{2alpha x}}, x={sqrt {frac {u}{alpha }}}\&=left({frac {momega } {pi hbar }}right)^{1/2}alpha ^{-3/2}int _{0}^{infty }u^{1/2}e^{-u} mathrm {d} u\&=left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}left({frac {momega }{hbar }}right)^{-3/2}Gamma left({frac {3}{2}}right), Gamma left({frac {3}{2}}right )={frac {sqrt { pi }}{2}}\&={frac {hbar }{momega }}{frac {1}{sqrt {pi }}}{frac {sqrt {pi }} {2}}\&={frac {hbar }{2momega }}end{aligned}}}
10
Jõua positsiooni määramatuseni. Kasutades selle osa 1. sammus kirjutatud seost, tuleneb meie tulemustest kohe σx{displaystyle sigma _{x}}.σx=â„2mω{displaystyle sigma _{x}={sqrt { frac {hbar }{2momega }}}}
11
Otsige üles ⟨p⟩{displaystyle langle prangle }. Nagu ka keskmise positsiooni puhul, saab esitada sümmeetriaargumendi, mis annab tulemuseks ⟨p⟩=0.{displaystyle langle prangle =0.}
12
Arvutage ⟨p2⟩{displaystyle langle p^{2}rangle }. Selle asemel, et kasutada lainefunktsiooni selle eeldatava väärtuse otseseks arvutamiseks, saame vajalike arvutuste lihtsustamiseks kasutada lainefunktsiooni energiat. Harmoonilise ostsillaatori põhioleku energia on toodud allpool.E0=12â„ω{displaystyle E_{0}={frac {1}{2}}hbar omega }
13
Seostage põhiseisundi energia osakese kineetilise ja potentsiaalse energiaga. Eeldame, et see seos ei kehti mitte ainult iga positsiooni ja hoo, vaid ka nende ootusväärtuste puhul.12â„ω=⟨p2⟩2m+12mω2⟨x2⟩{displaystyle {frac {1}{ 2}}hbar omega ={frac {langle p^{2}rangle }{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}langle x^{2 }rangle }
14
Lahenda ⟨p2⟩{displaystyle langle p^{2}rangle }.mâ„ω=⟨p2⟩+m2ω2â„2mω{displaystyle mhbar omega =langle p ^{2}rangle +m^{2}omega ^{2}{frac {hbar }{2momega }}}⟨p2⟩=mâ„ω2{displaystyle langle p^ {2}rangle ={frac {mhbar omega }{2}}}
15
Jõua määramatuseni hoogsalt.σp=mâ„ω2{displaystyle sigma _{p}={sqrt {frac {mhbar omega }{2}}}}
16
Tuletage meelde Heisenbergi positsiooni ja hoo määramatuse põhimõtet. Määramatuse printsiip on põhipiir täpsusele, millega saame mõõta teatud vaadeldavate näitajate paare, nagu positsioon ja impulss. Määramatuse põhimõtte kohta lisateabe saamiseks vaadake näpunäiteid.σxσp≥â„2{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq {frac {hbar }{2}}}
17
Asendage kvantharmoonilise ostsillaatori määramatused.â„2mωmâ„ω2≥â„2â„2≥â„2{displaystyle {begin{aligned}{sqrt {frac {hbar }{2momega }}}{sqrt {frac {mhbar omega }{2}}}&geq {frac {hbar }{2}}\{frac { hbar }{2}}&geq {frac {hbar }{2}}end{aligned}}}Meie tulemused on kooskõlas määramatuse põhimõttega. Tegelikult saavutab see seos võrdsuse ainult põhiseisundis – kui kasutada kõrgemaid energiaseisundeid, siis asendis ja hoos olevad määramatused ainult kasvavad.