Arvutuses kasutatakse Lagrange’i kordajaid tavaliselt piiratud optimeerimisprobleemide korral. Seda tüüpi probleeme saab laialdaselt rakendada ka muudes valdkondades, näiteks majanduses ja füüsikas. Lagrange’i kordaja ülesande põhistruktuur on alljärgnevas seoses: L(x,y;λ)=f(x,y)+λg(x,y){displaystyle {mathcal {L}}( x,y;lambda )=f(x,y)+lambda g(x,y)}kus f(x,y){displaystyle f(x,y)} on optimeeritav funktsioon, g( x,y){displaystyle g(x,y)} on piirang ja λ{displaystyle lambda } on Lagrange’i kordaja. Seejärel määrame tulemuseks oleva võrrandisüsteemi lahendamiseks ∇L=∇f+λ∇g=0{displaystyle nabla {mathcal {L}}=nabla f+lambda nabla g=0} ; sageli soovime protsessi λ{displaystyle lambda } tühistada. Neid probleeme saab hõlpsasti üldistada suuremate mõõtmete ja piirangutega.
1
Leidke x3y{displaystyle x^{3}y} maksimaalne väärtus ellipsil 3×2+y2=6{displaystyle 3x^{2}+y^{2}=6}. See on Lagrange’i kordaja probleem, sest me soovime optimeerida funktsiooni, mille suhtes kehtib piirang. Optimeerimisprobleemides määrame tuletisteks tavaliselt 0 ja jätkame sealt. Kuid antud juhul ei saa me seda teha, kuna x3y{displaystyle x^{3}y} maksimaalne väärtus ei pruugi asuda ellipsil. On selge, et f(x,y)=x3y{displaystyle f(x, y)=x^{3}y} ja g(x,y)=3×2+y2=6.{displaystyle g(x,y)=3x^{2}+y^{2}=6.}
2
Võtke Lagrange’i L{displaystyle {mathcal {L}}} gradient. Kui määrate selle väärtusele 0, saame kahest võrrandist koosneva kolme muutujaga süsteemi.∇f+λ∇g=0{displaystyle nabla f+lambda nabla g=0}{3x2y+λ6x=0x3+Î »2y=0{displaystyle {begin{cases}3x^{2}y+lambda 6x&=0\x^{3}+lambda 2y&=0end{cases}}}
3
Tühistage λ{displaystyle lambda } ja määrake võrrandid üksteisega võrdseks. Kuna me sellega ei tegele, peame selle tühistama. Siin korrutame esimese võrrandi y{displaystyle y}-ga ja teise võrrandi 3x-ga.{displaystyle 3x.}{3x2y2+λ6xy=03×4+λ6xy=0{displaystyle {begin{cases} 3x^{2}y^{2}+lambda 6xy&=0\3x^{4}+lambda 6xy&=0end{cases}}}3x2y2−3×4=0x2(y2−x2)=0{ kuvastiil {begin{aligned}3x^{2}y^{2}-3x^{4}&=0\x^{2}(y^{2}-x^{2})&=0 lõpp{joondatud}}}
4
Seostage x{displaystyle x} ja y{displaystyle y}. Ülaltoodud võrrandis näeme, et kui x≠0, y2−x2=0.{displaystyle xneq 0, y^{2}-x^{2}=0.} See annab meile alloleva seose .y=x{displaystyle y=x}
5
Asendage piiranguvõrrandis avaldis y{displaystyle y} väärtusega x{displaystyle x}. Nüüd, kui oleme selle kasuliku seose tuletanud, saame lõpuks leida väärtused x{displaystyle x} ja y jaoks.{displaystyle y.}g=3×2+x2=6x=y=±32{displaystyle {begin{ joondatud}g&=3x^{2}+x^{2}=6\x&=y=pm {sqrt {frac {3}{2}}}end{joondatud}}}
6
Asendage optimeerimisvõrrandis x{displaystyle x} ja y{displaystyle y} väärtused. Leidsime funktsiooni x3y{displaystyle x^{3}y} maksimaalse väärtuse ellipsil 3×2+y2=6.{displaystyle 3x^{2}+y^{2}=6.}x3y=94 {displaystyle x^{3}y={frac {9}{4}}}
7
Leidke minimaalne kaugus vahemikust x2yz=1{displaystyle x^{2}yz=1} lähtepunktini. Tuletage meelde kaugust kujul x2+y2+z2.{displaystyle {sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.} See on funktsioon, mida me püüame optimeerida. piirangufunktsioon x2yz−1=0.{displaystyle x^{2}yz-1=0.} Selle avaldise kasutamine on aga mõnevõrra keeruline. Sel juhul saame eemaldada ruutjuure ja optimeerida x2+y2+z2{displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}, kuna töötame samas domeenis (ainult positiivsed arvud), nii et numbrid on samad. Peame lihtsalt meeles pidama, et optimeeritav funktsioon on ruutjuurega avaldis.L(x,y,z;λ)=(x2+y2+z2)+λ(x2yz−1){displaystyle { mathcal {L}}(x,y,z;lambda )=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+lambda (x^{2}yz-1)}
8
Võtke Lagrangi gradient ja määrake iga komponendi väärtuseks 0.{∂L∂x=2x+λ2xyz=0∂L∂y=2y+λx2z=0∂L∂z=2z+λx2y= 0{displaystyle {begin{cases}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial x}}=2x+lambda 2xyz&=0\{frac {partial {mathcal {L }}}{partial y}}=2y+lambda x^{2}z&=0\{frac {partial {mathcal {L}}}{partial z}}=2z+lambda x^{ 2}y&=0end{cases}}}
9
Tühista λ{displaystyle lambda }. Siin korrutage esimene võrrand x-ga, {displaystyle x,} teine võrrand 2y-ga, {displaystyle 2y,} ja kolmas võrrand arvuga 2z.{displaystyle 2z.}{2×2+λ2x2yz=04y2+Î »2x2yz=04z2+λ2x2yz=0{displaystyle {begin{cases}2x^{2}+lambda 2x^{2}yz&=0\4y^{2}+lambda 2x^{2} yz&=0\4z^{2}+lambda 2x^{2}yz&=0end{cases}}}
10
Seostage muutujad üksteisega, lahendades ühe neist. Kasutame y,{displaystyle y,}, kuigi ka x{displaystyle x} ja z{displaystyle z} sobivad hästi.x2=2y2=2z2{displaystyle x^{2}=2y^{2}=2z^ {2}}Ülaltoodud võrrand annab meile kogu teabe, mida vajame vahemaa optimeerimiseks.
11
Hankige y{displaystyle y} väärtus, asendades selle piirangufunktsiooniga. Kuna me teame y=z,{displaystyle y=z,}, saame piirangufunktsiooni kirjutada lihtsalt y{displaystyle y} kujul ja selle lahendada.(2y2)(y)(y)=1y=2− 1/4{displaystyle {begin{aligned}(2y^{2})(y)(y)&=1\y&=2^{-1/4}end{joondatud}}}
12
Asendage y{displaystyle y} väärtus kaugusega. Pidage meeles, et kuigi me optimeerisime kauguse ruutu, otsime siiski tegelikku kaugust.x2+y2+z2=2y2+y2+y2=4y2=2â‹…2−1/4=23/4{ kuvastiil {begin{align}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&={sqrt {2y^{2}+y^{2}+y^ {2}}}\&={sqrt {4y^{2}}}\&=2cdot 2^{-1/4}\&=2^{3/4}end{joondatud }}}