Kuidas kirjutada Maxwelli võrrandeid potentsiaalide alusel

Maxwelli kuulsad võrrandid koos Lorentzi jõuga kirjeldavad elektrodünaamikat väga lühidalt. Kuid see, mis näib olevat neli elegantset võrrandit, on tegelikult kaheksa osalist diferentsiaalvõrrandit, mida on raske lahendada, arvestades laengutihedust Ï{displaystyle rho } ja voolutihedust J,{displaystyle mathbf {J} ,} alates Faraday ajast. Seadus ja Ampere-Maxwelli seadus on vektorvõrrandid, millel on kumbki kolm komponenti. Maxwelli võrrandite ümbersõnastamine potentsiaalide alusel muudab elektrivälja E{displaystyle mathbf {E} } ja magnetvälja B{displaystyle mathbf {B} } lahendamise lihtsamaks. Kvantelektrodünaamikas formuleeritakse võrrandid peaaegu eranditult potentsiaalide, mitte väljade endi alusel.

1
Alustage Maxwelli võrranditest. Allpool on ϵ0{displaystyle epsilon _{0}} ja μ0{displaystyle mu _{0}} vastavalt elektri- ja magnetkonstandid (töötame SI-ühikutes).∇⋅E=Ï Ïµ0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t {{display-stiil } &={frac {rho }{epsilon _{0}}}\nabla cdot mathbf {B} &=0\nabla times mathbf {E} &=-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}\nabla times mathbf {B} &=mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{ 0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}end{joondatud}}}

2
Määratlege magnetiline potentsiaal. Gaussi magnetismi seadusest näeme, et magnetväljad on lahknemiseta läbi ∇⋅B=0.{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0.} Vektorarvutuses on teoreem, et lahknemine lokke on alati null. Seetõttu saame B{displaystyle mathbf {B} } ümber kirjutada magnetpotentsiaali A alusel.{displaystyle mathbf {A} .}B=∇×A{displaystyle mathbf {B} = nabla times mathbf {A} }Siit näeme, et magnetpotentsiaal on vektorpotentsiaal. See definitsioon täidab automaatselt Gaussi magnetismi seadust ülalmainitud vektoridentiteedi kaudu ∇⋅(∇×F)=0.{displaystyle nabla cdot (nabla times mathbf {F} )=0. }

3
Kirjutage Faraday seadus ümber magnetpotentsiaali järgi. Tuletage elektrostaatikas meelde, et E{displaystyle mathbf {E} } oli konservatiivne väli (st ∇×E=0{displaystyle nabla times mathbf {E} =0}), mis võimaldas meil kirjutada see skalaarpotentsiaali E=−∇ϕ seisukohalt.{displaystyle mathbf {E} =-nabla phi .} Elektrodünaamikas ei ole E{displaystyle mathbf {E} } enam konservatiivne, liikuvate laetud osakeste indutseeritud muutuva B{displaystyle mathbf {B} } välja olemasolu tõttu. Kui aga asendada Faraday seadusega B=∇×A{displaystyle mathbf {B} =nabla times mathbf {A} }, saadakse võrrand, mille skalaargradiendi saame võtta. Nii toimides rahuldab meie potentsiaalne definitsioon automaatselt veel ühe Maxwelli võrrandi.∇×E=−∂∂t(∇×A)∇×E=∇×−∂A∂ t∇×(E+∂A∂t)=0{displaystyle {begin{aligned}nabla &times mathbf {E} =-{frac {partial }{partial t}}( nabla times mathbf {A} )\nabla &times mathbf {E} =nabla times -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}\nabla &times left(mathbf {E} +{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}right)=0end{aligned}}}Nüüd saame koguse kirjutada sulgudes skalaarpotentsiaali järgi.E+∂A∂t=−∇ϕ{displaystyle mathbf {E} +{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}= -nabla phi }Lahendage E{displaystyle mathbf {E} }, et saada elektriväli potentsiaalide alusel.E=−∇ϕ−∂A∂t{displaystyle mathbf {E } =-nabla phi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}}

4
Kirjutage Gaussi seadus ümber potentsiaalide järgi. Nüüd, kui oleme kahe homogeense võrrandiga valmis, saame töötada ka ülejäänud kahe võrrandiga. −∂∂t(∇⋅A)=Ïϵ0{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot left(-nabla phi -{frac {partial mathbf { A} }{partial t}}right)&={frac {rho }{epsilon _{0}}}\-nabla ^{2}phi -{frac {partial }{ partial t}}(nabla cdot mathbf {A} )&={frac {rho }{epsilon _{0}}}end{joondatud}}}

5
Kirjutage Ampere-Maxwelli seadus ümber potentsiaalide osas.∇×(∇×A)=μ0J+μ0ϵ0∂∂t(−∇ϕ−∇ϕ−∇ϕ−∂Aˆplaytle) times (nabla times mathbf {A} )=mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial }{partial t} }left(-nabla phi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}right)}Kasutage BAC-CAB identiteeti. Vektorarvutuse vormi puhul on see ∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−∇2F.{displaystyle nabla times (nabla times mathbf {F} )=nabla (nabla cdot mathbf {F} )-nabla ^{2}mathbf {F} .}∇(∇⋅A)−∇2A=μ0J∠‘μ0ϵ0∇(∂ϕ∂t)−μ0ϵ0∂2A∂t2{displaystyle nabla (nabla cdot mathbf {Ablamathmu} _{0}mathbf {J} -mu _{0}epsilon _{0}nabla left({frac {partial phi }{partial t}}right)-mu _{ 0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}}Korraldage ümber nii, et Laplacian ja gradient on koos. (μ0ϵ0∂ 2A∂t2−∇2A)+∇(∇⋅A+μ0ϵ0∂ϕ∂t)=μ0 J{displaystyle left(muulon _{0} {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {A} right)+nabla left(nabla cdot mathbf {A} +mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial phi }{partial t}}right)=mu _{0}mathbf {J} }Läbi Gaussi ümberkirjutamise Seaduse ja Ampere-Maxwelli seaduse potentsiaalide osas oleme vähendanud Maxwelli võrrandit s neljast võrrandist kaheni. Lisaks oleme vähendanud komponentide arvu vaid neljani – skalaarpotentsiaali ja vektoripotentsiaali kolme komponendini. Kuid keegi ei kohta kunagi selliselt kirjutatud Maxwelli võrrandeid.

6
Vaadake uuesti skalaar- ja vektorpotentsiaalide määratlusi. Selgub, et A{displaystyle mathbf {A} } ja Ï•{displaystyle phi } ei ole üheselt määratletud, kuna nende suuruste asjakohane muutus annab tulemuseks sama E{displaystyle mathbf {E} } ja B{displaystyle mathbf {B} } väljad. Neid muutusi potentsiaalides nimetatakse gabariidi teisendusteks. Selles jaotises kirjeldame kahte kõige levinumat gabariidi teisendust, mis oluliselt lihtsustavad Maxwelli võrrandeid.

7
Arvestage gabariidi vabadust. Märgistame muudatused sõnadega α{displaystyle {boldsymbol {alpha }}} ja β.{displaystyle beta .}A→A+αϕ→ϕ+β{displaystyle { algus{joondatud}mathbf {A} &to mathbf {A} +{boldsymbol {alpha }}\phi &to phi +beta end{joondatud}}}Kui vektori potentsiaalid annavad sama B,{displaystyle mathbf {B} ,} siis ∇×α=0.{displaystyle nabla times {boldsymbol {alpha }}=0.} Seejärel saame kirjutada α {displaystyle {boldsymbol {alpha }}} skalaaris χ.{displaystyle chi .}α=∇χ{displaystyle {boldsymbol {alpha }}=nabla chi }Samamoodi, kui mõlemad potentsiaalid annavad sama E,{displaystyle mathbf {E} ,}, siis ∇β+∂α∂t=0.{displaystyle nabla beta + {frac {partial {boldsymbol {alpha }}}{partial t}}=0.}∇(β+∂χ∂t)=0{displaystyle nabla left(beta +{frac { partial chi }{partial t}}right)=0}Ühe β{displaystyle beta } lahendamine mõlema poole integreerimisega lisab ajast sõltuva konstandi. Kuid see konstant ei mõjuta χ,{displaystyle chi ,} gradienti, seega võime selle tähelepanuta jätta.β=−∂χ∂t{displaystyle beta =-{frac {partial chi }{partial t}}}

8
Kirjutage gabariidi vabadused ümber järgmiselt: χ{displaystyle chi }. Nende teisendustega sobival viisil manipuleerides saame muuta A{displaystyle mathbf {A} } lahknemist, et lihtsustada Maxwelli võrrandeid, valides χ{displaystyle chi }, mis vastab meie soovitud tingimustele.A→ A+∇χϕ→ϕ−∂χ∂t{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &to mathbf {A} +nabla chi \phi &to phi -{frac {partial chi }{partial t}}end{joondatud}}}

9
Hankige Coulombi mõõtur. Määra ∇⋅A=0.{displaystyle nabla cdot mathbf {A} =0.}∇2Ï•=−Ïϵ0{displaystyle nabla ^{2}phi =-{ frac {rho }{epsilon _{0}}}}(μ0ϵ0∂2A∂t2−∇2A)+μ0ϵ0∇(∂ϕ‡(∂ϕ‡(∂ϕâdisplaydisplaydisplay) {0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {A} right) +mu _{0}epsilon _{0}nabla left({frac {partial phi }{partial t}}right)=mu _{0}mathbf {J} }See on Coulombi mõõtur, mis taandab skalaarse potentsiaali võrrandi Poissoni võrrandiks, kuid tulemuseks on üsna keeruline vektorpotentsiaali võrrand.

10
Hankige Lorenzi mõõtur. Määra ∇⋅A=−μ0ϵ0∂ϕ∂t.{displaystyle nabla cdot mathbf {A} =-mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial phi }{partial t}}.}μ0ϵ0∂2ϕ∂t2−∇2Ï•=Ïϵ0{displaystyle mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial 2}phi }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}phi ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}μ0ϵ0∂2A∂t2−∇ 2A=μ0J{displaystyle mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2 }mathbf {A} =mu _{0}mathbf {J} }See on Lorenzi mõõtur, mille tulemuseks on ilmne Lorentzi kovariatsioon. Need kaks potentsiaalset võrrandit on nüüd ebahomogeense lainevõrrandi kujul.