Pythagorase teoreem kirjeldab täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi viisil, mis on nii elegantne ja praktiline, et teoreem on laialt kasutusel ka tänapäeval. Teoreem väidab, et iga täisnurkse kolmnurga puhul on hüpotenuusi mittekuuluvate külgede ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga. Teisisõnu, täisnurkse kolmnurga, mille küljed on risti pikkusega a ja b ning hüpotenuus pikkusega c, a2 + b2 = c2. Pythagorase teoreem on üks põhigeomeetria alustalasid, millel on lugematu arv praktilisi rakendusi – näiteks teoreemi abil on lihtne leida kahe koordinaattasandi punkti vaheline kaugus.
1
Veenduge, et teie kolmnurk on täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem on rakendatav ainult täisnurksete kolmnurkade puhul, seega on enne jätkamist oluline veenduda, et teie kolmnurk sobib täisnurkse kolmnurga määratlusega. Õnneks on ainult üks määrav tegur – selleks, et tegemist oleks täisnurkse kolmnurgaga, peab teie kolmnurgas olema üks täpselt 90-kraadine nurk. Ühe visuaalse stenogrammina märgitakse täisnurgad sageli pigem väikese ruuduga, mitte ümara “kõveraga”. , et neid sellistena tuvastada. Otsige seda erimärki oma kolmnurga ühest nurgast.
2
Määrake muutujad a, b ja c oma kolmnurga külgedele. Pythagorase teoreemis viitavad muutujad a ja b külgedele, mis puutuvad kokku täisnurga all, samas kui muutuja c viitab hüpotenuusile – pikimale küljele, mis on alati täisnurga vastas. Niisiis, alustuseks määrake oma kolmnurga lühematele külgedele muutujad a ja b (pole vahet, kumb pool on märgistatud “a” või “b”) ja määrake hüpotenuusile muutuja c.
3
Määrake, millise(te) kolmnurga külgede jaoks te lahendate. Pythagorase teoreem võimaldab matemaatikutel leida täisnurkse kolmnurga ühe külje pikkuse, kui nad teavad ülejäänud kahe külje pikkust. Määrake, milline teie külgedest on teadmata pikkusega – a, b ja/või c. Kui ainult ühe teie külje pikkus on teadmata, olete valmis jätkama. Oletame näiteks, et me teame, et meie hüpotenuusi pikkus on 5 ja ühe teise külje pikkus on 3, kuid me Ma pole kindel, milline on kolmanda külje pikkus. Sel juhul teame, et lahendame kolmanda külje pikkuse, ja kuna teame ülejäänud kahe pikkused, oleme valmis minema! Naaseme selle näiteprobleemi juurde järgmistes etappides. Kui teie kahe külje pikkus on teadmata, peate Pythagorase teoreemi kasutamiseks määrama veel ühe külje pikkuse. Põhilised trigonomeetria funktsioonid võivad teid siin aidata, kui teate üht kolmnurga mittetäisnurka.
4
Ühendage oma kaks teadaolevat väärtust võrrandisse. Sisestage oma kolmnurga külgede pikkuste väärtused võrrandisse a2 + b2 = c2. Pidage meeles, et a ja b on hüpotenuusita küljed, samas kui c on hüpotenuus. Meie näites teame ühe külje ja hüpotenuusi pikkust (3 ja 5), seega kirjutaksime oma võrrandi 3² + b² = 5².
5
Arvutage ruudud. Võrrandi lahendamiseks alustage kõigi teadaolevate külgede ruudu võtmisega. Teise võimalusena, kui see on lihtsam, võite jätta oma küljepikkused eksponendivormile, seejärel ruudustada need hiljem. Meie näites ruudustage 3 ja 5, et saada vastavalt 9 ja 25. Saame oma võrrandi ümber kirjutada kujul 9 + b² = 25.
6
Eraldage oma tundmatu muutuja võrdusmärgi ühel küljel. Vajadusel kasutage algebra põhitehteid, et saada oma tundmatu muutuja võrdusmärgi ühele küljele ja kaks ruutu võrdusmärgi teisele küljele. Kui lahendate hüpotenuusi, on c juba isoleeritud, nii et te ei pea selle eraldamiseks midagi tegema. Meie näites on meie praegune võrrand 9 + b² = 25. B² eraldamiseks lahutame 9 võrrandi mõlemad pooled. See jätab meile b² = 16.
7
Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. Nüüd peaks võrrandi ühele küljele jääma üks muutuja ruudus ja teisel pool arv. Lihtsalt võtke mõlema külje ruutjuur, et leida oma tundmatu külje pikkus. Meie näites b² = 16, mõlema külje ruutjuure võtmine annab meile b = 4. Seega võime öelda, et tundmatu külje pikkus meie kolmnurgast on 4.
8
Kasutage Pythagorase teoreemi, et leida reaalse maailma täisnurksete kolmnurkade küljed. Põhjus, miks Pythagorase teoreemi tänapäeval nii laialdaselt kasutatakse, on see, et see on rakendatav lugematutes praktilistes olukordades. Õppige reaalses elus täisnurkseid kolmnurki ära tundma – igas olukorras, kus kaks sirget objekti või joont kohtuvad täisnurga all ja kolmas joon või objekt ulatub diagonaalselt täisnurgast risti, saate Pythagorase teoreemi abil leida ühe objekti pikkuse. küljed, arvestades ülejäänud kahe pikkust. Proovime reaalset näidet, mis on veidi keerulisem. Redel toetub vastu hoonet. Redeli alus on seina põhjast 5 meetri (16,4 jalga) kaugusel. Redel ulatub 20 meetrini (65,6 jalga) mööda hoone seina üles. Kui pikk on redel?” 5 meetrit (16,4 jalga) seina põhjast ja “20 meetrit (65,6 jalga) mööda seina üles” annavad meile vihje meie kolmnurga külgede pikkusest. Kuna sein ja maapind (arvatavasti) puutuvad kokku täisnurga all ning redel toetub diagonaalselt vastu seina, võib seda paigutust pidada täisnurkseks kolmnurgaks, mille külgede pikkus on a = 5 ja b = 20. Redeli pikkus on hüpotenuus, seega c on meie tundmatu. Kasutame Pythagorase teoreemi: a² + b² = c²(5)² + (20)² = c²25 + 400 = c²425 = c²sqrt(425) = cc = 20,6 . Redeli ligikaudne pikkus on 20,6 meetrit (67,6 jalga).
9
Määratlege kaks punkti X-Y tasapinnal. Pythagorase teoreemi saab hõlpsasti kasutada kahe X-Y-tasandi punkti vahelise sirgjoonelise kauguse arvutamiseks. Kõik, mida pead teadma, on mis tahes kahe punkti x ja y koordinaadid. Tavaliselt kirjutatakse need koordinaadid järjestatud paaridena kujul (x, y). Nende kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks käsitleme iga punkti täisnurkse kolmnurga ühe mittetäisnurga nurgana. Seda tehes on lihtne leida a- ja b-külje pikkust ning seejärel arvutada c, hüpotenuus, mis on kahe punkti vaheline kaugus.
10
Joonistage oma kaks punkti graafikule. Tüüpilises X-Y tasapinnas annab x iga punkti (x,y) horisontaaltelje koordinaadi ja y vertikaaltelje koordinaadi. Saate leida kahe punkti vahelise kauguse ilma neid graafikule joonistamata, kuid see annab teile visuaalse viite, mida saate kasutada vastuse mõistuse tagamiseks.
11
Leidke oma kolmnurga mittehüpotenuusi külgede pikkused. Kasutades oma kahte punkti hüpotenuusiga külgneva kolmnurga nurkadena, leidke kolmnurga a ja b külgede pikkused. Saate seda teha visuaalselt graafikul või kasutades valemeid |x1 – x2| horisontaalse külje jaoks ja |y1 – y2| vertikaalse külje jaoks, kus (x1,y1) on teie esimene punkt ja (x2,y2) on teie teine punkt. Oletame, et meie kaks punkti on (6,1) ja (3,5). Meie kolmnurga horisontaalse külje külje pikkus on:|x1 – x2||3 – 6|| -3 | = 3Vertikaalse külje pikkus on:|y1 – y2||1 – 5|| -4 | = 4 Seega võime öelda, et meie täisnurkses kolmnurgas on külg a = 3 ja külg b = 4.
12
Hüpotenuusi lahendamiseks kasutage Pythagorase teoreemi. Teie kahe punkti vaheline kaugus on selle kolmnurga hüpotenuus, mille kaks külge olete just määratlenud. Kasutage hüpotenuusi leidmiseks Pythagorase teoreemi nagu tavaliselt, määrates a oma esimese külje pikkuseks ja b teise külje pikkuseks. Meie näites, kasutades punkte (3,5) ja (6,1), on meie külg pikkused on 3 ja 4, seega leiame hüpotenuusi järgmiselt:(3)²+(4)²= c²c= sqrt(9+16)c= sqrt(25)c= 5. Vahemaa (3,5) ) ja (6,1) on 5.