Muutujate Jacobi muutmine on tehnika, mida saab kasutada integreerimisprobleemide lahendamiseks, mis muidu tavatehnikaid kasutades keerulised oleksid. Jakobi on vektoriväärtusliku funktsiooni esimest järku osatuletisi maatriks. Muutujate jakobiliku muutuse eesmärk on teisendada muutujate x{displaystyle x} ja y{displaystyle y} kujul määratletud füüsilisest ruumist parameetriruumiks, mis on määratletud u(x,y){displaystyle u kaudu. (x,y)} ja v(x,y){displaystyle v(x,y)} Integreerimisel rakendades on jakobiuse determinandi leidmine oluline, et tagada suuruse õigsus.
1
Vaatleme asukohavektorit r=xi+yj{displaystyle mathbf {r} =xmathbf {i} +ymathbf {j} }. Siin on i{displaystyle mathbf {i} } ja j{displaystyle mathbf {j} } ühikvektorid kahemõõtmelises Descartes’i koordinaatsüsteemis.
2
Võtke r{displaystyle mathbf {r} } osatuletised iga parameetri suhtes. See on esimene samm parameetriteks space.dru=(∂x∂ui+∂y∂uj)du{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} _{u}=left({ frac {partial x}{partial u}}mathbf {i} +{frac {partial y}{partial u}}mathbf {j} right)mathrm {d} u}drv=( ∂x∂vi+∂y∂vj)dv{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} _{v}=left({frac {partial x}{partial v}}mathbf {i} +{frac {partial y}{partial v}}mathbf {j} right)mathrm {d} v}
3
Leidke ülaltoodud lõpmatute vektoritega määratletud ala. Tuletame meelde, et pindala saab kirjutada kahe vektori ristkorrutise suuruse järgi.dA=|dru×drv|=|ijk∂x∂u∂y∂u0∂x∂v∂y∂v=0|d |∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v|dudv{displaystyle {begin{aligned}mathrm {d} A&=|mathrm {d} {r}mathb{d} }times mathrm {d} mathbf {r} _{v}|\&={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \{dfrac {partial x}{partial u}}&{dfrac {partial y}{partial u}}&0\{dfrac {partial x}{partial v}}&{dfrac {partial y}{partial v}}&0end{vmatrix}}mathrm {d} umathrm {d} v\&={begin{vmatrix}{dfrac {partial x}{partial u} }&{dfrac {partial y}{partial u}}\{dfrac {partial x}{partial v}}&{dfrac {partial y}{partial v}}end{ vmatrix}}mathrm {d} umathrm {d} vend{joondatud}}}
4
Saabuge Jacobianisse. Ülaltoodud determinant on Jacobi determinant. Lühikirjelduse saab kirjutada järgmiselt, kus me mäletame, et teisendame parameetriruumi, nagu on määratletud allolevate muutujatega. Kui saate negatiivse determinandi, jätke negatiivne märk tähelepanuta – ainult suurusjärk on oluline.|∂(x,y)∂(u,v)|{displaystyle {begin{vmatrix}{dfrac {partial (x,y)}{partial (u,v)}}end{vmatrix}}}
5
Kirjutage ala dA{displaystyle mathrm {d} A} jakobi pöördväärtusena. Põhjus, miks see on rakendatavam, on see, et tavaliselt määratleksime oma parameetrid füüsiliste muutujatena, kuid seejärel peame lahendama füüsikalised muutujad, et võtta osalisi tuletisi. Tunnistades, et pöördväärtuse determinant on determinandi detJ−1=1detJ, {displaystyle det J^{-1}={frac {1}{det J}},} korduv pöördväärtus, võime vahele jätta samm, võttes kõigepealt kasutusele Jacobi pöörddeterminandi ja seejärel leides selle pöördväärtuse tegeliku soovitud determinandi taastamiseks.|∂(u,v)∂(x,y)|{displaystyle {begin{vmatrix}{ dfrac {partial (u,v)}{partial (x,y)}}end{vmatrix}}}
6
Otsige üles ∫D(2x+3y)dA{displaystyle int _{D}(2x+3y)mathrm {d} A} üle D{displaystyle D}, mis on piiratud järgmisega.{2x+3y=02x+ 3y=5{displaystyle {begin{cases}2x+3y=0\2x+3y=5end{cases}}}{3x−y=03x−y=3{displaystyle {begin{cases} 3x-y=0\3x-y=3end{cases}}}Järgides selle graafikule, näeme, et domeen on pööratud ristkülik. Selle domeeni kaudu tavaliste vahenditega integreerimine oleks üsna tüütu, kuid muutujate Jacobi muutuste kasutamisel on see probleem triviaalne.
7
Määratlege parameetrid u{displaystyle u} ja v{displaystyle v}. Pange tähele, et meie definitsiooni kasutades oleme muutnud integrandiks lihtsalt u.{displaystyle u.}u=2x+3y{displaystyle u=2x+3y}v=3x−y{displaystyle v=3x-y}
8
Leidke Jacobi pöörddeterminant. Võtke osatuletised kõigi füüsikaliste muutujate x{displaystyle x} ja y,{displaystyle y,} suhtes, ühendage need Jacobi pöördmaatriksiga ja võtke selle determinant.∂u∂x=2;  ∠‚u∂y=3;  ∂v∂x=3;  ∂v∂y=−1{displaystyle {frac {partial u}{partial x}}=2; {frac {partial u}{partial y}}=3; {frac {partial v}{partial x}}=3; {frac {partial v}{partial y }}=-1}detJ−1=|∂(u,v)∂(x,y)|=|233−1|=−11{displaystyle {begin{aligned}det J^{ -1}&={begin{vmatrix}{dfrac {partial (u,v)}{partial (x,y)}}end{vmatrix}}\&={begin{vmatrix}2&3 \3&-1end{vmatrix}}\&=-11end{joondatud}}}
9
Pöörake determinant uuesti ümber. Võtke selle suurusjärk (jätke tähelepanuta negatiivsed märgid) ja seostage see lõpmatu väikese alaga.|∂(x,y)∂(u,v)|=111{displaystyle {begin{vmatrix}{dfrac {partial (x,y)}{partial (u,v)}}end{vmatrix}}={frac {1}{11}}}dA=11dudv{displaystyle mathrm {d} A=11mathrm {d} umathrm {d} v}
10
Hinnake integraali mis tahes võimalike vahenditega.∫D(2x+3y)dA=111∫05udu∫03dv=111252(3)=7522{displaystyle {begin{aligned}int _{D}(2x+3y) mathrm {d} A&={frac {1}{11}}int _{0}^{5}umathrm {d} uint _{0}^{3}mathrm {d} v \&={frac {1}{11}}{frac {25}{2}}(3)\&={frac {75}{22}}end{joondatud}}}
11
Leidke piirkonna D{displaystyle D} tsentroid, mis on piiratud järgmisega.{xy=1xy=3{displaystyle {begin{cases}xy=1\xy=3end{cases}}}{x2y= 1x2y=2{displaystyle {begin{cases}x^{2}y=1\x^{2}y=2end{cases}}}Pea meeles, et tsentroid on kõigi punktide keskväärtus piirkond. Piirkond on määratletud nii, et see hõlmab kolme eraldi integraali, et leida ala. Keskpunkti leidmine tähendaks veel mitme integraali võtmist. Ilmselgelt see ei ole õige tee, seega kasutame jakobiansi, et muuta see lihtsamaks probleemiks.C=(∫DxdA∫DdA,∫DydA∫DdA){displaystyle C=left({frac {int _{D}xmathrm {d} A}{int _{D}mathrm {d} A}},{frac {int _{D}ymathrm {d} A}{int _ {D}mathrm {d} A}}right)}
12
Määratlege parameetrid u{displaystyle u} ja v{displaystyle v}.u=xy{displaystyle u=xy}v=x2y{displaystyle v=x^{2}y}
13
Võtke osatuletised. Kasutage neid Jacobi pöördväärtuse determinandi leidmiseks.∂u∂x=y;  ∂u∂y=x;  ∂v∂x=2xy;   ∂vâˆ2 kuvastiil {frac {partial u}{partial x}}=y; {frac {partial u}{partial y}}=x; {frac {partial v}{partial x}}=2xy; {frac {partial v}{partial y}}=x^{2}}|y2xyxx2|=x2y−2x2y=−v{displaystyle {begin{vmatrix}y&2xy \x&x^{2}end{vmatrix}}=x^{2}y-2x^{2}y=-v}
14
Pöörake determinant ümber ja jätke tähelepanuta kõik negatiivsed märgid. Seejärel ühendage see ala integraaliga.∫DdA=∬D1vdvdu{displaystyle int _{D}mathrm {d} A=iint _{D}{frac {1}{v}}mathrm { d} vmathrm {d} u}
15
Hinda pindala integraali kasutades kõiki võimalikke vahendeid.∫13du∫12dv1v=2lnâ¡2{displaystyle int _{1}^{3}mathrm {d} uint _{1}^{2}mathrm {d} v{frac {1}{v}}=2ln 2}
16
Lahendage x{displaystyle x} ja y{displaystyle y}, et saada integrandid u{displaystyle u} ja v{displaystyle v}.y=ux=vx2{displaystyle y={frac { u}{x}}={frac {v}{x^{2}}}}x=vu{displaystyle x={frac {v}{u}}}x=uy=vy{displaystyle x ={frac {u}{y}}={sqrt {frac {v}{y}}}}y=u2v{displaystyle y={frac {u^{2}}{v}}}
17
Hinnake tsentroidi leidmiseks teisi integraale.∫DxdA=∬Dvu1vdvdu=∫131udu∫12dv=lnâ¡3{displaystyle {begin{aligned}int _{D}xmathrm {d} A&= iint _{D}{frac {v}{u}}{frac {1}{v}}mathrm {d} vmathrm {d} u\&=int _{1}^{ 3}{frac {1}{u}}mathrm {d} uint _{1}^{2}mathrm {d} v\&=ln 3end{aligned}}}∫ DydA=∬Du2v2dvdu=∫13u2du∫121v2dv=(273−13)(−12+1)=133{displaystyle {begin{aligned}int _{D}ymathrm {d} A&= iint _{D}{frac {u^{2}}{v^{2}}}mathrm {d} vmathrm {d} u\&=int _{1}^{3}u ^{2}mathrm {d} uint _{1}^{2}{frac {1}{v^{2}}}mathrm {d} v\&=left({frac {27}{3}}-{frac {1}{3}}right)left(-{frac {1}{2}}+1right)\&={frac {13} {3}}end{joondatud}}}
18
Saabuge tsentroidi. Keskpunkt on piirkonna massikese. Kui tasakaalustada objekti, mille kuju on määratletud selle piirkonnaga, kasutades tihvti otsa, toimiks see ainult siis, kui see oleks tasakaalus tsentroidis. ){displaystyle C=left({frac {ln 3}{2ln 2}},{frac {13}{6ln 2}}right)}