Kuidas kirjutada eksponentsiaalne funktsioon, võttes arvesse kiirust ja algväärtust

Eksponentfunktsioonid võivad modelleerida paljude olukordade muutumise kiirust, sealhulgas rahvastiku kasvu, radioaktiivse lagunemise, bakterite kasvu, liitintressi ja palju muud. Järgige neid samme eksponentsiaalvõrrandi kirjutamiseks, kui teate funktsiooni kasvu või kahanemise kiirust ja rühma algväärtust.

1
Kaaluge näidet. Oletame, et pangakonto alustatakse 1000-dollarise sissemaksega ja intressimäärale lisandub 3% aastas. Leidke seda funktsiooni modelleeriv eksponentsiaalvõrrand.

2
Teadke põhivormi. Eksponentvõrrandi vorm on f(t)=P0(1+r)t/h, kus P0 on algväärtus, t on ajamuutuja, r on kiirus ja h on t ühikute tagamiseks vajalik arv kursiga kokku sobima.

3
Sisestage P algväärtus ja r-i määr. Teil on f(t) = 1000 (1,03) t/h.

4
Leia h. Mõelge oma võrrandile. Igal aastal suureneb raha 3%, seega iga 12 kuu tagant suureneb raha 3%. Kuna t tuleb anda kuudes, tuleb t jagada 12-ga, seega h=12. Teie võrrand on f(t)=1000(1,03)t/12. Kui kiiruse ja t sammu ühikud on samad, on h alati 1.

5
Saage aru, mis on e. Kui kasutate alusena väärtust e, kasutate “looduslikku alust”. Loodusliku aluse kasutamine võimaldab teil tõmmata pideva kasvukiiruse otse võrrandist.

6
Kaaluge näidet. Oletame, et 500 grammi süsiniku isotoobi proovi poolestusaeg on 50 aastat (poolväärtusaeg on aeg, mille jooksul materjal laguneb 50%).

7
Teadke põhivormi. Eksponentvõrrandi vorm on f(t)=aekt, kus a on algväärtus, e on alus, k on pidev kasvukiirus ja t on ajamuutuja.

8
Sisestage algväärtus. Ainus teile antud väärtus, mida võrrandis vajate, on esialgne kasvumäär. Niisiis, ühendage see a jaoks, et saada f(t)=500ekt

9
Leidke pidev kasvutempo. Pideva kasvu kiirus näitab, kui kiiresti graafik konkreetsel hetkel muutub. Teate, et 50 aasta pärast laguneb proov 250 grammi. Seda võib pidada punktiks graafikul, mille saate ühendada. Seega t on 50. Ühendage see, et saada f(50)=500e50k. Samuti teate, et f(50)=250, seega asendage vasakul pool f(50) 250-ga, et saada eksponentsiaalvõrrand 250=500e50k. Nüüd võrrandi lahendamiseks jagage esmalt mõlemad pooled 500-ga, et saada: 1/2=e50k. Seejärel võtke mõlema poole naturaallogaritm, et saada: ln(1/2)=ln(e50k. Kasutage logaritmide omadusi, et võtta astendaja naturaallogaritmi argumendist välja ja korrutada see logaritmiga. Tulemuseks on ln (1/2)=50k(ln(e)) Tuletage meelde, et ln on sama mis loge ja et logaritmide omadused ütlevad, et kui logaritmi alus ja argument on samad, on väärtus 1. ln(e)=1. Seega lihtsustub võrrand väärtuseks ln(1/2)=50k ja kui jagate 50-ga, saate teada, et k=(ln(1/2))/50. Kasutage oma kalkulaatorit, et leida k komalähedane väärtus on ligikaudu –.01386. Pange tähele, et see väärtus on negatiivne. Kui pidev kasvutempo on negatiivne, on teil eksponentsiaalne vähenemine, kui see on positiivne, siis eksponentsiaalne kasv.

10
Ühendage k väärtus. Teie võrrand on 500e-.01386t.