Õpid arvutamise abil kõverat ümber x- või y-telje pöörama ning ruumala ja pindala arvutama seni, kuni teie arusaam arvutuse sammudest on tasemel (kuna see ei ole niivõrd artikkel arvutamise õppimisest ja konkreetsete tuletamisest vastuseid, kuna see on vahend pöörleva tahkise või pinna valmistamise õppimiseks. Kui tasapinnaline piirkond, mis asub täielikult oma tasapinnas fikseeritud joone ühel küljel, pööratakse ümber selle joone, tekitab see pöörde. Fikseeritud joont nimetatakse pöördeteljeks. Näiteks kui poolringiga piiratud ala ja selle läbimõõt on ümber selle läbimõõdu, pühib see välja sfäärilise keha. Kui täisnurkse kolmnurga sees olev piirkond pööratakse ümber selle ühe jala, tekitab see koonilise tahkise. Kui ringikujulist ketast pööratakse ümber selle tasapinnal oleva joone, mis kettaga ei ristu, pühib see välja toruse (või sõõriku). Kõik tahkise tasapinnalised lõigud, mis on risti tema teljega, on ümmargused kettad või piirkonnad, mida piiravad kaks kontsentrilist ringi. Otsime pöörde tahkise mahtu. Kuid esmalt peame määratlema, mida mõeldakse pöörde tahkise “mahu” all. Nii nagu igas tasapinnalise ala arutelus, mille puhul eeldatakse, et ristküliku pindala on selle pikkuse ja laiuse korrutis, alustame pöörete tahkete ainete ruumalade uurimiseks eeldades, et parempoolse ringsilindri ruumala on Ï€r^2h (Ï€=pi, r=raadius, ^2=ruut ja h=kõrgus või kõrgus merepinnast).
1
Alustuseks avage Excelis uus töövihik töölaualt, dokist või Microsofti kaustas olevast rakenduste kaustast. Topeltklõpsake Excelil (kas roheline X dokis või rakenduse pealkiri kaustas) ja valige Fail Uus töövihik.
2
Seadistage jaotises Eelistused R1C1 olekuks märkimata või Väljas, määrake lindi olekuks märgitud või sees ja valige Show Formula Bar väärtuseks märgitud või Sees.
3
Klõpsake vasakpoolses ülanurgas 1. rea numbri 1 kohal ja veerust A vasakul. Seda tehes valitakse kogu tööleht. Lahtrite arvu vormindamine Arv kümnendkohtade täpsusega 2, kuva koma. Lahtrite joondamise keskus. # Pange esimene tööleht pealkirjaks “Pööra funktsioon f(x)” ja salvestage töövihik nimega “Pööra kõveraid telje kohta” sobivasse kausta, näiteks “Microsoft Exceli kujutised” või “Selgitatud artiklid”.
4
Sisestage lahtrisse A1 järgmine tekst ja seejärel määrake lahtri joonduse vormindamine teksti murramiseks: Olgu f funktsioon, mis on pidev suletud intervallil [a,b], kus f(x) ≥ 0 on ≤ x ≤ b. Soovite määratleda pöördeosa ruumala, mis tekib, pöörates ümber x-telje piirkonna R, mis on piiratud kõveraga y = f(x), x-telje ja vertikaalsete joontega x = a ja x = b. Olgu f(x) = sqrt(x) ja a = 1 ja b = 4. Jagage intervall [a,b] n alamintervalliks partitsiooniga P ja valige n punkti wi, üks igas alamintervallis. Joonistage n lähendavat ristkülikut alusega [xi-1,xi] ja kõrgusega f(wi), i = 1, 2, 3, … , n; tüüpiline üks neist ristkülikest on diagrammil näidatud kui Rect HGFE. Pöörake piirkonda R ümber x-telje, et tekitada pöörde tahkis, kasutades n ristkülikut n parempoolse ringsilindri väljapühkimiseks. Tüüpilise ristküliku poolt välja pühitud silindrid, nt. Rect HGFE, on näidatud järgmisel diagrammil; kuna selle aluse raadius on f(wi) ja kõrgus merepinnast on ∆xi, on selle maht ∆Vi = Ï€*[f(wi)]^2 *∆xi.Pange tähele, et kui soovite luua seibi tüüpi vormi korral muutub valem Ï€ * ∫ba [f(x)^2 = g(x)^2]*dx — seega on see välisfunktsiooni ruutude erinevuse kindel integraal , f(x) ja sisemine (ava) funktsioon g(x). Pange tähele ka seda, et f võib olla pidev funktsioon [a.b] ja kui y-ga piiratud piirkond = f(x), siis x- teljega ning jooned x = a ja x = b asuvad esimeses kvadrandis, selle piirkonna ümber y-telje pööramisel tekkiva pöördeosa ruumala on V = 2Ï€ * ∫ba x*f(x) *dx, teine kindel integraal.
5
Vaatleme funktsiooni f, mis on pidev intervallil [a,b], kusjuures f(x) ⊵ 0 on ⊴ x ⊴ b korral ja mille esimene tuletis f’ on samuti pidev vahemikus [a,b]. Kui kõvera y = f(x) kaar punktist (a, f(a)) punkti (b, f(b)) pööratakse ümber x-telje, pühitakse pöördepinda S. Leidke pöördepinna pindala, jagades [a,b] esmalt n intervalliks [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n. Olgu Qi punkt kõver, mille koordinaadid on (xi,f(xi)) ja punkti (a, f(a)) tähistab Q0. Seejärel pöörake kõvera n kõõlu Qi-1Qi moodustatud katkendjoon ümber x- telg; see pühib välja pinna, mis on ligikaudne S, ja see lähendus paraneb kui norm |P| Arvestage, et koonuse, mille kaldkõrgus on s ja mille aluste raadius on r1 ja r2, külgpindala on Ï€*(r1 + r2)*s. Seega pühib iga akord Qi-1Qi, kui see pöörleb ümber x-telje, koonuse, mille pindala on Ï€*[f(xi-1) + f(xi)]*|Qi-, külgpinna välja. 1*Qi|.Arvestage, et kaare kauguse valemi tõttu (vt artiklit Ligikaudne kaare pikkus kauguse valemi abil) võib selle ümber kirjutada ja defineerida järgmiselt: Olgu f ja f’ pidevad [a ,b] koos f(x) ⩾ 0 a ⩽ x ⩽ b. Pöördepinna pindala pühib välja, pöörates ümber x-telje kõvera lõigu y = f(x), punktist (a, f(a)) punkti (b, f(b)) on: 2Ï€ * ∫ba f(x)*sqrt(1+f'(x)^2)*dx.Näide: Leidke pöördepinna pindala, mis tekib, kui pöörate ümber x-telje segmendi kõver y = sqrt(x) vahemikus (1,1) kuni (4,2). Lahendus: asendades f(x) = sqrt(x) ja f ‘(x) = 1/(2*sqrt(x)) ülaltoodud valemis saad: 2Ï€ * ∫41 x^.5 * sqrt(1+(1/(2*sqrt(x)))^2)*dx =Ï€ * ∫41 sqrt(4x +1) dx (jagades ruuduga (4) =Ï€/4 * ∫41 (4x +1)^.5 * d(4x +1) =Ï€/4 * [(4x +1)^( 3/2)]/(3/2)41 (integreerimisel) =Ï€/4 * 2/3 * (17^1,5 – 5^1,5) = Ï€/6 * (17^1,5 – 5^1,5) = 30,8465 √